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6. 下列等式变形中,不正确的是 （
A.若 $a - 2 = b - 2$, 则 $a = b$
B.若 $am = bm$, 则 $a = b$
C.若 $a = b$, 则 $\frac{a}{3} = \frac{b}{3}$
D.若 $x = 2$, 则 $x^2 = 2x$
B
）A.若 $a - 2 = b - 2$, 则 $a = b$
B.若 $am = bm$, 则 $a = b$
C.若 $a = b$, 则 $\frac{a}{3} = \frac{b}{3}$
D.若 $x = 2$, 则 $x^2 = 2x$
答案
6.B
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路是先回顾等式的两条基本性质：①等式两边同时加/减同一个数或整式，等式仍成立；②等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立。再逐一用上述性质验证每个选项的变形是否合规，找出错误的变形即可。需要注意应用等式性质2做除法变形时，除数不能为0，这是判断的关键易错点。
【解析】
根据等式的基本性质逐一分析选项：
A. 对$a-2 = b-2$，等式两边同时加2，可得$a = b$，变形符合等式性质1，正确，不符合题意；
B. 对$am = bm$，当$m = 0$时，无论a、b取何值等式都成立，此时无法推出$a = b$，只有$m ≠ 0$时才能得到$a = b$，变形不符合等式性质2的要求，错误，符合题意；
C. 对$a = b$，等式两边同时除以不为0的数3，可得$\frac{a}{3} = \frac{b}{3}$，变形符合等式性质2，正确，不符合题意；
D. 对$x = 2$，等式两边同时乘x（x=2≠0），可得$x^2 = 2x$，代入验证左边$2^2=4$，右边$2×2=4$，等式成立，变形正确，不符合题意。
综上，不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查等式性质的适用条件，易错点是容易忽略做除法变形时除数不能为0的要求，只要牢记这个注意点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查等式基本性质的应用，解题思路是先回顾等式的两条基本性质：①等式两边同时加/减同一个数或整式，等式仍成立；②等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立。再逐一用上述性质验证每个选项的变形是否合规，找出错误的变形即可。需要注意应用等式性质2做除法变形时，除数不能为0，这是判断的关键易错点。
【解析】
根据等式的基本性质逐一分析选项：
A. 对$a-2 = b-2$，等式两边同时加2，可得$a = b$，变形符合等式性质1，正确，不符合题意；
B. 对$am = bm$，当$m = 0$时，无论a、b取何值等式都成立，此时无法推出$a = b$，只有$m ≠ 0$时才能得到$a = b$，变形不符合等式性质2的要求，错误，符合题意；
C. 对$a = b$，等式两边同时除以不为0的数3，可得$\frac{a}{3} = \frac{b}{3}$，变形符合等式性质2，正确，不符合题意；
D. 对$x = 2$，等式两边同时乘x（x=2≠0），可得$x^2 = 2x$，代入验证左边$2^2=4$，右边$2×2=4$，等式成立，变形正确，不符合题意。
综上，不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查等式性质的适用条件，易错点是容易忽略做除法变形时除数不能为0的要求，只要牢记这个注意点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
7.有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次:第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重.那么，两个轻球的编号是（
A.③④
B.③⑥
C.③⑤
D.④⑤
D
）A.③④
B.③⑥
C.③⑤
D.④⑤
答案
7.D
解析
【分析】
首先根据前两次天平称重结果缩小轻球的范围：第一次①+②比③+④重，说明③和④中至少有1个轻球；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，说明⑤和⑥中至少有1个轻球。结合总共只有2个轻球，可推出①、②、⑦、⑧都是正常重量的球，且2个轻球分别在③、④中和⑤、⑥中各1个。再结合第三次两边重量相等的条件，利用等式性质推导即可得出两个轻球的编号。
【解析】
设每个正常球重量为$a$，轻球重量为$a-1$。
1. 由第一次称重$①+②＞③+④$，可得③、④中至少有1个轻球；
2. 由第二次称重$⑤+⑥＜⑦+⑧$，可得⑤、⑥中至少有1个轻球；
3. 已知共有2个轻球，因此2个轻球分别来自③、④中的1个和⑤、⑥中的1个，且①、②、⑦、⑧都是正常球，重量均为$a$。
4. 第三次称重$①+③+⑤=②+④+⑧$，将①、②、⑧替换为$a$代入得：
$a + ③的重量 + ⑤的重量 = a + ④的重量 + a$
化简得：$③的重量 + ⑤的重量 = ④的重量 + a$
5. 假设③是轻球（重量为$a-1$），则④是正常球（重量为$a$），代入上式得：$(a-1) + ⑤的重量 = a+a$，推出$⑤的重量=a+1$，不符合实际，因此③是正常球（重量为$a$）。
6. ③是正常球，则③、④中的轻球为④，④的重量为$a-1$，代入化简后的式子：$a + ⑤的重量 = (a-1)+a$，解得$⑤的重量=a-1$，即⑤是轻球。
综上，两个轻球的编号是④和⑤。
【答案】
D
【知识点】
逻辑推理、等式的性质、等量代换
【点评】
本题结合天平称重场景考查逻辑推理能力，解题关键是先通过前两次称重缩小轻球范围，再结合第三次称重的等量关系推导验证，梳理清楚各球的重量关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.65
首先根据前两次天平称重结果缩小轻球的范围：第一次①+②比③+④重，说明③和④中至少有1个轻球；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，说明⑤和⑥中至少有1个轻球。结合总共只有2个轻球，可推出①、②、⑦、⑧都是正常重量的球，且2个轻球分别在③、④中和⑤、⑥中各1个。再结合第三次两边重量相等的条件，利用等式性质推导即可得出两个轻球的编号。
【解析】
设每个正常球重量为$a$，轻球重量为$a-1$。
1. 由第一次称重$①+②＞③+④$，可得③、④中至少有1个轻球；
2. 由第二次称重$⑤+⑥＜⑦+⑧$，可得⑤、⑥中至少有1个轻球；
3. 已知共有2个轻球，因此2个轻球分别来自③、④中的1个和⑤、⑥中的1个，且①、②、⑦、⑧都是正常球，重量均为$a$。
4. 第三次称重$①+③+⑤=②+④+⑧$，将①、②、⑧替换为$a$代入得：
$a + ③的重量 + ⑤的重量 = a + ④的重量 + a$
化简得：$③的重量 + ⑤的重量 = ④的重量 + a$
5. 假设③是轻球（重量为$a-1$），则④是正常球（重量为$a$），代入上式得：$(a-1) + ⑤的重量 = a+a$，推出$⑤的重量=a+1$，不符合实际，因此③是正常球（重量为$a$）。
6. ③是正常球，则③、④中的轻球为④，④的重量为$a-1$，代入化简后的式子：$a + ⑤的重量 = (a-1)+a$，解得$⑤的重量=a-1$，即⑤是轻球。
综上，两个轻球的编号是④和⑤。
【答案】
D
【知识点】
逻辑推理、等式的性质、等量代换
【点评】
本题结合天平称重场景考查逻辑推理能力，解题关键是先通过前两次称重缩小轻球范围，再结合第三次称重的等量关系推导验证，梳理清楚各球的重量关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.65
8. 已知$3x - 2y = 3y$，且$y≠0$，求$\frac{x - y}{y}$的值，并写出每一个变形过程及依据.
答案
$\because 3x-2y=3y$，$\therefore 3x=5y$(等式性质1)，$\therefore x=\frac{5}{3}y$(等式性质2)，$\therefore x-y=\frac{2}{3}y$(等式性质1).
$\because y≠0$，$\therefore \frac{x-y}{y}=\frac{2}{3}$(等式性质2)
$\because y≠0$，$\therefore \frac{x-y}{y}=\frac{2}{3}$(等式性质2)
解析
【分析】
解题思路：题目给出了含有x、y的等式，要求代数式$\frac{x-y}{y}$的值，我们可以借助等式的基本性质，先从已知等式出发，把x用含y的代数式表示出来，再代入所求代数式化简即可。思考步骤：首先将已知等式中含y的项移到等号同侧，得到x与y的倍数关系，再将所求代数式中的x替换为含y的式子，结合y≠0的条件约分即可得到结果，每一步变形都要对应等式的相关性质。
【解析】
$\because 3x-2y=3y$，
$\therefore 3x=5y$（依据：等式的性质1，等式两边同时加$2y$，等式仍然成立），
$\therefore x=\frac{5}{3}y$（依据：等式的性质2，等式两边同时除以不为0的数3，等式仍然成立），
$\therefore x-y=\frac{2}{3}y$（依据：等式的性质1，等式两边同时减$y$，等式仍然成立），
$\because y≠0$，
$\therefore \frac{x-y}{y}=\frac{2}{3}$（依据：等式的性质2，等式两边同时除以不为0的整式$y$，等式仍然成立）。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1.等式的基本性质 2.代数式化简求值
【点评】
本题重点考查等式基本性质的应用，解题时要明确每一步变形的理论依据，注意运用等式性质2做除法变形时，必须保证除数不为0，本题给出的$y≠0$是分式化简的必要前提。
【难度系数】
0.8
解题思路：题目给出了含有x、y的等式，要求代数式$\frac{x-y}{y}$的值，我们可以借助等式的基本性质，先从已知等式出发，把x用含y的代数式表示出来，再代入所求代数式化简即可。思考步骤：首先将已知等式中含y的项移到等号同侧，得到x与y的倍数关系，再将所求代数式中的x替换为含y的式子，结合y≠0的条件约分即可得到结果，每一步变形都要对应等式的相关性质。
【解析】
$\because 3x-2y=3y$，
$\therefore 3x=5y$（依据：等式的性质1，等式两边同时加$2y$，等式仍然成立），
$\therefore x=\frac{5}{3}y$（依据：等式的性质2，等式两边同时除以不为0的数3，等式仍然成立），
$\therefore x-y=\frac{2}{3}y$（依据：等式的性质1，等式两边同时减$y$，等式仍然成立），
$\because y≠0$，
$\therefore \frac{x-y}{y}=\frac{2}{3}$（依据：等式的性质2，等式两边同时除以不为0的整式$y$，等式仍然成立）。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1.等式的基本性质 2.代数式化简求值
【点评】
本题重点考查等式基本性质的应用，解题时要明确每一步变形的理论依据，注意运用等式性质2做除法变形时，必须保证除数不为0，本题给出的$y≠0$是分式化简的必要前提。
【难度系数】
0.8
★9.三个物体的质量a,b,c如图所示,请回答下列问题:
(1)a,b,c三个物体就单个而言,哪个最重?
(2)若一架天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c?请说说你的想法.
(1)a,b,c三个物体就单个而言,哪个最重?
(2)若一架天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c?请说说你的想法.
答案
(1)a最重
(2)4个a和9个c
(2)4个a和9个c
解析
【分析】
解题时首先利用天平平衡时左右两边质量相等的原理，列出关于a、b、c的等式：第一步根据第一个天平得到a与b的数量关系，比较a和b的大小；第二步根据第二个天平得到b与c的数量关系，比较b和c的大小，进而得出三者的大小关系，解决第(1)问。解决第(2)问时，通过等量代换消去b，得到a和c的直接等量关系，再找出满足等式的最小正整数个数即可。
【解析】
(1) 由第一个天平平衡，可得等式：$2a = 3b$，
根据等式的基本性质，两边同时除以2，得：$a = \frac{3}{2}b$，因此$a ＞ b$；
由第二个天平平衡，可得等式：$2b = 3c$，
根据等式的基本性质，两边同时除以2，得：$b = \frac{3}{2}c$，因此$b ＞ c$；
综上可得$a ＞ b ＞ c$，所以单个物体a最重。
(2) 把$b = \frac{3}{2}c$代入$a = \frac{3}{2}b$中，得：
$a = \frac{3}{2} × \frac{3}{2}c = \frac{9}{4}c$，
两边同时乘4，得$4a = 9c$，
因为a、c的个数都是正整数，所以满足天平平衡的最小正整数为a的个数是4，c的个数是9。
【答案】
(1)a最重
(2)4个a和9个c
【知识点】
等式的基本性质、等量代换、最小公倍数应用
【点评】
本题结合天平的直观情境，将等式性质的考查融入实际问题中，需要学生通过观察天平列出等量关系，逐步推导不同量之间的大小和数量关系，能够很好地考查逻辑推导能力和知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用天平平衡时左右两边质量相等的原理，列出关于a、b、c的等式：第一步根据第一个天平得到a与b的数量关系，比较a和b的大小；第二步根据第二个天平得到b与c的数量关系，比较b和c的大小，进而得出三者的大小关系，解决第(1)问。解决第(2)问时，通过等量代换消去b，得到a和c的直接等量关系，再找出满足等式的最小正整数个数即可。
【解析】
(1) 由第一个天平平衡，可得等式：$2a = 3b$，
根据等式的基本性质，两边同时除以2，得：$a = \frac{3}{2}b$，因此$a ＞ b$；
由第二个天平平衡，可得等式：$2b = 3c$，
根据等式的基本性质，两边同时除以2，得：$b = \frac{3}{2}c$，因此$b ＞ c$；
综上可得$a ＞ b ＞ c$，所以单个物体a最重。
(2) 把$b = \frac{3}{2}c$代入$a = \frac{3}{2}b$中，得：
$a = \frac{3}{2} × \frac{3}{2}c = \frac{9}{4}c$，
两边同时乘4，得$4a = 9c$，
因为a、c的个数都是正整数，所以满足天平平衡的最小正整数为a的个数是4，c的个数是9。
【答案】
(1)a最重
(2)4个a和9个c
【知识点】
等式的基本性质、等量代换、最小公倍数应用
【点评】
本题结合天平的直观情境，将等式性质的考查融入实际问题中，需要学生通过观察天平列出等量关系，逐步推导不同量之间的大小和数量关系，能够很好地考查逻辑推导能力和知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
