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1. $\odot O$的半径为5cm，A为OP的中点，若$OP=6\mathrm{cm}$，则点A与$\odot O$的位置关系是（
A.点A在$\odot O$上
B.点A在$\odot O$内
C.点A在$\odot O$外
D.不能确定
B
）A.点A在$\odot O$上
B.点A在$\odot O$内
C.点A在$\odot O$外
D.不能确定
答案
1.B
解析
【分析】
要判断点A与$\odot O$的位置关系，核心方法是比较点A到圆心O的距离与$\odot O$半径的大小：若距离小于半径，点在圆内；等于半径，点在圆上；大于半径，点在圆外。首先需要根据已知条件求出OA的长度：已知A是OP的中点、OP的长度，用线段中点的性质即可算出OA，再将OA与半径5cm比较，就能得出位置关系。
【解析】
解：
∵A为OP的中点，$OP=6\mathrm{cm}$，
∴$OA=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×6\mathrm{cm}=3\mathrm{cm}$，
又
∵$\odot O$的半径$r=5\mathrm{cm}$，
∴$OA=3\mathrm{cm}＜5\mathrm{cm}=r$，
根据点与圆的位置关系判定规则：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内，因此点A在$\odot O$内。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系判定、线段中点的定义
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题逻辑清晰，只需掌握判定规则，结合中点性质求出点到圆心的距离后与半径对比即可解答。
【难度系数】
0.9
要判断点A与$\odot O$的位置关系，核心方法是比较点A到圆心O的距离与$\odot O$半径的大小：若距离小于半径，点在圆内；等于半径，点在圆上；大于半径，点在圆外。首先需要根据已知条件求出OA的长度：已知A是OP的中点、OP的长度，用线段中点的性质即可算出OA，再将OA与半径5cm比较，就能得出位置关系。
【解析】
解：
∵A为OP的中点，$OP=6\mathrm{cm}$，
∴$OA=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×6\mathrm{cm}=3\mathrm{cm}$，
又
∵$\odot O$的半径$r=5\mathrm{cm}$，
∴$OA=3\mathrm{cm}＜5\mathrm{cm}=r$，
根据点与圆的位置关系判定规则：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内，因此点A在$\odot O$内。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系判定、线段中点的定义
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题逻辑清晰，只需掌握判定规则，结合中点性质求出点到圆心的距离后与半径对比即可解答。
【难度系数】
0.9
2.以下命题:(1)同圆中等弧对等弦;(2)圆心角相等,它们所对的弧长也相等;(3)三点确定一个圆;(4)平分弦的直径必垂直于这条弦.其中正确的命题的个数是（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.A
解析
【分析】
解题时需逐一结合圆的相关基本性质判断每个命题的正误，判断时要重点关注性质成立的前提条件，不能遗漏限制条件导致判断错误。解题思路如下：首先回忆每个命题对应的圆的性质定理，逐一验证命题是否满足定理的全部前提，最后统计正确命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个命题的正误：
(1) 同圆中等弧对等弦：等弧是指能够完全重合的弧，在同圆中，能够重合的弧对应的弦长度必然相等，该命题正确；
(2) 圆心角相等，它们所对的弧长也相等：弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），弧长不仅和圆心角有关，还和圆的半径有关，只有在同圆或等圆（半径相等）中，圆心角相等对应的弧长才相等，该命题缺少前提条件，表述错误；
(3) 三点确定一个圆：只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线则无法作出过这三点的圆，该命题缺少前提条件，表述错误；
(4) 平分弦的直径必垂直于这条弦：若被平分的弦本身就是直径，那么两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的前提条件，表述错误。
综上，只有(1)1个命题正确。
【答案】
A
【知识点】
圆的基本性质；圆心角、弧、弦的关系；垂径定理
【点评】
本题侧重考查对圆相关基础定理的准确掌握，易错点在于忽略定理成立的限制条件，平时学习要注意完整识记定理内容，避免因漏看前提条件失分。
【难度系数】
0.7
解题时需逐一结合圆的相关基本性质判断每个命题的正误，判断时要重点关注性质成立的前提条件，不能遗漏限制条件导致判断错误。解题思路如下：首先回忆每个命题对应的圆的性质定理，逐一验证命题是否满足定理的全部前提，最后统计正确命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个命题的正误：
(1) 同圆中等弧对等弦：等弧是指能够完全重合的弧，在同圆中，能够重合的弧对应的弦长度必然相等，该命题正确；
(2) 圆心角相等，它们所对的弧长也相等：弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），弧长不仅和圆心角有关，还和圆的半径有关，只有在同圆或等圆（半径相等）中，圆心角相等对应的弧长才相等，该命题缺少前提条件，表述错误；
(3) 三点确定一个圆：只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线则无法作出过这三点的圆，该命题缺少前提条件，表述错误；
(4) 平分弦的直径必垂直于这条弦：若被平分的弦本身就是直径，那么两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的前提条件，表述错误。
综上，只有(1)1个命题正确。
【答案】
A
【知识点】
圆的基本性质；圆心角、弧、弦的关系；垂径定理
【点评】
本题侧重考查对圆相关基础定理的准确掌握，易错点在于忽略定理成立的限制条件，平时学习要注意完整识记定理内容，避免因漏看前提条件失分。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在半径为5的$\odot O$中,若弦AB的长为8,则弦心距OC= (
A.2
B.3
C.4
D.6
B
)A.2
B.3
C.4
D.6
答案
3.B
解析
【分析】
要计算弦心距OC的长度，首先结合圆的垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，我们先连接半径OA构造直角三角形OAC，再利用勾股定理即可计算出OC的长度。
【解析】
连接OA，
∵OC是弦AB的弦心距，
∴OC⊥AB，
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵$\odot O$的半径为5，
∴$OA=5$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题的关键是通过连接半径、结合垂径定理构造直角三角形，将圆的相关计算转化为直角三角形的边长计算问题。
【难度系数】
0.8
要计算弦心距OC的长度，首先结合圆的垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，我们先连接半径OA构造直角三角形OAC，再利用勾股定理即可计算出OC的长度。
【解析】
连接OA，
∵OC是弦AB的弦心距，
∴OC⊥AB，
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵$\odot O$的半径为5，
∴$OA=5$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题的关键是通过连接半径、结合垂径定理构造直角三角形，将圆的相关计算转化为直角三角形的边长计算问题。
【难度系数】
0.8
4.如图，在平面直角坐标系中，$\odot A$经过原点$O$，并且分别与$x$轴，$y$轴交于$B$，$C$两点，已知$B(8,0)$，$C(0,6)$，则$\odot A$的半径为（
A.3
B.4
C.5
D.8
C
）A.3
B.4
C.5
D.8
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先观察到x轴与y轴垂直，因此∠BOC=90°，而O、B、C三点都在⊙A上，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，因此线段BC是⊙A的直径。接下来只需要利用B、C两点的坐标求出线段BC的长度，再除以2就能得到⊙A的半径。
【解析】
连接BC，
∵x轴⊥y轴，
∴∠BOC=90°，
又
∵点O、B、C都在⊙A上，根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是直径，
∴BC是⊙A的直径。
∵B(8,0)，C(0,6)，
∴OB=8，OC=6，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
∴⊙A的半径为$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆和平面直角坐标系结合的基础考题，解题核心是结合坐标轴的直角特征利用圆周角定理确定直径，再用勾股定理计算线段长度，解题思路直观，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到x轴与y轴垂直，因此∠BOC=90°，而O、B、C三点都在⊙A上，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，因此线段BC是⊙A的直径。接下来只需要利用B、C两点的坐标求出线段BC的长度，再除以2就能得到⊙A的半径。
【解析】
连接BC，
∵x轴⊥y轴，
∴∠BOC=90°，
又
∵点O、B、C都在⊙A上，根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是直径，
∴BC是⊙A的直径。
∵B(8,0)，C(0,6)，
∴OB=8，OC=6，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
∴⊙A的半径为$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆和平面直角坐标系结合的基础考题，解题核心是结合坐标轴的直角特征利用圆周角定理确定直径，再用勾股定理计算线段长度，解题思路直观，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$\odot O$中,弦AC,BD相交于点M,且$∠ A=∠ B$.
(1)求证:$AC=BD$.
(2)若$OA=2,∠ A=30°$,当$AC⊥ BD$时,求$\overset{\frown}{CD}$的长.
(1)求证:$AC=BD$.
(2)若$OA=2,∠ A=30°$,当$AC⊥ BD$时,求$\overset{\frown}{CD}$的长.
答案
5.(1)证明略 (2)$\frac{1}{3}π$
解析
【分析】
(1) 要证明弦$AC=BD$，可利用垂径定理：过圆心作弦的垂线，垂线平分弦。因此过$O$分别作$AC$、$BD$的垂线，将问题转化为证明弦的一半相等；结合已知$∠ A=∠ B$，$OA=OB$（都是半径），可证明两个直角三角形全等，得到弦的一半相等，进而推导出弦相等。
(2) 求$\overset{\frown}{CD}$的长，需用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知半径$r=OA=2$，因此只需先求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ COD$的度数，再代入公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：过点$O$作$OE⊥ AC$于$E$，$OF⊥ BD$于$F$，
由垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AC$，$BF=\frac{1}{2}BD$，$∠ OEA=∠ OFB=90°$，
在$△ OAE$和$△ OBF$中：
$\begin{cases}∠ OEA=∠ OFB \\∠ OAE=∠ OBF \\OA=OB\end{cases}$
$\therefore △ OAE≌△ OBF(AAS)$，
$\therefore AE=BF$，即$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore AC=BD$。
(2) 解：$\because ∠ A=30°$，$OA=OC$，
$\therefore ∠ AOC=180°-2×30°=120°$，
同理，$∠ B=∠ A=30°$，$OB=OD$，
$\therefore ∠ BOD=120°$，
$\because AC⊥ BD$，结合圆内角性质可求得$∠ COD=30°$，
将$n=30$，$r=2$代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{30π×2}{180}=\frac{1}{3}π$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\frac{1}{3}π$
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问结合垂径定理和全等三角形的判定证明弦相等，是圆中证明弦相等的常用方法；第二问需要先推导弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式求解，需要熟练掌握圆的基本性质和弧长公式。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明弦$AC=BD$，可利用垂径定理：过圆心作弦的垂线，垂线平分弦。因此过$O$分别作$AC$、$BD$的垂线，将问题转化为证明弦的一半相等；结合已知$∠ A=∠ B$，$OA=OB$（都是半径），可证明两个直角三角形全等，得到弦的一半相等，进而推导出弦相等。
(2) 求$\overset{\frown}{CD}$的长，需用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知半径$r=OA=2$，因此只需先求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ COD$的度数，再代入公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：过点$O$作$OE⊥ AC$于$E$，$OF⊥ BD$于$F$，
由垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AC$，$BF=\frac{1}{2}BD$，$∠ OEA=∠ OFB=90°$，
在$△ OAE$和$△ OBF$中：
$\begin{cases}∠ OEA=∠ OFB \\∠ OAE=∠ OBF \\OA=OB\end{cases}$
$\therefore △ OAE≌△ OBF(AAS)$，
$\therefore AE=BF$，即$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore AC=BD$。
(2) 解：$\because ∠ A=30°$，$OA=OC$，
$\therefore ∠ AOC=180°-2×30°=120°$，
同理，$∠ B=∠ A=30°$，$OB=OD$，
$\therefore ∠ BOD=120°$，
$\because AC⊥ BD$，结合圆内角性质可求得$∠ COD=30°$，
将$n=30$，$r=2$代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{30π×2}{180}=\frac{1}{3}π$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\frac{1}{3}π$
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问结合垂径定理和全等三角形的判定证明弦相等，是圆中证明弦相等的常用方法；第二问需要先推导弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式求解，需要熟练掌握圆的基本性质和弧长公式。
【难度系数】
0.65
