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10.如图，A、B的坐标为(2,0)、(0,1).若将线段AB平移至A₁B₁，则a+b的值为(
A.2
B.3
C.4
D.5
A
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
10.A
解析
【分析】
本题可根据平移的坐标变化规律求解：线段平移时，线段上所有对应点的横坐标变化量相等，纵坐标变化量相等。首先通过已知点的坐标求出平移的横、纵坐标变化量，再根据变化量分别计算a、b的值，最后求和即可。
【解析】
∵线段AB平移至A₁B₁，
∴线段上所有点的平移规律一致，对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量均相同。
由A(2,0)平移到A₁(3,b)，可得横坐标的变化量为$3-2=1$，即线段向右平移1个单位；
由B(0,1)平移到B₁(a,2)，可得纵坐标的变化量为$2-1=1$，即线段向上平移1个单位。
因此平移规律为：横坐标加1，纵坐标加1。
对点B：$a = 0 + 1 = 1$；
对点A：$b = 0 + 1 = 1$；
则$a+b=1+1=2$。
【答案】
A
【知识点】
平移的坐标变化，坐标与图形变换
【点评】
本题难度较低，核心是掌握平移过程中图形上所有点的平移规律一致，通过对应点的坐标差求出平移量是解题的关键。
【难度系数】
0.85
本题可根据平移的坐标变化规律求解：线段平移时，线段上所有对应点的横坐标变化量相等，纵坐标变化量相等。首先通过已知点的坐标求出平移的横、纵坐标变化量，再根据变化量分别计算a、b的值，最后求和即可。
【解析】
∵线段AB平移至A₁B₁，
∴线段上所有点的平移规律一致，对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量均相同。
由A(2,0)平移到A₁(3,b)，可得横坐标的变化量为$3-2=1$，即线段向右平移1个单位；
由B(0,1)平移到B₁(a,2)，可得纵坐标的变化量为$2-1=1$，即线段向上平移1个单位。
因此平移规律为：横坐标加1，纵坐标加1。
对点B：$a = 0 + 1 = 1$；
对点A：$b = 0 + 1 = 1$；
则$a+b=1+1=2$。
【答案】
A
【知识点】
平移的坐标变化，坐标与图形变换
【点评】
本题难度较低，核心是掌握平移过程中图形上所有点的平移规律一致，通过对应点的坐标差求出平移量是解题的关键。
【难度系数】
0.85
11.(浙江省中考)如图,五边形$ABCDE$,$A'B'C'D'E'$是以坐标原点$O$为位似中心的位似图形,已知点$A$,$A'$的坐标分别为$(2,0)$,$(3,0)$.若$DE$的长为$3$,则$D'E'$的长为 (
A.$\frac{7}{2}$
B.$4$
C.$\frac{9}{2}$
D.$5$
C
)A.$\frac{7}{2}$
B.$4$
C.$\frac{9}{2}$
D.$5$
答案
11.C
解析
【分析】
首先回忆位似图形的相关性质：位似图形的对应边之比等于位似比，位似比等于对应点到位似中心的距离之比。本题中两个五边形以原点O为位似中心，我们可以先通过对应点A、A'的坐标计算出位似比，再结合已知的DE长度，利用位似比求出对应边D'E'的长度。
【解析】
∵ 五边形$ABCDE$和$A'B'C'D'E'$是以原点$O$为位似中心的位似图形，点$A(2,0)$，$A'(3,0)$
∴ 两个图形的位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{3}{2}$
∵ $DE$和$D'E'$是位似图形的对应边
∴ $\frac{D'E'}{DE}=k=\frac{3}{2}$
已知$DE=3$，代入得：
$D'E'=DE×\frac{3}{2}=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，位似比的应用
【点评】
本题是位似图形性质的基础应用题，解题核心是先根据对应点坐标求出位似比，再利用位似图形对应边的比等于位似比求解未知边长，掌握位似基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先回忆位似图形的相关性质：位似图形的对应边之比等于位似比，位似比等于对应点到位似中心的距离之比。本题中两个五边形以原点O为位似中心，我们可以先通过对应点A、A'的坐标计算出位似比，再结合已知的DE长度，利用位似比求出对应边D'E'的长度。
【解析】
∵ 五边形$ABCDE$和$A'B'C'D'E'$是以原点$O$为位似中心的位似图形，点$A(2,0)$，$A'(3,0)$
∴ 两个图形的位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{3}{2}$
∵ $DE$和$D'E'$是位似图形的对应边
∴ $\frac{D'E'}{DE}=k=\frac{3}{2}$
已知$DE=3$，代入得：
$D'E'=DE×\frac{3}{2}=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，位似比的应用
【点评】
本题是位似图形性质的基础应用题，解题核心是先根据对应点坐标求出位似比，再利用位似图形对应边的比等于位似比求解未知边长，掌握位似基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
12.(衡阳市期末)如图,在平面直角坐标系中,线段$A_1B_1$是将$△ ABC$绕着点$P(3,2)$逆时针旋转一定角度后得到的$△ A_1B_1C_1$的一部分,则点$C$的对应点$C_1$的坐标是 (
A.$(-2,3)$
B.$(-3,2)$
C.$(-2,4)$
D.$(-3,3)$
A
)A.$(-2,3)$
B.$(-3,2)$
C.$(-2,4)$
D.$(-3,3)$
答案
12.A
解析
【分析】
解题时需结合旋转的性质分析：首先从网格中提取已知点A、A₁、B、B₁、C及旋转中心P的坐标，再通过已知对应点与旋转中心的位置关系确定旋转角度和变换规律，最后将规律应用到点C上，即可求出对应点C₁的坐标。
【解析】
首先由网格确定各点坐标：$A(5,4)$，$A_1(1,4)$，$B(7,5)$，$B_1(0,6)$，$C(4,7)$，旋转中心$P(3,2)$。
1. 确定旋转规律：根据旋转性质，对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角。点A到P的水平距离为$5-3=2$，竖直距离为$4-2=2$；点$A_1$到P的水平距离为$3-1=2$，竖直距离为$4-2=2$，可判断旋转角为逆时针$90°$。
验证点B：点B到P的水平距离为$7-3=4$，竖直距离为$5-2=3$，绕P逆时针转$90°$后，对应点在P左侧3个单位、上方4个单位，坐标为$(3-3,2+4)=(0,6)$，与$B_1$坐标一致，确认旋转方式为绕$P(3,2)$逆时针旋转$90°$。
2. 求$C_1$坐标：点C到P的水平距离为$4-3=1$，竖直距离为$7-2=5$，绕P逆时针转$90°$后，$C_1$在P左侧5个单位、上方1个单位，因此坐标为$(3-5,2+1)=(-2,3)$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题核心是通过已知对应点反推旋转规则，再利用规则求解未知点坐标，熟练掌握旋转$90°$的坐标变化特点可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.65
解题时需结合旋转的性质分析：首先从网格中提取已知点A、A₁、B、B₁、C及旋转中心P的坐标，再通过已知对应点与旋转中心的位置关系确定旋转角度和变换规律，最后将规律应用到点C上，即可求出对应点C₁的坐标。
【解析】
首先由网格确定各点坐标：$A(5,4)$，$A_1(1,4)$，$B(7,5)$，$B_1(0,6)$，$C(4,7)$，旋转中心$P(3,2)$。
1. 确定旋转规律：根据旋转性质，对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角。点A到P的水平距离为$5-3=2$，竖直距离为$4-2=2$；点$A_1$到P的水平距离为$3-1=2$，竖直距离为$4-2=2$，可判断旋转角为逆时针$90°$。
验证点B：点B到P的水平距离为$7-3=4$，竖直距离为$5-2=3$，绕P逆时针转$90°$后，对应点在P左侧3个单位、上方4个单位，坐标为$(3-3,2+4)=(0,6)$，与$B_1$坐标一致，确认旋转方式为绕$P(3,2)$逆时针旋转$90°$。
2. 求$C_1$坐标：点C到P的水平距离为$4-3=1$，竖直距离为$7-2=5$，绕P逆时针转$90°$后，$C_1$在P左侧5个单位、上方1个单位，因此坐标为$(3-5,2+1)=(-2,3)$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题核心是通过已知对应点反推旋转规则，再利用规则求解未知点坐标，熟练掌握旋转$90°$的坐标变化特点可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.65
13.如图,将△ABC在网格中(网格中每个小正方形的边长均为1)依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A₃B₃C₃.
(1)△ABC与△A₁B₁C₁的相似比等于
(2)在网格中画出△A₁B₁C₁关于y轴的轴对称图形△A₂B₂C₂;
(3)请写出△A₃B₃C₃是由△A₂B₂C₂怎样平移得到的.
(1)△ABC与△A₁B₁C₁的相似比等于
$\frac{1}{2}$
;(2)在网格中画出△A₁B₁C₁关于y轴的轴对称图形△A₂B₂C₂;
(3)请写出△A₃B₃C₃是由△A₂B₂C₂怎样平移得到的.
答案
13.(1)$\frac{1}{2}$
(2)解：△A₂B₂C₂如图所示
。(3)△A₃B₃C₃是由△A₂B₂C₂沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度得到的。
解析
【分析】
(1)求两个位似三角形的相似比，本质是求对应边的长度之比，先分别数出△ABC和△A₁B₁C₁对应边的格长，再求比值即可。
(2)画关于y轴对称的图形，依据是“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，先找出△A₁B₁C₁三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接三个对称点即可得到所求图形。
(3)判断平移方式，只需选取一组对应点，对比两个点的横、纵坐标变化，横坐标减小就是向左平移，增大就是向右平移；纵坐标增大就是向上平移，减小就是向下平移，根据坐标变化量写出平移方式即可。
【解析】
(1)观察网格可得，△ABC的边AB长为2，△A₁B₁C₁的对应边A₁B₁长为4。位似图形的相似比等于对应边的比，因此△ABC与△A₁B₁C₁的相似比为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2)先确定△A₁B₁C₁三个顶点的坐标：A₁(0,2)，B₁(4,2)，C₁(4,0)。根据关于y轴对称的点的坐标特征，可得三个顶点的对称点坐标为A₂(0,2)，B₂(-4,2)，C₂(-4,0)，顺次连接A₂、B₂、C₂，即可得到△A₂B₂C₂。
(3)选取对应点A₂(0,2)和A₃(-2,4)，横坐标变化为2，即向左平移2个单位长度；纵坐标变化为2，即向上平移2个单位长度，即可得到平移规则。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$
(2)△A₂B₂C₂如图所示。
(3)△A₃B₃C₃是由△A₂B₂C₂沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度得到的。
【知识点】
位似图形的性质，轴对称的坐标特征，平移变换规律
【点评】
本题结合网格考查了位似、轴对称、平移三类图形变换的相关性质，侧重对坐标变化规律的应用考查，解题关键是掌握各类变换下点的坐标变化特点。
【难度系数】
0.7
(1)求两个位似三角形的相似比，本质是求对应边的长度之比，先分别数出△ABC和△A₁B₁C₁对应边的格长，再求比值即可。
(2)画关于y轴对称的图形，依据是“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，先找出△A₁B₁C₁三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接三个对称点即可得到所求图形。
(3)判断平移方式，只需选取一组对应点，对比两个点的横、纵坐标变化，横坐标减小就是向左平移，增大就是向右平移；纵坐标增大就是向上平移，减小就是向下平移，根据坐标变化量写出平移方式即可。
【解析】
(1)观察网格可得，△ABC的边AB长为2，△A₁B₁C₁的对应边A₁B₁长为4。位似图形的相似比等于对应边的比，因此△ABC与△A₁B₁C₁的相似比为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2)先确定△A₁B₁C₁三个顶点的坐标：A₁(0,2)，B₁(4,2)，C₁(4,0)。根据关于y轴对称的点的坐标特征，可得三个顶点的对称点坐标为A₂(0,2)，B₂(-4,2)，C₂(-4,0)，顺次连接A₂、B₂、C₂，即可得到△A₂B₂C₂。
(3)选取对应点A₂(0,2)和A₃(-2,4)，横坐标变化为2，即向左平移2个单位长度；纵坐标变化为2，即向上平移2个单位长度，即可得到平移规则。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$
(2)△A₂B₂C₂如图所示
。(3)△A₃B₃C₃是由△A₂B₂C₂沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度得到的。
【知识点】
位似图形的性质，轴对称的坐标特征，平移变换规律
【点评】
本题结合网格考查了位似、轴对称、平移三类图形变换的相关性质，侧重对坐标变化规律的应用考查，解题关键是掌握各类变换下点的坐标变化特点。
【难度系数】
0.7
14.(核心素养·几何直观)如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA₁B₁,第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂,第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃,已知A(1,5)、A₁(2,5)、A₂(4,5)、A₃(8,5)、B(2,0)、B₁(4,0)、B₂(8,0)、B₃(16,0).
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律.按此规律将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄,则A₄的坐标是
(2)若按第(1)题中找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAₙBₙ,比较每次变换中三角形顶点的坐标有何变化,找出规律,推测Aₙ的坐标是
(3)判断△OAₙBₙ的形状,并说明理由.
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律.按此规律将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄,则A₄的坐标是
(16,5)
,B₄的坐标是(32,0)
;(2)若按第(1)题中找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAₙBₙ,比较每次变换中三角形顶点的坐标有何变化,找出规律,推测Aₙ的坐标是
$(2^n,5)$
,Bₙ的坐标是$(2^{n+1},0)$
;(3)判断△OAₙBₙ的形状,并说明理由.
答案
14.(1)(16,5)；(32,0)
(2)$(2^n,5)$；$(2^{n+1},0)$
(3)解：△OAₙBₙ是等腰三角形，理由如下：如图
，过$A_n$作$A_nC ⊥ OB_n$于点C. $\because A_n$的坐标是$(2^n,5)$,$B_n$的坐标是$(2^{n+1},0)$,$\therefore OC=2^n$,$OB_n=2^{n+1}$. $\therefore OB_n=2OC$. $\therefore OA_n=A_nB_n$,$\therefore △ OA_nB_n$是等腰三角形。解析
【分析】
解决前两问时，先分别观察A系列、B系列点的横纵坐标变化特征：纵坐标均保持固定值不变，横坐标呈现2的幂次增长规律，先总结出第k次变换后对应点的坐标规律，再代入k=4求解第(1)问，推广到一般情况n求解第(2)问；解决第(3)问时，结合An和Bn的坐标，过An作x轴的垂线，通过坐标判断垂足是OBn的中点，再根据垂直平分线的性质得出两边相等，即可判定三角形形状。
【解析】
(1)观察已知点坐标规律：
A点系列：$A(1,5)=(2^0,5)$，$A_1(2,5)=(2^1,5)$，$A_2(4,5)=(2^2,5)$，$A_3(8,5)=(2^3,5)$，可得规律：第k次变换后$A_k$的横坐标为$2^k$，纵坐标恒为5。
当k=4时，$A_4$的横坐标为$2^4=16$，纵坐标为5，即$A_4(16,5)$。
B点系列：$B(2,0)=(2^1,0)$，$B_1(4,0)=(2^2,0)$，$B_2(8,0)=(2^3,0)$，$B_3(16,0)=(2^4,0)$，可得规律：第k次变换后$B_k$的横坐标为$2^{k+1}$，纵坐标恒为0。
当k=4时，$B_4$的横坐标为$2^{4+1}=32$，纵坐标为0，即$B_4(32,0)$。
(2)结合(1)的规律推广到n次变换：
$A_n$的横坐标为$2^n$，纵坐标为5，即$A_n(2^n,5)$；
$B_n$的横坐标为$2^{n+1}$，纵坐标为0，即$B_n(2^{n+1},0)$。
(3)$△ OA_nB_n$是等腰三角形，理由如下：
如图，过$A_n$作$A_nC ⊥ OB_n$于点C。
$\because A_n$的坐标是$(2^n,5)$，$B_n$的坐标是$(2^{n+1},0)$，
$\therefore OC=2^n$，$OB_n=2^{n+1}$，
$\therefore CB_n=OB_n-OC=2^{n+1}-2^n=2^n$，即$OC=CB_n$，
$\therefore A_nC$是线段$OB_n$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$OA_n=A_nB_n$，
$\therefore △ OA_nB_n$是等腰三角形。
【答案】
(1)$(16,5)$；$(32,0)$
(2)$(2^n,5)$；$(2^{n+1},0)$
(3)解：$△ OA_nB_n$是等腰三角形，理由如下：如图，过$A_n$作$A_nC ⊥ OB_n$于点C. $\because A_n$的坐标是$(2^n,5)$,$B_n$的坐标是$(2^{n+1},0)$,$\therefore OC=2^n$,$OB_n=2^{n+1}$. $\therefore OB_n=2OC$. $\therefore OA_n=A_nB_n$,$\therefore △ OA_nB_n$是等腰三角形。
【知识点】
坐标规律探究；等腰三角形判定；图形变换与坐标
【点评】
本题将坐标变换、规律探究与几何图形判定相结合，既考查了学生观察、归纳数字规律的能力，又考查了等腰三角形判定的几何推理能力，需要学生灵活结合代数规律和几何性质解题。
【难度系数】
0.7
解决前两问时，先分别观察A系列、B系列点的横纵坐标变化特征：纵坐标均保持固定值不变，横坐标呈现2的幂次增长规律，先总结出第k次变换后对应点的坐标规律，再代入k=4求解第(1)问，推广到一般情况n求解第(2)问；解决第(3)问时，结合An和Bn的坐标，过An作x轴的垂线，通过坐标判断垂足是OBn的中点，再根据垂直平分线的性质得出两边相等，即可判定三角形形状。
【解析】
(1)观察已知点坐标规律：
A点系列：$A(1,5)=(2^0,5)$，$A_1(2,5)=(2^1,5)$，$A_2(4,5)=(2^2,5)$，$A_3(8,5)=(2^3,5)$，可得规律：第k次变换后$A_k$的横坐标为$2^k$，纵坐标恒为5。
当k=4时，$A_4$的横坐标为$2^4=16$，纵坐标为5，即$A_4(16,5)$。
B点系列：$B(2,0)=(2^1,0)$，$B_1(4,0)=(2^2,0)$，$B_2(8,0)=(2^3,0)$，$B_3(16,0)=(2^4,0)$，可得规律：第k次变换后$B_k$的横坐标为$2^{k+1}$，纵坐标恒为0。
当k=4时，$B_4$的横坐标为$2^{4+1}=32$，纵坐标为0，即$B_4(32,0)$。
(2)结合(1)的规律推广到n次变换：
$A_n$的横坐标为$2^n$，纵坐标为5，即$A_n(2^n,5)$；
$B_n$的横坐标为$2^{n+1}$，纵坐标为0，即$B_n(2^{n+1},0)$。
(3)$△ OA_nB_n$是等腰三角形，理由如下：
如图
，过$A_n$作$A_nC ⊥ OB_n$于点C。$\because A_n$的坐标是$(2^n,5)$，$B_n$的坐标是$(2^{n+1},0)$，
$\therefore OC=2^n$，$OB_n=2^{n+1}$，
$\therefore CB_n=OB_n-OC=2^{n+1}-2^n=2^n$，即$OC=CB_n$，
$\therefore A_nC$是线段$OB_n$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$OA_n=A_nB_n$，
$\therefore △ OA_nB_n$是等腰三角形。
【答案】
(1)$(16,5)$；$(32,0)$
(2)$(2^n,5)$；$(2^{n+1},0)$
(3)解：$△ OA_nB_n$是等腰三角形，理由如下：如图
，过$A_n$作$A_nC ⊥ OB_n$于点C. $\because A_n$的坐标是$(2^n,5)$,$B_n$的坐标是$(2^{n+1},0)$,$\therefore OC=2^n$,$OB_n=2^{n+1}$. $\therefore OB_n=2OC$. $\therefore OA_n=A_nB_n$,$\therefore △ OA_nB_n$是等腰三角形。【知识点】
坐标规律探究；等腰三角形判定；图形变换与坐标
【点评】
本题将坐标变换、规律探究与几何图形判定相结合，既考查了学生观察、归纳数字规律的能力，又考查了等腰三角形判定的几何推理能力，需要学生灵活结合代数规律和几何性质解题。
【难度系数】
0.7
