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8.如图，$\odot A,\odot B,\odot C,\odot D,\odot E$半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是
$\frac{3}{2}π$
。答案
8.$\frac{3}{2}π$
解析
【分析】
要计算五个阴影扇形的面积和，已知所有扇形半径均为1，扇形面积由圆心角和半径决定，因此只需先求出五个扇形的圆心角总和。五个扇形的圆心角恰好对应五边形ABCDE的五个内角，因此先利用多边形内角和公式求出五边形内角和，再代入扇形面积公式即可算出总面积。
【解析】
1. 计算五边形ABCDE的内角和：
根据多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$，五边形的边数$n=5$，因此内角和为$(5-2)×180°=540°$，即五个扇形的圆心角总和为$540°$。
2. 计算五个扇形的面积和：
已知扇形半径$r=1$，扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数），将圆心角总和、半径代入公式：
$S_{总}=\frac{540×π×1^2}{360}=\frac{3}{2}π$
【答案】
$\frac{3}{2}π$
【知识点】
多边形内角和计算，扇形面积计算
【点评】
本题主要考查多边形内角和与扇形面积公式的综合应用，解题核心是将多个同半径扇形的圆心角合并为多边形内角和，无需单独计算每个扇形面积，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
要计算五个阴影扇形的面积和，已知所有扇形半径均为1，扇形面积由圆心角和半径决定，因此只需先求出五个扇形的圆心角总和。五个扇形的圆心角恰好对应五边形ABCDE的五个内角，因此先利用多边形内角和公式求出五边形内角和，再代入扇形面积公式即可算出总面积。
【解析】
1. 计算五边形ABCDE的内角和：
根据多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$，五边形的边数$n=5$，因此内角和为$(5-2)×180°=540°$，即五个扇形的圆心角总和为$540°$。
2. 计算五个扇形的面积和：
已知扇形半径$r=1$，扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数），将圆心角总和、半径代入公式：
$S_{总}=\frac{540×π×1^2}{360}=\frac{3}{2}π$
【答案】
$\frac{3}{2}π$
【知识点】
多边形内角和计算，扇形面积计算
【点评】
本题主要考查多边形内角和与扇形面积公式的综合应用，解题核心是将多个同半径扇形的圆心角合并为多边形内角和，无需单独计算每个扇形面积，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
▲9.如图，已知矩形ABCD中，BC=2AB，以点B为圆心，BC为半径的弧交AD于点E，交BA的延长线于点F.设AB=1，则阴影部分的面积为
$\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}$
.答案
9.$\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，需将其转化为规则图形面积的和差。观察图形可知，阴影部分面积等于扇形BEF的面积减去直角三角形ABE的面积。首先根据已知条件确定扇形的半径、圆心角，以及直角三角形的边长，再分别代入对应面积公式计算差值即可。
【解析】
已知AB=1，由BC=2AB得BC=2。
∵BE、BF是以B为圆心、BC为半径的圆的半径，
∴BE=BF=BC=2。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°。
在Rt△ABE中，AB=1，BE=2，
∴$\cos∠ABE=\frac{AB}{BE}=\frac{1}{2}$，即∠ABE=60°。
①计算扇形BEF的面积：
$S_{扇形BEF}=\frac{nπr^2}{360}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
②计算Rt△ABE的面积：
由勾股定理得$AE=\sqrt{BE^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×AE=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
③计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇形BEF}-S_{△ABE}=\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
扇形面积计算；矩形的性质；直角三角形性质
【点评】
本题是扇形面积应用的典型题型，解题核心是把不规则阴影面积转化为规则的扇形、三角形的面积差，只要熟练掌握相关几何图形的性质和面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
要求不规则阴影部分的面积，需将其转化为规则图形面积的和差。观察图形可知，阴影部分面积等于扇形BEF的面积减去直角三角形ABE的面积。首先根据已知条件确定扇形的半径、圆心角，以及直角三角形的边长，再分别代入对应面积公式计算差值即可。
【解析】
已知AB=1，由BC=2AB得BC=2。
∵BE、BF是以B为圆心、BC为半径的圆的半径，
∴BE=BF=BC=2。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°。
在Rt△ABE中，AB=1，BE=2，
∴$\cos∠ABE=\frac{AB}{BE}=\frac{1}{2}$，即∠ABE=60°。
①计算扇形BEF的面积：
$S_{扇形BEF}=\frac{nπr^2}{360}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
②计算Rt△ABE的面积：
由勾股定理得$AE=\sqrt{BE^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×AE=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
③计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇形BEF}-S_{△ABE}=\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
扇形面积计算；矩形的性质；直角三角形性质
【点评】
本题是扇形面积应用的典型题型，解题核心是把不规则阴影面积转化为规则的扇形、三角形的面积差，只要熟练掌握相关几何图形的性质和面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
10.如图,将$△ ABC$绕点$C$旋转$60°$得到$△ A'B'C$,已知$AC=6$,$BC=4$,则线段$AB$扫过的图形面积为（
A.$\frac{3π}{2}$
B.$\frac{8π}{3}$
C.$6π$
D.$\frac{10π}{3}$
D
）A.$\frac{3π}{2}$
B.$\frac{8π}{3}$
C.$6π$
D.$\frac{10π}{3}$
答案
10.D
解析
【分析】
本题求解AB扫过的阴影部分面积，首先利用旋转的性质：旋转前后图形全等，对应旋转角相等，可知△ABC和△A'B'C面积相等，∠ACA'=∠BCB'=60°。观察图形可得，阴影部分面积等于扇形ACA'的面积减去扇形BCB'的面积（两个三角形面积相互抵消），再代入扇形面积公式计算即可。解题思路是先把不规则的阴影面积转化为规则扇形的面积差，再代入数值计算。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C
∴△ABC≌△A'B'C，∠ACA'=∠BCB'=60°
∴AB扫过的图形面积 = $S_{扇形ACA'} + S_{△ A'B'C} - S_{△ ABC} - S_{扇形BCB'}$
又
∵$S_{△ A'B'C}=S_{△ ABC}$
∴所求面积 = $S_{扇形ACA'} - S_{扇形BCB'}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，其中n=60°，扇形ACA'半径$r_1=AC=6$，扇形BCB'半径$r_2=BC=4$：
$S_{扇形ACA'}=\frac{60π × 6^2}{360}=6π$
$S_{扇形BCB'}=\frac{60π × 4^2}{360}=\frac{8π}{3}$
∴所求面积 = $6π - \frac{8π}{3}=\frac{10π}{3}$
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，不规则面积求法
【点评】
本题解题核心是将不规则的扫过面积转化为两个规则扇形的面积差，利用旋转的性质消去相等的三角形面积，简化计算过程，需要熟练掌握旋转的性质和扇形面积公式。
【难度系数】
0.6
本题求解AB扫过的阴影部分面积，首先利用旋转的性质：旋转前后图形全等，对应旋转角相等，可知△ABC和△A'B'C面积相等，∠ACA'=∠BCB'=60°。观察图形可得，阴影部分面积等于扇形ACA'的面积减去扇形BCB'的面积（两个三角形面积相互抵消），再代入扇形面积公式计算即可。解题思路是先把不规则的阴影面积转化为规则扇形的面积差，再代入数值计算。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C
∴△ABC≌△A'B'C，∠ACA'=∠BCB'=60°
∴AB扫过的图形面积 = $S_{扇形ACA'} + S_{△ A'B'C} - S_{△ ABC} - S_{扇形BCB'}$
又
∵$S_{△ A'B'C}=S_{△ ABC}$
∴所求面积 = $S_{扇形ACA'} - S_{扇形BCB'}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，其中n=60°，扇形ACA'半径$r_1=AC=6$，扇形BCB'半径$r_2=BC=4$：
$S_{扇形ACA'}=\frac{60π × 6^2}{360}=6π$
$S_{扇形BCB'}=\frac{60π × 4^2}{360}=\frac{8π}{3}$
∴所求面积 = $6π - \frac{8π}{3}=\frac{10π}{3}$
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，不规则面积求法
【点评】
本题解题核心是将不规则的扫过面积转化为两个规则扇形的面积差，利用旋转的性质消去相等的三角形面积，简化计算过程，需要熟练掌握旋转的性质和扇形面积公式。
【难度系数】
0.6
11.如图，有一圆形的马戏帐篷，其半径为20m，从点A到点B有一笔直的栅栏，$AB=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$.
(1)求$∠ AOB$的度数.
★(2)某学校的学生在阴影区域里看马戏表演，已知每平方米中大约有2名学生，则该校大约有多少名学生在看戏？
(1)求$∠ AOB$的度数.
★(2)某学校的学生在阴影区域里看马戏表演，已知每平方米中大约有2名学生，则该校大约有多少名学生在看戏？
答案
11.(1)$∠AOB=120°$
(2)大约有 491 名学生在看戏
(2)大约有 491 名学生在看戏
解析
【分析】
(1) 要求∠AOB的度数，已知OA、OB都是圆的半径为20m，AB长度已知，△OAB是等腰三角形，可过O作AB的垂线，利用垂径定理将AB平分，构造直角三角形，通过三角函数求出半角的度数，进而得到∠AOB的度数。
(2) 阴影部分是弓形，其面积等于对应扇形OAB的面积减去△OAB的面积，算出弓形面积后，乘以每平方米的学生数即可得到总人数。
【解析】
(1) 过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB=20m，OC⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×$20\sqrt{3}$=$10\sqrt{3}$ m，
在Rt△AOC中，$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}=\frac{10\sqrt{3}}{20}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=2∠AOC=120°。
(2) 计算弓形AB的面积：
① 扇形OAB的面积：$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120×π×20^2}{360}=\frac{400π}{3}$ ㎡，
② 在Rt△AOC中，$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{20^2-(10\sqrt{3})^2}=10$ m，
则△OAB的面积：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×20\sqrt{3}×10=100\sqrt{3}$ ㎡，
③ 阴影部分（弓形）面积：$S_{阴影}=S_{扇形}-S_{△ AOB}=\frac{400π}{3}-100\sqrt{3}\approx\frac{400×3.14}{3}-100×1.732\approx245.5$ ㎡，
总人数≈$245.5×2\approx491$（名）。
【答案】
(1) $∠ AOB=120°$
(2) 大约有491名学生在看戏
【知识点】
垂径定理，扇形面积计算，弓形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查圆的相关计算，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形求解角度，掌握弓形面积的推导计算方法，能很好地检验学生对基础公式的运用和实际问题的转化能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠AOB的度数，已知OA、OB都是圆的半径为20m，AB长度已知，△OAB是等腰三角形，可过O作AB的垂线，利用垂径定理将AB平分，构造直角三角形，通过三角函数求出半角的度数，进而得到∠AOB的度数。
(2) 阴影部分是弓形，其面积等于对应扇形OAB的面积减去△OAB的面积，算出弓形面积后，乘以每平方米的学生数即可得到总人数。
【解析】
(1) 过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB=20m，OC⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×$20\sqrt{3}$=$10\sqrt{3}$ m，
在Rt△AOC中，$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}=\frac{10\sqrt{3}}{20}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=2∠AOC=120°。
(2) 计算弓形AB的面积：
① 扇形OAB的面积：$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120×π×20^2}{360}=\frac{400π}{3}$ ㎡，
② 在Rt△AOC中，$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{20^2-(10\sqrt{3})^2}=10$ m，
则△OAB的面积：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×20\sqrt{3}×10=100\sqrt{3}$ ㎡，
③ 阴影部分（弓形）面积：$S_{阴影}=S_{扇形}-S_{△ AOB}=\frac{400π}{3}-100\sqrt{3}\approx\frac{400×3.14}{3}-100×1.732\approx245.5$ ㎡，
总人数≈$245.5×2\approx491$（名）。
【答案】
(1) $∠ AOB=120°$
(2) 大约有491名学生在看戏
【知识点】
垂径定理，扇形面积计算，弓形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查圆的相关计算，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形求解角度，掌握弓形面积的推导计算方法，能很好地检验学生对基础公式的运用和实际问题的转化能力。
【难度系数】
0.7
