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4. 如图，A，B两地相距100 km，C地在A，B两地之间，且距离A地30 km，一辆汽车的行驶速度为60 km/h.结合以上信息，分别说明下列函数表达式的实际意义：
(1) $S=60t+30$；
(2) $S=-60t+100$.
(1) $S=60t+30$；
(2) $S=-60t+100$.
答案
解：
(1) 该表达式的实际意义为：汽车从C地出发，沿C向B的方向以60 km/h的速度匀速行驶，S表示汽车行驶t小时后距离A地的路程，其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤ \frac{7}{6}$。
(2) 该表达式的实际意义为：汽车从B地出发，沿B向A的方向以60 km/h的速度匀速行驶，S表示汽车行驶t小时后距离A地的路程，其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤ \frac{5}{3}$。
(1) 该表达式的实际意义为：汽车从C地出发，沿C向B的方向以60 km/h的速度匀速行驶，S表示汽车行驶t小时后距离A地的路程，其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤ \frac{7}{6}$。
(2) 该表达式的实际意义为：汽车从B地出发，沿B向A的方向以60 km/h的速度匀速行驶，S表示汽车行驶t小时后距离A地的路程，其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤ \frac{5}{3}$。
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：A、B两地相距100km，C地距A地30km，距B地70km，汽车行驶速度为60km/h。分析一次函数表达式时，先看常数项：它代表t=0（初始时刻）时S的取值，对应汽车的出发位置与A地的距离；再看一次项系数：系数的正负代表S随t变化的趋势，正号说明随时间增加S增大，即汽车向远离A的方向行驶，负号说明随时间增加S减小，即汽车向靠近A的方向行驶，系数的绝对值对应汽车行驶速度；最后结合实际行程确定自变量t的取值范围，即汽车从出发地到终点的最大行驶时间。
【解析】
(1) 对于$S=60t+30$：
当$t=0$时，$S=30\mathrm{km}$，正好是C地到A地的距离，说明初始时刻汽车在C地；一次项系数为+60，说明每过1小时，S增加60km，即汽车以60km/h的速度向远离A地（向B地）的方向行驶，S是汽车行驶t小时后距离A地的路程。
当汽车到达B地时$S=100\mathrm{km}$，代入得$100=60t+30$，解得$t=\frac{7}{6}\mathrm{h}$，因此t的取值范围是$0≤ t≤ \frac{7}{6}$。
(2) 对于$S=-60t+100$：
当$t=0$时，$S=100\mathrm{km}$，正好是B地到A地的距离，说明初始时刻汽车在B地；一次项系数为-60，说明每过1小时，S减少60km，即汽车以60km/h的速度向靠近A地的方向行驶，S是汽车行驶t小时后距离A地的路程。
当汽车到达A地时$S=0$，代入得$0=-60t+100$，解得$t=\frac{5}{3}\mathrm{h}$，因此t的取值范围是$0≤ t≤ \frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 该表达式的实际意义为：汽车从C地出发，沿C向B的方向以60 km/h的速度匀速行驶，S表示汽车行驶t小时后距离A地的路程，其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤ \frac{7}{6}$。
(2) 该表达式的实际意义为：汽车从B地出发，沿B向A的方向以60 km/h的速度匀速行驶，S表示汽车行驶t小时后距离A地的路程，其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤ \frac{5}{3}$。
【知识点】
一次函数的实际意义，行程问题等量关系，自变量取值范围
【点评】
本题结合行程情境考查一次函数的实际应用，解题核心是通过分析一次函数的常数项和一次项系数的实际含义，确定运动的起点、方向和对应路程的意义，同时要注意自变量的取值需要符合实际情境，不能超出实际运动的时间范围。
【难度系数】
0.7
首先梳理题目已知条件：A、B两地相距100km，C地距A地30km，距B地70km，汽车行驶速度为60km/h。分析一次函数表达式时，先看常数项：它代表t=0（初始时刻）时S的取值，对应汽车的出发位置与A地的距离；再看一次项系数：系数的正负代表S随t变化的趋势，正号说明随时间增加S增大，即汽车向远离A的方向行驶，负号说明随时间增加S减小，即汽车向靠近A的方向行驶，系数的绝对值对应汽车行驶速度；最后结合实际行程确定自变量t的取值范围，即汽车从出发地到终点的最大行驶时间。
【解析】
(1) 对于$S=60t+30$：
当$t=0$时，$S=30\mathrm{km}$，正好是C地到A地的距离，说明初始时刻汽车在C地；一次项系数为+60，说明每过1小时，S增加60km，即汽车以60km/h的速度向远离A地（向B地）的方向行驶，S是汽车行驶t小时后距离A地的路程。
当汽车到达B地时$S=100\mathrm{km}$，代入得$100=60t+30$，解得$t=\frac{7}{6}\mathrm{h}$，因此t的取值范围是$0≤ t≤ \frac{7}{6}$。
(2) 对于$S=-60t+100$：
当$t=0$时，$S=100\mathrm{km}$，正好是B地到A地的距离，说明初始时刻汽车在B地；一次项系数为-60，说明每过1小时，S减少60km，即汽车以60km/h的速度向靠近A地的方向行驶，S是汽车行驶t小时后距离A地的路程。
当汽车到达A地时$S=0$，代入得$0=-60t+100$，解得$t=\frac{5}{3}\mathrm{h}$，因此t的取值范围是$0≤ t≤ \frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 该表达式的实际意义为：汽车从C地出发，沿C向B的方向以60 km/h的速度匀速行驶，S表示汽车行驶t小时后距离A地的路程，其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤ \frac{7}{6}$。
(2) 该表达式的实际意义为：汽车从B地出发，沿B向A的方向以60 km/h的速度匀速行驶，S表示汽车行驶t小时后距离A地的路程，其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤ \frac{5}{3}$。
【知识点】
一次函数的实际意义，行程问题等量关系，自变量取值范围
【点评】
本题结合行程情境考查一次函数的实际应用，解题核心是通过分析一次函数的常数项和一次项系数的实际含义，确定运动的起点、方向和对应路程的意义，同时要注意自变量的取值需要符合实际情境，不能超出实际运动的时间范围。
【难度系数】
0.7
5. 小明受“乌鸦喝水”的启发，利用量筒和若干个体积相同的小球进行如下操作.
根据图中所提供的信息，解答下列问题.
（1）放入1个小球，量筒中水面升高 cm；
（2）写出放入小球后量筒中水面的高度 $ y $ cm 关于小球个数 $ x $ 的函数表达式；
（3）量筒中至少放入多少个小球水会溢出？
根据图中所提供的信息，解答下列问题.
（1）放入1个小球，量筒中水面升高 cm；
（2）写出放入小球后量筒中水面的高度 $ y $ cm 关于小球个数 $ x $ 的函数表达式；
（3）量筒中至少放入多少个小球水会溢出？
答案
$\boldsymbol{2}$
(2) 初始水面高度为$30\ \mathrm{cm}$，每放入1个小球水面升高$2\ \mathrm{cm}$，
可得水面高度$y$关于小球个数$x$的函数表达式为：
$y=2x+30$（$x$为非负整数）
(3) 由水溢出的条件可得不等式：
$2x+30＞49$
移项得$2x＞19$
解得$x＞9.5$
因为$x$为正整数，所以$x$的最小取值为10。
答：量筒中至少放入10个小球水会溢出。
(2) 初始水面高度为$30\ \mathrm{cm}$，每放入1个小球水面升高$2\ \mathrm{cm}$，
可得水面高度$y$关于小球个数$x$的函数表达式为：
$y=2x+30$（$x$为非负整数）
(3) 由水溢出的条件可得不等式：
$2x+30＞49$
移项得$2x＞19$
解得$x＞9.5$
因为$x$为正整数，所以$x$的最小取值为10。
答：量筒中至少放入10个小球水会溢出。
解析
【分析】
解题时先提取图中已知信息：量筒初始水面高度30cm，放入3个小球后水面高度为36cm，量筒总高度为49cm。
1. 求解单个小球使水面升高的高度：先计算放入3个小球的总升高高度，再除以小球个数3，即可得到单个小球对应的水面升高量。
2. 求函数表达式：水面总高度=初始水面高度+放入x个小球的总升高高度，结合第一问得到的单个球升高高度，代入即可得到y与x的关系式，注意小球个数x为非负整数。
3. 求溢水时的最少小球数：水溢出的条件是水面高度大于量筒总高度49cm，据此列不等式求解，最终结果要结合x为正整数的要求取最小整数值。
【解析】
（1）放入3个小球后水面总升高高度为$36-30=6\ \mathrm{cm}$，因此放入1个小球量筒中水面升高$6÷3=2\ \mathrm{cm}$。
（2）已知初始水面高度为$30\ \mathrm{cm}$，每放入1个小球水面升高$2\ \mathrm{cm}$，因此放入$x$个小球后，水面高度$y$的表达式为：
$y=2x+30$（$x$为非负整数）
（3）当水面高度大于量筒总高度$49\ \mathrm{cm}$时水会溢出，因此列不等式：
$2x+30＞49$
移项计算得$2x＞19$，解得$x＞9.5$
因为小球个数$x$为正整数，所以$x$的最小取值为10。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$
（2）$\boldsymbol{y=2x+30}$（$x$为非负整数）
（3）$\boldsymbol{10}$个
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用、函数关系式列写
【点评】
本题结合趣味生活情境考查数学知识的实际应用，解题核心是从图示中提取有效数值信息，理清各数量之间的关系，求解不等式时要注意结合自变量的实际意义取整数解，整体难度适中，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
解题时先提取图中已知信息：量筒初始水面高度30cm，放入3个小球后水面高度为36cm，量筒总高度为49cm。
1. 求解单个小球使水面升高的高度：先计算放入3个小球的总升高高度，再除以小球个数3，即可得到单个小球对应的水面升高量。
2. 求函数表达式：水面总高度=初始水面高度+放入x个小球的总升高高度，结合第一问得到的单个球升高高度，代入即可得到y与x的关系式，注意小球个数x为非负整数。
3. 求溢水时的最少小球数：水溢出的条件是水面高度大于量筒总高度49cm，据此列不等式求解，最终结果要结合x为正整数的要求取最小整数值。
【解析】
（1）放入3个小球后水面总升高高度为$36-30=6\ \mathrm{cm}$，因此放入1个小球量筒中水面升高$6÷3=2\ \mathrm{cm}$。
（2）已知初始水面高度为$30\ \mathrm{cm}$，每放入1个小球水面升高$2\ \mathrm{cm}$，因此放入$x$个小球后，水面高度$y$的表达式为：
$y=2x+30$（$x$为非负整数）
（3）当水面高度大于量筒总高度$49\ \mathrm{cm}$时水会溢出，因此列不等式：
$2x+30＞49$
移项计算得$2x＞19$，解得$x＞9.5$
因为小球个数$x$为正整数，所以$x$的最小取值为10。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$
（2）$\boldsymbol{y=2x+30}$（$x$为非负整数）
（3）$\boldsymbol{10}$个
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用、函数关系式列写
【点评】
本题结合趣味生活情境考查数学知识的实际应用，解题核心是从图示中提取有效数值信息，理清各数量之间的关系，求解不等式时要注意结合自变量的实际意义取整数解，整体难度适中，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
