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（1）有下列函数：① $y=π x$；② $y=2x-1$；③ $y=\frac{1}{x}$；④ $y=2-3x$；⑤ $y=x^2 -1$。其中，是一次函数的有（）。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是先明确一次函数的判定标准：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的函数是一次函数，其中当$b=0$时的正比例函数属于特殊的一次函数；判定时需满足三个条件：①表达式为整式，②自变量$x$的最高次数为1，③$x$的系数不为0。接下来我们逐个对给出的函数进行判定，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
我们根据一次函数的定义逐个判断：
① $y=π x$：$π$是不为0的常数，符合$y=kx$（$k=π\ne0$，$b=0$），属于正比例函数，是特殊的一次函数；
② $y=2x-1$：符合$y=kx+b$（$k=2\ne0$，$b=-1$），是一次函数；
③ $y=\frac{1}{x}$：表达式是分式，且自变量$x$的次数为$-1$，不是一次函数，属于反比例函数；
④ $y=2-3x$：整理为$y=-3x+2$，符合$y=kx+b$（$k=-3\ne0$，$b=2$），是一次函数；
⑤ $y=x^2 -1$：自变量$x$的最高次数为2，不是一次函数，属于二次函数。
综上，是一次函数的有①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确记忆一次函数的判定条件，注意不要漏判正比例函数，同时要能正确区分一次函数与反比例函数、二次函数的特征。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确一次函数的判定标准：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的函数是一次函数，其中当$b=0$时的正比例函数属于特殊的一次函数；判定时需满足三个条件：①表达式为整式，②自变量$x$的最高次数为1，③$x$的系数不为0。接下来我们逐个对给出的函数进行判定，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
我们根据一次函数的定义逐个判断：
① $y=π x$：$π$是不为0的常数，符合$y=kx$（$k=π\ne0$，$b=0$），属于正比例函数，是特殊的一次函数；
② $y=2x-1$：符合$y=kx+b$（$k=2\ne0$，$b=-1$），是一次函数；
③ $y=\frac{1}{x}$：表达式是分式，且自变量$x$的次数为$-1$，不是一次函数，属于反比例函数；
④ $y=2-3x$：整理为$y=-3x+2$，符合$y=kx+b$（$k=-3\ne0$，$b=2$），是一次函数；
⑤ $y=x^2 -1$：自变量$x$的最高次数为2，不是一次函数，属于二次函数。
综上，是一次函数的有①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确记忆一次函数的判定条件，注意不要漏判正比例函数，同时要能正确区分一次函数与反比例函数、二次函数的特征。
【难度系数】
0.8
(2) 下列函数中，正比例函数是().
A.$y=3x-1$
B.$y=-3x$
C.$y=5x^2$
D.$y=\frac{2}{x}$
A.$y=3x-1$
B.$y=-3x$
C.$y=5x^2$
D.$y=\frac{2}{x}$
答案
B
解析
【分析】
要判断哪个是正比例函数，首先需要明确正比例函数的定义特征：形如$y=kx$（$k$是常数，且$k\ne0$）的函数是正比例函数，判定时需要满足三个条件：①函数表达式是整式；②自变量$x$的次数为1；③没有常数项（常数项为0），且$x$的系数不为0。解题时只需将每个选项的函数形式与上述判定条件逐一比对，排除不符合的选项即可。
【解析】
首先回忆正比例函数的定义：一般地，形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做正比例函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=3x-1$，含有常数项$-1$，不符合$y=kx$的形式，属于一次函数但不是正比例函数，排除；
选项B：$y=-3x$，符合$y=kx$的形式，其中$k=-3\ne0$，满足正比例函数的所有特征，符合要求；
选项C：$y=5x^2$，自变量$x$的次数是2，属于二次函数，不符合正比例函数要求，排除；
选项D：$y=\frac{2}{x}$，自变量$x$在分母位置，次数为$-1$，属于反比例函数，不符合要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的定义；函数类型识别；一次函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握正比例函数的形式特征，注意区分正比例函数与普通一次函数、二次函数、反比例函数的表达式差异，避免混淆不同类型函数的定义即可正确解答。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是正比例函数，首先需要明确正比例函数的定义特征：形如$y=kx$（$k$是常数，且$k\ne0$）的函数是正比例函数，判定时需要满足三个条件：①函数表达式是整式；②自变量$x$的次数为1；③没有常数项（常数项为0），且$x$的系数不为0。解题时只需将每个选项的函数形式与上述判定条件逐一比对，排除不符合的选项即可。
【解析】
首先回忆正比例函数的定义：一般地，形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做正比例函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=3x-1$，含有常数项$-1$，不符合$y=kx$的形式，属于一次函数但不是正比例函数，排除；
选项B：$y=-3x$，符合$y=kx$的形式，其中$k=-3\ne0$，满足正比例函数的所有特征，符合要求；
选项C：$y=5x^2$，自变量$x$的次数是2，属于二次函数，不符合正比例函数要求，排除；
选项D：$y=\frac{2}{x}$，自变量$x$在分母位置，次数为$-1$，属于反比例函数，不符合要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的定义；函数类型识别；一次函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握正比例函数的形式特征，注意区分正比例函数与普通一次函数、二次函数、反比例函数的表达式差异，避免混淆不同类型函数的定义即可正确解答。
【难度系数】
0.8
2. 求下列各题y关于x的函数表达式，判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数.
（1）某农场种植玉米，每平方米种6株，玉米株数y与种植面积x m²之间的关系；
（2）正方形的面积y与周长x之间的关系；
（3）等腰三角形ABC的周长16 cm，底边BC长y cm与腰AB长x cm之间的关系.
（1）某农场种植玉米，每平方米种6株，玉米株数y与种植面积x m²之间的关系；
（2）正方形的面积y与周长x之间的关系；
（3）等腰三角形ABC的周长16 cm，底边BC长y cm与腰AB长x cm之间的关系.
答案
解：
(1) 由题意得函数表达式为：$y=6x\ (x＞0)$，
$y$是$x$的一次函数，也是$x$的正比例函数。
(2) 由正方形周长为$x$，得正方形边长为$\frac{x}{4}$，因此函数表达式为：
$y=(\frac{x}{4})^2=\frac{1}{16}x^2\ (x＞0)$，
$y$不是$x$的一次函数，也不是$x$的正比例函数。
(3) 由等腰三角形周长为16 cm，得$2x+y=16$，整理得函数表达式为：
$y=16-2x\ (4＜x＜8)$，
$y$是$x$的一次函数，不是$x$的正比例函数。
(1) 由题意得函数表达式为：$y=6x\ (x＞0)$，
$y$是$x$的一次函数，也是$x$的正比例函数。
(2) 由正方形周长为$x$，得正方形边长为$\frac{x}{4}$，因此函数表达式为：
$y=(\frac{x}{4})^2=\frac{1}{16}x^2\ (x＞0)$，
$y$不是$x$的一次函数，也不是$x$的正比例函数。
(3) 由等腰三角形周长为16 cm，得$2x+y=16$，整理得函数表达式为：
$y=16-2x\ (4＜x＜8)$，
$y$是$x$的一次函数，不是$x$的正比例函数。
解析
【分析】
解题需分两步进行：第一步根据题目给出的等量关系列出y关于x的函数表达式，同时结合实际意义或几何规则确定自变量x的取值范围；第二步对照定义判断函数类型：一次函数的形式为$y=kx+b$（k、b为常数，且$k≠0$），正比例函数是特殊的一次函数，形式为$y=kx$（k为常数，且$k≠0$）。
(1) 总玉米株数=每平方米种植株数×种植面积，代入对应量即可得表达式，再对照定义判断；
(2) 先由正方形周长公式求出边长，再代入正方形面积公式得到表达式，观察x的次数即可判断函数类型；
(3) 根据等腰三角形周长=2×腰长+底边长整理得到表达式，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边、边长为正）确定x的取值范围，最后对照定义判断。
【解析】
(1) 由题意，总株数等于单位面积株数乘种植面积，可得函数表达式：$y=6x\ (x＞0)$，
该式符合正比例函数$y=kx$（$k=6≠0$）的形式，因此y是x的一次函数，也是x的正比例函数。
(2) 正方形周长为x，则正方形边长为$\frac{x}{4}$，根据正方形面积=边长×边长，可得函数表达式：
$y=(\frac{x}{4})^2=\frac{1}{16}x^2\ (x＞0)$，
该式中x的次数为2，不符合一次函数的定义，因此y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数。
(3) 等腰三角形周长为16cm，两腰长均为x cm，底边长为y cm，可得$2x+y=16$，整理得函数表达式：
$y=16-2x$，
结合三角形三边关系：$2x＞y$且$y＞0$，代入得$2x＞16-2x$且$16-2x＞0$，解得$4＜x＜8$，即表达式为$y=16-2x\ (4＜x＜8)$，
该式符合一次函数$y=kx+b$（$k=-2≠0$，$b=16≠0$）的形式，因此y是x的一次函数，不是x的正比例函数。
【答案】
(1) $y=6x\ (x＞0)$，是一次函数，也是正比例函数；
(2) $y=\frac{1}{16}x^2\ (x＞0)$，不是一次函数，也不是正比例函数；
(3) $y=16-2x\ (4＜x＜8)$，是一次函数，不是正比例函数。
【知识点】
列函数关系式；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题考查结合实际、几何情境列函数关系式，以及一次函数和正比例函数的概念辨析，解题时需注意不要遗漏实际问题中自变量的取值范围，判断函数类型时要严格对照定义分析。
【难度系数】
0.8
解题需分两步进行：第一步根据题目给出的等量关系列出y关于x的函数表达式，同时结合实际意义或几何规则确定自变量x的取值范围；第二步对照定义判断函数类型：一次函数的形式为$y=kx+b$（k、b为常数，且$k≠0$），正比例函数是特殊的一次函数，形式为$y=kx$（k为常数，且$k≠0$）。
(1) 总玉米株数=每平方米种植株数×种植面积，代入对应量即可得表达式，再对照定义判断；
(2) 先由正方形周长公式求出边长，再代入正方形面积公式得到表达式，观察x的次数即可判断函数类型；
(3) 根据等腰三角形周长=2×腰长+底边长整理得到表达式，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边、边长为正）确定x的取值范围，最后对照定义判断。
【解析】
(1) 由题意，总株数等于单位面积株数乘种植面积，可得函数表达式：$y=6x\ (x＞0)$，
该式符合正比例函数$y=kx$（$k=6≠0$）的形式，因此y是x的一次函数，也是x的正比例函数。
(2) 正方形周长为x，则正方形边长为$\frac{x}{4}$，根据正方形面积=边长×边长，可得函数表达式：
$y=(\frac{x}{4})^2=\frac{1}{16}x^2\ (x＞0)$，
该式中x的次数为2，不符合一次函数的定义，因此y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数。
(3) 等腰三角形周长为16cm，两腰长均为x cm，底边长为y cm，可得$2x+y=16$，整理得函数表达式：
$y=16-2x$，
结合三角形三边关系：$2x＞y$且$y＞0$，代入得$2x＞16-2x$且$16-2x＞0$，解得$4＜x＜8$，即表达式为$y=16-2x\ (4＜x＜8)$，
该式符合一次函数$y=kx+b$（$k=-2≠0$，$b=16≠0$）的形式，因此y是x的一次函数，不是x的正比例函数。
【答案】
(1) $y=6x\ (x＞0)$，是一次函数，也是正比例函数；
(2) $y=\frac{1}{16}x^2\ (x＞0)$，不是一次函数，也不是正比例函数；
(3) $y=16-2x\ (4＜x＜8)$，是一次函数，不是正比例函数。
【知识点】
列函数关系式；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题考查结合实际、几何情境列函数关系式，以及一次函数和正比例函数的概念辨析，解题时需注意不要遗漏实际问题中自变量的取值范围，判断函数类型时要严格对照定义分析。
【难度系数】
0.8
3. 有一块$10\ \mathrm{hm}^2$的麦田，用一台收割速度为$0.5\ \mathrm{hm}^2/\mathrm{h}$的收割机收割小麦.
（1）求收割的面积$y\ \mathrm{hm}^2$关于收割时间$x\ \mathrm{h}$的函数表达式；
（2）求收割完这块麦田需用的时间.
（1）求收割的面积$y\ \mathrm{hm}^2$关于收割时间$x\ \mathrm{h}$的函数表达式；
（2）求收割完这块麦田需用的时间.
答案
解：
(1) 根据“收割面积 = 收割速度 × 收割时间”，可得
$y = 0.5x$
结合麦田总面积为$10\ \mathrm{hm}^2$，自变量$x$的取值范围是$0 ≤ x ≤ 20$。
(2) 当收割完这块麦田时，$y=10$，将$y=10$代入$y=0.5x$，得
$10 = 0.5x$
解得$x=20$
答：收割完这块麦田需用的时间为$20\ \mathrm{h}$。
(1) 根据“收割面积 = 收割速度 × 收割时间”，可得
$y = 0.5x$
结合麦田总面积为$10\ \mathrm{hm}^2$，自变量$x$的取值范围是$0 ≤ x ≤ 20$。
(2) 当收割完这块麦田时，$y=10$，将$y=10$代入$y=0.5x$，得
$10 = 0.5x$
解得$x=20$
答：收割完这块麦田需用的时间为$20\ \mathrm{h}$。
解析
【分析】
解决第（1）问时，先结合工程类问题的基本数量关系：工作量=工作效率×工作时间，本题中收割面积为工作量，收割速度为工作效率，收割时间为工作时间，可先写出初步的函数表达式；再结合麦田总面积为10hm²、收割时间不能为负数的实际限制，即可确定自变量x的取值范围。解决第（2）问时，收割完麦田意味着收割面积等于麦田总面积，即y=10，将其代入第（1）问得到的函数表达式中解方程，即可求出对应的收割时间。
【解析】
（1）根据“收割面积 = 收割速度 × 收割时间”，已知收割速度为$0.5\ \mathrm{hm}^2/\mathrm{h}$，收割时间为$x\ \mathrm{h}$，可得：
$y = 0.5x$
由于麦田总面积为$10\ \mathrm{hm}^2$，因此最大收割面积为$10\ \mathrm{hm}^2$，对应的最长收割时间为$10÷0.5=20\ \mathrm{h}$，同时收割时间不能为负数，因此自变量$x$的取值范围是$0 ≤ x ≤ 20$。
（2）当收割完这块麦田时，收割面积等于麦田总面积，即$y=10$，将$y=10$代入$y = 0.5x$，得：
$10 = 0.5x$
解得$x=20$
【答案】
（1）$y = 0.5x\quad(0 ≤ x ≤ 20)$；（2）$20\ \mathrm{h}$
【知识点】
列一次函数表达式，自变量取值范围确定，代入法解方程
【点评】
本题是一次函数的基础实际应用题，核心是抓住常见的数量关系建立函数模型，解题时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.9
解决第（1）问时，先结合工程类问题的基本数量关系：工作量=工作效率×工作时间，本题中收割面积为工作量，收割速度为工作效率，收割时间为工作时间，可先写出初步的函数表达式；再结合麦田总面积为10hm²、收割时间不能为负数的实际限制，即可确定自变量x的取值范围。解决第（2）问时，收割完麦田意味着收割面积等于麦田总面积，即y=10，将其代入第（1）问得到的函数表达式中解方程，即可求出对应的收割时间。
【解析】
（1）根据“收割面积 = 收割速度 × 收割时间”，已知收割速度为$0.5\ \mathrm{hm}^2/\mathrm{h}$，收割时间为$x\ \mathrm{h}$，可得：
$y = 0.5x$
由于麦田总面积为$10\ \mathrm{hm}^2$，因此最大收割面积为$10\ \mathrm{hm}^2$，对应的最长收割时间为$10÷0.5=20\ \mathrm{h}$，同时收割时间不能为负数，因此自变量$x$的取值范围是$0 ≤ x ≤ 20$。
（2）当收割完这块麦田时，收割面积等于麦田总面积，即$y=10$，将$y=10$代入$y = 0.5x$，得：
$10 = 0.5x$
解得$x=20$
【答案】
（1）$y = 0.5x\quad(0 ≤ x ≤ 20)$；（2）$20\ \mathrm{h}$
【知识点】
列一次函数表达式，自变量取值范围确定，代入法解方程
【点评】
本题是一次函数的基础实际应用题，核心是抓住常见的数量关系建立函数模型，解题时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.9
