1. 一元二次方程$x^2 - x + 1 = 0$的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

1. C

【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需用到根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。首先从给定的一元二次方程中提取出对应一般式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的系数$a$、$b$、$c$，代入判别式计算出$\Delta$的结果，再根据$\Delta$的正负性判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程无实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x + 1 = 0$，对应系数为：$a=1$，$b=-1$，$c=1$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3$
因为$\Delta = -3 ＜ 0$，所以该一元二次方程无实数根，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，熟记判别式取值与根的三种对应关系是解题关键，计算时要注意一次项系数的符号不要出错。
【难度系数】
0.9

2. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (k + 1)x + 2k - 2 = 0 $，则该方程有（）

A.两个不相等的实数根
B.两个相等的实数根
C.两个实数根
D.无实数根

2. C

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta≥0$时有两个实数根，$\Delta＜0$时无实数根。解题时第一步先确定方程中$a、b、c$的取值，第二步代入判别式公式化简，第三步结合完全平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 - (k + 1)x + 2k - 2 = 0$中，$a=1$，$b=-(k+1)$，$c=2k-2$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(k+1)]^2 - 4×1×(2k-2)\\&=k^2+2k+1 - 8k + 8\\&=k^2-6k+9\\&=(k-3)^2\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(k-3)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$，
∴ 该一元二次方程有两个实数根（包含两个相等和两个不相等两种情况）。
由上述内容，选择C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.完全平方的非负性
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并结合平方的非负性判断其符号，熟练掌握判别式与根的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 若关于$x$的一元二次方程$kx^2 - 4x - 2 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是。

3. k≥-2，且k≠0

【分析】
首先题目明确说明是一元二次方程，因此首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即$k≠0$；其次方程有实数根，需要满足根的判别式$\Delta ≥ 0$，我们可以先写出方程对应的$a、b、c$的值，代入判别式公式列出不等式，求解不等式后，再结合$k≠0$的约束，就能得到$k$的最终取值范围。
【解析】
∵ 方程$kx^2 - 4x - 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=-4$，$c=-2$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4 × k × (-2) = 16 + 8k ≥ 0$
解不等式$16 + 8k ≥ 0$：
移项得$8k ≥ -16$
两边同时除以8得$k ≥ -2$
结合$k ≠ 0$的条件，可得$k$的取值范围是$k ≥ -2$且$k ≠ 0$
【答案】
$k≥ -2$，且$k≠ 0$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程参数取值范围的典型易错题，解题时容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，需要同时结合方程定义和根的判别式两个约束条件求解，避免出错。
【难度系数】
0.6

4. 用公式法解方程 $2x^2 + 7x = 5$ 时，得 ，则 “” 处应填（）

A.5
B.$-5$
C.$-7$
D.$7$

4. C

【分析】
要解决这道题，首先回忆公式法解一元二次方程的步骤：第一步需先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再对应求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，确定$a、b、c$的取值，最后对比题干给出的式子，就能确定方框对应的内容。
【解析】
首先将方程$2x^2+7x=5$移项化为一般形式：
$2x^2+7x-5=0$
由此可得$a=2$，$b=7$，$c=-5$。
代入一元二次方程求根公式得：
$x=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4×2×(-5)}}{2×2}$
对比题干给出的式子，可知“”处应填$-7$。
【答案】
C
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础考查题，重点验证对一元二次方程求根公式的掌握程度，解题时要特别注意，求根公式分子的第一项是$-b$，且需先将方程化为一般形式再确定$a、b、c$的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.7

5. 用公式法解一元二次方程的根为$x=$ ，该方程可能为（）

A.$3x^2+2x-1=0$
B.$2x^2+4x-1=0$
C.$x^2-2x+3=0$
D.$3x^2-2x-1=0$

5. D

【分析】
解题的核心是熟练掌握一元二次方程的求根公式结构。对于标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们可以将题干给出的求根表达式与公式逐部分比对：先通过分母确定a的值，再通过分子的一次项部分确定b的值，最后通过根号内的判别式确定c的值，即可得到对应的一元二次方程，匹配选项得出答案。
【解析】
一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad(\Delta=b^2-4ac≥0)$
将题干给出的$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式对比：
1. 分母对应$2a=2×3$，解得$a=3$；
2. 分子的一次项对应$-b=2$，解得$b=-2$；
3. 根号内的判别式对应$b^2-4ac=4-4×3×(-1)$，代入$a=3、b=-2$，解得$c=-1$。
因此对应方程为$3x^2-2x-1=0$，对应选项D。
也可逐一验证选项排除错误项：A选项求根分子首项为-2，不符合；B、C选项分母分别为4和2，与题干分母6不符，均排除。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程一般形式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程求根公式结构的理解和应用，解题关键是准确对应求根公式各部分与方程系数a、b、c的关系，熟练掌握公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8

6. 用公式法解下列一元二次方程：
(1) $2x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$；
(2) $x^2 - 2x = 2x + 1$。

解 (1) $2x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$,
$\Delta=(-2\sqrt{3})^2 - 4×2×(-1)=20＞0$,
则 $x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{20}}{2×2}$,
所以 $x_1=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$, $x_2=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$。
(2) $x^2 - 4x - 1 = 0$, $\Delta=(-4)^2 - 4×1×(-1)=20＞0$, 则 $x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{20}}{2×1}$,
所以 $x_1=2+\sqrt{5}$, $x_2=2-\sqrt{5}$。

【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值，注意符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；③$\Delta≥0$时，将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将结果化简为最简形式。
本题中(1)已经是一般形式，可直接确定$a$、$b$、$c$；(2)需要先移项整理为一般形式，再按步骤计算。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$，
得$a=2$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta=(-2\sqrt{3})^2 - 4×2×(-1)=12+8=20＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{20}}{2×2}=\frac{2\sqrt{3}\pm2\sqrt{5}}{4}$，
约分后可得两根：$x_1=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$。
(2) 先整理方程$x^2 - 2x = 2x + 1$为一般形式：
移项合并同类项得$x^2 -4x -1 = 0$，
得$a=1$，$b=-4$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta=(-4)^2 - 4×1×(-1)=16+4=20＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{20}}{2×1}=\frac{4\pm2\sqrt{5}}{2}$，
约分后可得两根：$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$；
(2) $x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；根的判别式；二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查公式法的规范应用，易错点为确定$a$、$b$、$c$时符号出错、判别式计算错误、二次根式化简不规范，熟练掌握公式法的固定步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.8