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一次函数$y=kx+b$，当$x=-1$时，$y=5$；当$x=0$时，$y=-1$。你能用不同方法求这个一次函数的表达式吗？
答案
解：
方法1：代入二元一次方程组求解
将$\begin{cases} x=-1 \\ y=5 \end{cases}$和$\begin{cases} x=0 \\ y=-1 \end{cases}$分别代入$y=kx+b$，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组：
$\begin{cases} -k + b = 5 \\ b = -1 \end{cases}$
将$b=-1$代入$-k + b = 5$，得$-k -1 = 5$，解得$k=-6$。
因此该一次函数的表达式为$y=-6x-1$。
方法2：利用一次函数$k$的意义求解
一次函数$y=kx+b$的图象是经过点$(-1,5)$和点$(0,-1)$的直线，根据$k$的定义：
$k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{-1 - 5}{0 - (-1)}=-6$
将$k=-6$，$x=0$，$y=-1$代入$y=kx+b$，得$-1 = 0 + b$，即$b=-1$。
因此该一次函数的表达式为$y=-6x-1$。
方法1：代入二元一次方程组求解
将$\begin{cases} x=-1 \\ y=5 \end{cases}$和$\begin{cases} x=0 \\ y=-1 \end{cases}$分别代入$y=kx+b$，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组：
$\begin{cases} -k + b = 5 \\ b = -1 \end{cases}$
将$b=-1$代入$-k + b = 5$，得$-k -1 = 5$，解得$k=-6$。
因此该一次函数的表达式为$y=-6x-1$。
方法2：利用一次函数$k$的意义求解
一次函数$y=kx+b$的图象是经过点$(-1,5)$和点$(0,-1)$的直线，根据$k$的定义：
$k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{-1 - 5}{0 - (-1)}=-6$
将$k=-6$，$x=0$，$y=-1$代入$y=kx+b$，得$-1 = 0 + b$，即$b=-1$。
因此该一次函数的表达式为$y=-6x-1$。
解析
【分析】
要确定一次函数$y=kx+b$的表达式，需要求出未知系数$k$和$b$的值，共有两种常见思路：① 待定系数法：将两组$x、y$的对应值直接代入函数式，得到关于$k、b$的二元一次方程组，解方程组即可得到$k、b$的值；② 利用$k$的意义求解：一次函数图象是过已知两个点的直线，$k$等于两点纵坐标的差与横坐标差的比值，先算出$k$，再代入任意一组点的坐标求$b$即可。
【解析】
方法1：代入二元一次方程组求解
将$\begin{cases} x=-1 \\ y=5 \end{cases}$和$\begin{cases} x=0 \\ y=-1 \end{cases}$分别代入$y=kx+b$，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组：
$\begin{cases} -k + b = 5 \\ b = -1 \end{cases}$
将$b=-1$代入$-k + b = 5$，得$-k -1 = 5$，解得$k=-6$。
因此该一次函数的表达式为$y=-6x-1$。
方法2：利用一次函数$k$的意义求解
一次函数$y=kx+b$的图象是经过点$(-1,5)$和点$(0,-1)$的直线，根据$k$的定义：
$k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{-1 - 5}{0 - (-1)}=-6$
将$k=-6$，$x=0$，$y=-1$代入$y=kx+b$，得$-1 = 0 + b$，即$b=-1$。
因此该一次函数的表达式为$y=-6x-1$。
【答案】
$y=-6x-1$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数$k$的意义
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是求一次函数解析式的基础题型，两种解题方法分别从代数计算和函数几何性质的角度出发，能够帮助学生加深对一次函数性质、待定系数法的理解，熟练掌握后可快速解决同类求解析式的问题。
【难度系数】
0.8
要确定一次函数$y=kx+b$的表达式，需要求出未知系数$k$和$b$的值，共有两种常见思路：① 待定系数法：将两组$x、y$的对应值直接代入函数式，得到关于$k、b$的二元一次方程组，解方程组即可得到$k、b$的值；② 利用$k$的意义求解：一次函数图象是过已知两个点的直线，$k$等于两点纵坐标的差与横坐标差的比值，先算出$k$，再代入任意一组点的坐标求$b$即可。
【解析】
方法1：代入二元一次方程组求解
将$\begin{cases} x=-1 \\ y=5 \end{cases}$和$\begin{cases} x=0 \\ y=-1 \end{cases}$分别代入$y=kx+b$，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组：
$\begin{cases} -k + b = 5 \\ b = -1 \end{cases}$
将$b=-1$代入$-k + b = 5$，得$-k -1 = 5$，解得$k=-6$。
因此该一次函数的表达式为$y=-6x-1$。
方法2：利用一次函数$k$的意义求解
一次函数$y=kx+b$的图象是经过点$(-1,5)$和点$(0,-1)$的直线，根据$k$的定义：
$k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{-1 - 5}{0 - (-1)}=-6$
将$k=-6$，$x=0$，$y=-1$代入$y=kx+b$，得$-1 = 0 + b$，即$b=-1$。
因此该一次函数的表达式为$y=-6x-1$。
【答案】
$y=-6x-1$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数$k$的意义
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是求一次函数解析式的基础题型，两种解题方法分别从代数计算和函数几何性质的角度出发，能够帮助学生加深对一次函数性质、待定系数法的理解，熟练掌握后可快速解决同类求解析式的问题。
【难度系数】
0.8
例 已知$y$是$x$的一次函数，当$x=3$时，$y=1$；当$x=-2$时，$y=-14$.求这个一次函数的表达式.
答案
解：设这个一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将$x=3$，$y=1$和$x=-2$，$y=-14$分别代入表达式，得
$\begin{cases} 3k + b = 1 \\ -2k + b = -14 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$5k=15$，解得$k=3$。
把$k=3$代入$3k + b = 1$，得$9 + b = 1$，解得$b=-8$。
所以这个一次函数的表达式为$y=3x-8$。
将$x=3$，$y=1$和$x=-2$，$y=-14$分别代入表达式，得
$\begin{cases} 3k + b = 1 \\ -2k + b = -14 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$5k=15$，解得$k=3$。
把$k=3$代入$3k + b = 1$，得$9 + b = 1$，解得$b=-8$。
所以这个一次函数的表达式为$y=3x-8$。
解析
【分析】
已知y是x的一次函数，首先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），我们可以用待定系数法求解：先设出函数表达式，再将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，就能得到关于参数k、b的二元一次方程组，解出k和b的数值后，代回所设表达式即可得到所求的一次函数解析式。
【解析】
解：设这个一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将$x=3$，$y=1$和$x=-2$，$y=-14$分别代入表达式，得
$\begin{cases} 3k + b = 1 \\ -2k + b = -14 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$5k=15$，解得$k=3$。
把$k=3$代入$3k + b = 1$，得$9 + b = 1$，解得$b=-8$。
所以这个一次函数的表达式为$y=3x-8$。
【答案】
$y=3x-8$
【知识点】
待定系数法、二元一次方程组求解、一次函数定义
【点评】
本题是求一次函数解析式的基础典型题，解题核心是熟练掌握待定系数法的操作步骤，这类题型是后续学习一次函数图像性质、实际应用问题的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
已知y是x的一次函数，首先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），我们可以用待定系数法求解：先设出函数表达式，再将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，就能得到关于参数k、b的二元一次方程组，解出k和b的数值后，代回所设表达式即可得到所求的一次函数解析式。
【解析】
解：设这个一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将$x=3$，$y=1$和$x=-2$，$y=-14$分别代入表达式，得
$\begin{cases} 3k + b = 1 \\ -2k + b = -14 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$5k=15$，解得$k=3$。
把$k=3$代入$3k + b = 1$，得$9 + b = 1$，解得$b=-8$。
所以这个一次函数的表达式为$y=3x-8$。
【答案】
$y=3x-8$
【知识点】
待定系数法、二元一次方程组求解、一次函数定义
【点评】
本题是求一次函数解析式的基础典型题，解题核心是熟练掌握待定系数法的操作步骤，这类题型是后续学习一次函数图像性质、实际应用问题的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
(1)已知函数$y=kx$,当$x=-2$时,$y=10,k=$;
答案
$\boldsymbol{-5}$
解析
【分析】
本题已知正比例函数的表达式和一组对应的自变量、函数值，解题思路为：根据函数的定义，自变量与对应函数值满足函数解析式，因此将已知的x、y的值代入y=kx中，即可得到关于k的一元一次方程，解该方程就能求出k的取值。
【解析】
将$x=-2$，$y=10$代入函数解析式$y=kx$，可得：
$10 = k×(-2)$
整理得：$-2k=10$
方程两边同时除以$-2$，解得：$k=-5$
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
正比例函数概念，代入求值，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查正比例函数中自变量与函数值的对应关系，是待定系数法求函数解析式的入门应用，计算时注意符号处理即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题已知正比例函数的表达式和一组对应的自变量、函数值，解题思路为：根据函数的定义，自变量与对应函数值满足函数解析式，因此将已知的x、y的值代入y=kx中，即可得到关于k的一元一次方程，解该方程就能求出k的取值。
【解析】
将$x=-2$，$y=10$代入函数解析式$y=kx$，可得：
$10 = k×(-2)$
整理得：$-2k=10$
方程两边同时除以$-2$，解得：$k=-5$
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
正比例函数概念，代入求值，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查正比例函数中自变量与函数值的对应关系，是待定系数法求函数解析式的入门应用，计算时注意符号处理即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
(2) 已知一次函数 $ y=(k+3)x -13 $ 的图象上一点 $ P $ 的坐标是 $ (-5,7) $，那么 $ k $ 的值为。
答案
$\boldsymbol{-7}$
解析
【分析】
解题的核心依据是：一次函数图象上的任意一点的坐标都满足该一次函数的解析式。我们只需将点P的横、纵坐标代入给定的一次函数表达式，就能得到一个仅含未知数k的一元一次方程，解此方程即可求出k的值。
【解析】
已知点$P(-5,7)$在一次函数$y=(k+3)x -13$的图象上，因此将$x=-5$，$y=7$代入函数解析式：
$7 = (k+3)×(-5) - 13$
整理方程得：
$7 = -5k - 15 - 13$
$7 = -5k - 28$
移项合并同类项：
$5k = -28 -7$
$5k = -35$
系数化为1得：
$k=-7$
【答案】
$\boldsymbol{-7}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，掌握该对应关系、计算时注意符号即可正确解题。
【难度系数】
0.85
解题的核心依据是：一次函数图象上的任意一点的坐标都满足该一次函数的解析式。我们只需将点P的横、纵坐标代入给定的一次函数表达式，就能得到一个仅含未知数k的一元一次方程，解此方程即可求出k的值。
【解析】
已知点$P(-5,7)$在一次函数$y=(k+3)x -13$的图象上，因此将$x=-5$，$y=7$代入函数解析式：
$7 = (k+3)×(-5) - 13$
整理方程得：
$7 = -5k - 15 - 13$
$7 = -5k - 28$
移项合并同类项：
$5k = -28 -7$
$5k = -35$
系数化为1得：
$k=-7$
【答案】
$\boldsymbol{-7}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，掌握该对应关系、计算时注意符号即可正确解题。
【难度系数】
0.85
2. 一次函数$y=kx+b$，当$x=1$时，$y=5$；当$x=-1$时，$y=1$.求$k$和$b$的值.
答案
解：
把$x=1,y=5$和$x=-1,y=1$分别代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}k + b = 5 \\-k + b = 1\end{cases}$
将两个方程相加，得$2b=6$，解得$b=3$。
把$b=3$代入$k + b = 5$，得$k + 3 = 5$，解得$k=2$。
所以$k=2$，$b=3$。
把$x=1,y=5$和$x=-1,y=1$分别代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}k + b = 5 \\-k + b = 1\end{cases}$
将两个方程相加，得$2b=6$，解得$b=3$。
把$b=3$代入$k + b = 5$，得$k + 3 = 5$，解得$k=2$。
所以$k=2$，$b=3$。
解析
【分析】
本题要求一次函数的未知系数k和b，可采用待定系数法求解：首先将题目给出的两组x、y的对应值分别代入一次函数解析式$y=kx+b$中，就能得到一个关于k和b的二元一次方程组，再解这个方程组即可求出k和b的值。
【解析】
解：把$x=1,y=5$和$x=-1,y=1$分别代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}k + b = 5 \\-k + b = 1\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，可得$2b=6$，解得$b=3$。
把$b=3$代入$k + b = 5$，得$k + 3 = 5$，解得$k=2$。
所以$k=2$，$b=3$。
【答案】
$k=2$，$b=3$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是一次函数解析式求解的基础题型，核心考查待定系数法的应用，同时涉及二元一次方程组的运算，掌握对应方法后即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题要求一次函数的未知系数k和b，可采用待定系数法求解：首先将题目给出的两组x、y的对应值分别代入一次函数解析式$y=kx+b$中，就能得到一个关于k和b的二元一次方程组，再解这个方程组即可求出k和b的值。
【解析】
解：把$x=1,y=5$和$x=-1,y=1$分别代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}k + b = 5 \\-k + b = 1\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，可得$2b=6$，解得$b=3$。
把$b=3$代入$k + b = 5$，得$k + 3 = 5$，解得$k=2$。
所以$k=2$，$b=3$。
【答案】
$k=2$，$b=3$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是一次函数解析式求解的基础题型，核心考查待定系数法的应用，同时涉及二元一次方程组的运算，掌握对应方法后即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
3. 已知y是x的一次函数，请补全表格. 
答案
解：设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k ≠ 0$）。
将$x=-3,y=6$和$x=-2,y=4$代入表达式，得
$\begin{cases}-3k + b = 6 \\-2k + b = 4\end{cases}$
两式相减得$k=-2$，
将$k=-2$代入$-2k + b = 4$，得$4 + b = 4$，解得$b=0$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x$。
当$x=-1$时，$y=-2×(-1)=2$；
当$x=0$时，$y=-2×0=0$；
当$x=1$时，$y=-2×1=-2$。
答：表格中y行的空缺数值从左到右依次为2，0，-2。
将$x=-3,y=6$和$x=-2,y=4$代入表达式，得
$\begin{cases}-3k + b = 6 \\-2k + b = 4\end{cases}$
两式相减得$k=-2$，
将$k=-2$代入$-2k + b = 4$，得$4 + b = 4$，解得$b=0$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x$。
当$x=-1$时，$y=-2×(-1)=2$；
当$x=0$时，$y=-2×0=0$；
当$x=1$时，$y=-2×1=-2$。
答：表格中y行的空缺数值从左到右依次为2，0，-2。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确已知y是x的一次函数，因此可以先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$）；再利用表格中给出的两组x、y的对应值，代入所设解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可确定一次函数的具体表达式；最后将表格中待求y对应的x值分别代入表达式，计算得到对应的y值，就能补全表格。
【解析】
解：设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将$x=-3,y=6$和$x=-2,y=4$代入表达式，得：
$\begin{cases}-3k + b = 6 \\-2k + b = 4\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=-2$，
将$k=-2$代入$-2k + b = 4$，得$4 + b = 4$，解得$b=0$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x$。
分别代入剩余的x值计算：
当$x=-1$时，$y=-2×(-1)=2$；
当$x=0$时，$y=-2×0=0$；
当$x=1$时，$y=-2×1=-2$。
【答案】
表格中y行的空缺数值从左到右依次为2，0，-2
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 一次函数值计算
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，核心是掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，这类题是后续学习一次函数图像与性质、一次函数应用的基础，熟练掌握后就能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确已知y是x的一次函数，因此可以先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$）；再利用表格中给出的两组x、y的对应值，代入所设解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可确定一次函数的具体表达式；最后将表格中待求y对应的x值分别代入表达式，计算得到对应的y值，就能补全表格。
【解析】
解：设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将$x=-3,y=6$和$x=-2,y=4$代入表达式，得：
$\begin{cases}-3k + b = 6 \\-2k + b = 4\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=-2$，
将$k=-2$代入$-2k + b = 4$，得$4 + b = 4$，解得$b=0$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x$。
分别代入剩余的x值计算：
当$x=-1$时，$y=-2×(-1)=2$；
当$x=0$时，$y=-2×0=0$；
当$x=1$时，$y=-2×1=-2$。
【答案】
表格中y行的空缺数值从左到右依次为2，0，-2
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 一次函数值计算
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，核心是掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，这类题是后续学习一次函数图像与性质、一次函数应用的基础，熟练掌握后就能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
