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5.写出一个整式,使其具备以下两个特征:①它是一个关于字母x的二次三项式;②常数项为－2.这个整式可以是
$2x^2+x-2$(答案不唯一)
.答案
$2x^2+x-2$(答案不唯一)
解析
【分析】
要写出符合要求的整式，我们可以按以下思路思考：首先回忆二次三项式的定义：关于x的二次三项式，说明这是一个多项式，最高次项的次数是2，且一共有3个单项式组成；其次题目规定常数项为-2，也就是不含字母x的项固定为-2。因此我们只需要分别确定非零系数的二次项和非零系数的一次项，组合起来即可得到符合要求的整式，选择的系数不同，得到的整式也不同，答案不唯一。
【解析】
第一步：根据二次三项式的要求，确定整式包含三类项：二次项（x的次数为2，系数不为0）、一次项（x的次数为1，系数不为0）、常数项。
第二步：根据常数项为-2的要求，确定常数项固定为-2。
第三步：给二次项和一次项任选不为0的系数，例如取二次项系数为2，一次项系数为1，可得二次项为$2x^2$，一次项为$x$，将三项相加得到整式$2x^2+x-2$。
注：只要满足二次项、一次项系数不为0即可，答案不唯一。
【答案】
$2x^2+x-2$(答案不唯一)
【知识点】
多项式的次数；多项式的项；常数项
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对多项式相关概念的理解，解答时需注意二次项和一次项的系数不能为0，否则无法满足“二次三项式”的要求。
【难度系数】
0.9
要写出符合要求的整式，我们可以按以下思路思考：首先回忆二次三项式的定义：关于x的二次三项式，说明这是一个多项式，最高次项的次数是2，且一共有3个单项式组成；其次题目规定常数项为-2，也就是不含字母x的项固定为-2。因此我们只需要分别确定非零系数的二次项和非零系数的一次项，组合起来即可得到符合要求的整式，选择的系数不同，得到的整式也不同，答案不唯一。
【解析】
第一步：根据二次三项式的要求，确定整式包含三类项：二次项（x的次数为2，系数不为0）、一次项（x的次数为1，系数不为0）、常数项。
第二步：根据常数项为-2的要求，确定常数项固定为-2。
第三步：给二次项和一次项任选不为0的系数，例如取二次项系数为2，一次项系数为1，可得二次项为$2x^2$，一次项为$x$，将三项相加得到整式$2x^2+x-2$。
注：只要满足二次项、一次项系数不为0即可，答案不唯一。
【答案】
$2x^2+x-2$(答案不唯一)
【知识点】
多项式的次数；多项式的项；常数项
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对多项式相关概念的理解，解答时需注意二次项和一次项的系数不能为0，否则无法满足“二次三项式”的要求。
【难度系数】
0.9
6.已知关于x的多项式$3x^4-(m+5)x^3+(n-1)x^2-5x+3$不含$x^3$和$x^2$项，则
（
A.$m=-5,n=-1$
B.$m=5,n=1$
C.$m=-5,n=1$
D.$m=5,n=-1$
（
C
）A.$m=-5,n=-1$
B.$m=5,n=1$
C.$m=-5,n=1$
D.$m=5,n=-1$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确多项式“不含某一项”的含义：如果多项式中没有某一幂次的项，说明这一项的系数等于0（系数为0时，该项整体为0，相当于不存在）。接下来我们只需要分别找到$x^3$项和$x^2$项的系数，令它们分别等于0，再解对应的一元一次方程，就能求出$m$和$n$的值，最后匹配选项即可。
【解析】
解：已知多项式不含$x^3$项和$x^2$项，因此这两项的系数都为0。
1. 求$m$的值：$x^3$项的系数为$-(m+5)$，令其等于0：
$-(m+5)=0$
解得$m=-5$
2. 求$n$的值：$x^2$项的系数为$(n-1)$，令其等于0：
$n-1=0$
解得$n=1$
综上可得$m=-5,n=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多项式的项与系数，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查多项式不含某项的判定规则，解题的关键是理解“不含某一项即该项系数为0”，只要掌握整式的基本概念就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确多项式“不含某一项”的含义：如果多项式中没有某一幂次的项，说明这一项的系数等于0（系数为0时，该项整体为0，相当于不存在）。接下来我们只需要分别找到$x^3$项和$x^2$项的系数，令它们分别等于0，再解对应的一元一次方程，就能求出$m$和$n$的值，最后匹配选项即可。
【解析】
解：已知多项式不含$x^3$项和$x^2$项，因此这两项的系数都为0。
1. 求$m$的值：$x^3$项的系数为$-(m+5)$，令其等于0：
$-(m+5)=0$
解得$m=-5$
2. 求$n$的值：$x^2$项的系数为$(n-1)$，令其等于0：
$n-1=0$
解得$n=1$
综上可得$m=-5,n=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多项式的项与系数，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查多项式不含某项的判定规则，解题的关键是理解“不含某一项即该项系数为0”，只要掌握整式的基本概念就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
7.有一列单项式：$-x^{2},3x^{3},-5x^{4},7x^{5},···,$按此规律排列的第7个单项式为
$-13x^8$
答案
$-13x^8$
解析
【分析】
解决这类单项式规律探究题，我们可以把单项式拆成系数符号、系数绝对值、字母的指数三个独立部分，分别找每部分和项数n的对应规律，再组合得到第n个单项式的表达式，最后代入n=7即可求出第7个单项式。
【解析】
我们先对应项数n，拆分前4项的各部分特征：
当n=1时：单项式为$-x^2$，符号为负，系数绝对值为1，x的指数为2
当n=2时：单项式为$3x^3$，符号为正，系数绝对值为3，x的指数为3
当n=3时：单项式为$-5x^4$，符号为负，系数绝对值为5，x的指数为4
当n=4时：单项式为$7x^5$，符号为正，系数绝对值为7，x的指数为5
分别找三部分的规律：
1. 符号规律：奇数项为负、偶数项为正，对应规律为$(-1)^n$
2. 系数绝对值规律：是连续的奇数，对应规律为$2n-1$
3. x的指数规律：比项数n大1，对应规律为$n+1$
因此第n个单项式的通用表达式为：$\boldsymbol{(-1)^n · (2n-1)x^{n+1}}$
求第7个单项式，代入n=7：
符号：$(-1)^7=-1$
系数绝对值：$2×7 -1=13$
x的指数：$7+1=8$
组合得到第7个单项式为$-13x^8$
【答案】
$-13x^8$
【知识点】
单项式的结构，数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类的常见基础题型，核心解题方法是拆分复杂对象为多个简单部分分别找规律，能有效锻炼学生的观察能力和归纳总结能力，熟练掌握拆分思路后这类题很容易得分。
【难度系数】
0.7
解决这类单项式规律探究题，我们可以把单项式拆成系数符号、系数绝对值、字母的指数三个独立部分，分别找每部分和项数n的对应规律，再组合得到第n个单项式的表达式，最后代入n=7即可求出第7个单项式。
【解析】
我们先对应项数n，拆分前4项的各部分特征：
当n=1时：单项式为$-x^2$，符号为负，系数绝对值为1，x的指数为2
当n=2时：单项式为$3x^3$，符号为正，系数绝对值为3，x的指数为3
当n=3时：单项式为$-5x^4$，符号为负，系数绝对值为5，x的指数为4
当n=4时：单项式为$7x^5$，符号为正，系数绝对值为7，x的指数为5
分别找三部分的规律：
1. 符号规律：奇数项为负、偶数项为正，对应规律为$(-1)^n$
2. 系数绝对值规律：是连续的奇数，对应规律为$2n-1$
3. x的指数规律：比项数n大1，对应规律为$n+1$
因此第n个单项式的通用表达式为：$\boldsymbol{(-1)^n · (2n-1)x^{n+1}}$
求第7个单项式，代入n=7：
符号：$(-1)^7=-1$
系数绝对值：$2×7 -1=13$
x的指数：$7+1=8$
组合得到第7个单项式为$-13x^8$
【答案】
$-13x^8$
【知识点】
单项式的结构，数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类的常见基础题型，核心解题方法是拆分复杂对象为多个简单部分分别找规律，能有效锻炼学生的观察能力和归纳总结能力，熟练掌握拆分思路后这类题很容易得分。
【难度系数】
0.7
8. 一块长方形草坪如图所示，草坪长30米，宽20米，草坪上有十字小路，小路宽x米，用含x的代数式表示下列各个量，并回答这些代数式是单项式还是多项式：
(1)小路面积为多少平方米？(2)草坪面积是多少平方米？
(1)小路面积为多少平方米？(2)草坪面积是多少平方米？
答案
(1)$50x-x^2$,多项式 (2)$600-50x+x^2$,多项式
解析
【分析】
(1) 求小路面积时，先分别计算横向、纵向小路的面积，注意两条小路交叉处的正方形区域被重复计算了1次，因此需要减去1次重叠部分的面积，即可得到小路的总面积，再根据多项式的定义判断类型。
(2) 求草坪面积可以用两种思路：一是用长方形草坪的总面积减去小路的面积；二是将四块草坪通过平移拼成一个新的长方形，新长方形的长为$(30-x)$米，宽为$(20-x)$米，根据长方形面积公式计算即可，再判断代数式的类型。
【解析】
(1) 横向小路的面积：$30 × x = 30x$（平方米）
纵向小路的面积：$20 × x = 20x$（平方米）
两条小路重叠部分是边长为x的正方形，面积为$x × x = x^2$（平方米）
因此小路总面积 = 横向小路面积 + 纵向小路面积 - 重叠部分面积，即：
$30x + 20x - x^2 = 50x - x^2$
该代数式由两个单项式组成，属于多项式。
(2) 长方形草坪的总面积为：$30 × 20 = 600$（平方米）
草坪面积 = 总面积 - 小路面积，即：
$600 - (50x - x^2) = 600 - 50x + x^2$
（也可通过平移草坪得到新长方形长$(30-x)$米、宽$(20-x)$米，面积为$(30-x)(20-x)=600-50x+x^2$）
该代数式由三个单项式组成，属于多项式。
【答案】
(1) $50x-x^2$，多项式
(2) $600-50x+x^2$，多项式
【知识点】
列代数式；多项式的判定；长方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查代数式的列式和整式的分类，解题时要注意交叉部分的面积不要重复计算，熟记单项式和多项式的区分规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求小路面积时，先分别计算横向、纵向小路的面积，注意两条小路交叉处的正方形区域被重复计算了1次，因此需要减去1次重叠部分的面积，即可得到小路的总面积，再根据多项式的定义判断类型。
(2) 求草坪面积可以用两种思路：一是用长方形草坪的总面积减去小路的面积；二是将四块草坪通过平移拼成一个新的长方形，新长方形的长为$(30-x)$米，宽为$(20-x)$米，根据长方形面积公式计算即可，再判断代数式的类型。
【解析】
(1) 横向小路的面积：$30 × x = 30x$（平方米）
纵向小路的面积：$20 × x = 20x$（平方米）
两条小路重叠部分是边长为x的正方形，面积为$x × x = x^2$（平方米）
因此小路总面积 = 横向小路面积 + 纵向小路面积 - 重叠部分面积，即：
$30x + 20x - x^2 = 50x - x^2$
该代数式由两个单项式组成，属于多项式。
(2) 长方形草坪的总面积为：$30 × 20 = 600$（平方米）
草坪面积 = 总面积 - 小路面积，即：
$600 - (50x - x^2) = 600 - 50x + x^2$
（也可通过平移草坪得到新长方形长$(30-x)$米、宽$(20-x)$米，面积为$(30-x)(20-x)=600-50x+x^2$）
该代数式由三个单项式组成，属于多项式。
【答案】
(1) $50x-x^2$，多项式
(2) $600-50x+x^2$，多项式
【知识点】
列代数式；多项式的判定；长方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查代数式的列式和整式的分类，解题时要注意交叉部分的面积不要重复计算，熟记单项式和多项式的区分规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
★9.已知关于$x$的多项式$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e^3$，其中$a,b,c,d$为互不相等的整数，且$abcd=4$。当$x=1$时，这个多项式的值为27。
(1)求$a+b+c+d$的值。
(2)求$e$的值。
(3)当$x=-1$时，求这个多项式的所有可能的值。
(1)求$a+b+c+d$的值。
(2)求$e$的值。
(3)当$x=-1$时，求这个多项式的所有可能的值。
答案
(1)0 (2)3 (3)21,25,27,29,33
解析
【分析】
(1) 求a+b+c+d的值时，先根据abcd=4且a,b,c,d是互不相等的整数，推导四个整数的可能取值：4的整数因数为±1、±2、±4，若包含±4，剩余3个数乘积为±1，无法找到3个互不相等的整数满足条件，因此四个数只能是1、-1、2、-2，相加即可得到结果。
(2) 将x=1代入多项式，结合第一问求出的a+b+c+d的值，即可得到关于e的方程，解方程就能求出e的值。
(3) 将x=-1代入多项式化简，结合a,b,c,d的所有组合情况，计算出表达式的所有可能值即可。
【解析】
(1)
∵a,b,c,d为互不相等的整数，且abcd=4
4的整数因数为±1、±2、±4，若四个数中包含4或-4，剩余三个数的乘积为1或-1，无法找到三个互不相等的整数满足条件，因此四个互不相等的整数只能是1、-1、2、-2
∴a+b+c+d=1+(-1)+2+(-2)=0
(2) 当x=1时，代入多项式得：
$a×1^4 + b×1^3 + c×1^2 + d×1 + e^3 = a+b+c+d+e^3=27$
把a+b+c+d=0代入得：$e^3=27$，解得$e=3$
(3) 当x=-1时，代入多项式得：
$a×(-1)^4 + b×(-1)^3 + c×(-1)^2 + d×(-1) + e^3 = a-b+c-d + e^3$
已知$e^3=27$，且$a+b+c+d=0$，即$b+d=-(a+c)$，代入得：
原式=$(a+c)-(b+d)+27=2(a+c)+27$
a、c是从1、-1、2、-2中选取的两个不同整数，a+c的可能值为-3、-1、0、1、3
对应$2(a+c)$的可能值为-6、-2、0、2、6
因此多项式的可能值为：27-6=21，27-2=25，27+0=27，27+2=29，27+6=33
【答案】
(1)0 (2)3 (3)21,25,27,29,33
【知识点】
整式求值，有理数乘法，有理数加法
【点评】
本题核心是先根据整数乘积的限制条件确定a、b、c、d的取值，再通过代入化简整式计算结果，第三问需要注意不重不漏列举所有组合，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求a+b+c+d的值时，先根据abcd=4且a,b,c,d是互不相等的整数，推导四个整数的可能取值：4的整数因数为±1、±2、±4，若包含±4，剩余3个数乘积为±1，无法找到3个互不相等的整数满足条件，因此四个数只能是1、-1、2、-2，相加即可得到结果。
(2) 将x=1代入多项式，结合第一问求出的a+b+c+d的值，即可得到关于e的方程，解方程就能求出e的值。
(3) 将x=-1代入多项式化简，结合a,b,c,d的所有组合情况，计算出表达式的所有可能值即可。
【解析】
(1)
∵a,b,c,d为互不相等的整数，且abcd=4
4的整数因数为±1、±2、±4，若四个数中包含4或-4，剩余三个数的乘积为1或-1，无法找到三个互不相等的整数满足条件，因此四个互不相等的整数只能是1、-1、2、-2
∴a+b+c+d=1+(-1)+2+(-2)=0
(2) 当x=1时，代入多项式得：
$a×1^4 + b×1^3 + c×1^2 + d×1 + e^3 = a+b+c+d+e^3=27$
把a+b+c+d=0代入得：$e^3=27$，解得$e=3$
(3) 当x=-1时，代入多项式得：
$a×(-1)^4 + b×(-1)^3 + c×(-1)^2 + d×(-1) + e^3 = a-b+c-d + e^3$
已知$e^3=27$，且$a+b+c+d=0$，即$b+d=-(a+c)$，代入得：
原式=$(a+c)-(b+d)+27=2(a+c)+27$
a、c是从1、-1、2、-2中选取的两个不同整数，a+c的可能值为-3、-1、0、1、3
对应$2(a+c)$的可能值为-6、-2、0、2、6
因此多项式的可能值为：27-6=21，27-2=25，27+0=27，27+2=29，27+6=33
【答案】
(1)0 (2)3 (3)21,25,27,29,33
【知识点】
整式求值，有理数乘法，有理数加法
【点评】
本题核心是先根据整数乘积的限制条件确定a、b、c、d的取值，再通过代入化简整式计算结果，第三问需要注意不重不漏列举所有组合，避免漏解。
【难度系数】
0.6
