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知识点一 根的判别式
1. 式子$b^2 - 4ac$可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的________，通常用希腊字母“Δ”表示，即$\Delta = \_\_\_\_\_\_$。
2. 对于方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta ＜ 0$时，方程无实数根。
1. 式子$b^2 - 4ac$可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的________，通常用希腊字母“Δ”表示，即$\Delta = \_\_\_\_\_\_$。
2. 对于方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta ＜ 0$时，方程无实数根。
答案
1. 根的判别式，$b^2 - 4ac$
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根的判别式的基础概念，解题时只需回忆教材中相关定义即可。题干已经明确说明式子$b^2-4ac$的作用是判别一元二次方程根的情况，根据定义就能直接写出它的名称，以及判别式$\Delta$的表达式。
【解析】
根据一元二次方程根的判别式的定义：可以用来判别一元二次方程根的情况的式子$b^2-4ac$，叫做一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，通常用希腊字母$\Delta$表示，即$\Delta = b^2-4ac$，对应填入空缺处即可。
【答案】
1. 根的判别式，$b^2 - 4ac$
【知识点】
一元二次方程根的判别式概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要要求学生牢记根的判别式的基本定义，是后续利用判别式判断方程根的情况、求解参数等题型的基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程根的判别式的基础概念，解题时只需回忆教材中相关定义即可。题干已经明确说明式子$b^2-4ac$的作用是判别一元二次方程根的情况，根据定义就能直接写出它的名称，以及判别式$\Delta$的表达式。
【解析】
根据一元二次方程根的判别式的定义：可以用来判别一元二次方程根的情况的式子$b^2-4ac$，叫做一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，通常用希腊字母$\Delta$表示，即$\Delta = b^2-4ac$，对应填入空缺处即可。
【答案】
1. 根的判别式，$b^2 - 4ac$
【知识点】
一元二次方程根的判别式概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要要求学生牢记根的判别式的基本定义，是后续利用判别式判断方程根的情况、求解参数等题型的基础。
【难度系数】
0.9
例1 已知方程$(x-1)(x+2)=1$，则下列说法正确的是（
A.方程有两个相等的实数根
B.方程有两个不相等的实数根
C.方程没有实数根
D.无法判断方程的根的情况
解析 将一元二次方程化为一般形式，可得$x^2 + x - 3 = 0$。因为$\Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4 × 1 × (-3) = 13 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
答案 B
B
）A.方程有两个相等的实数根
B.方程有两个不相等的实数根
C.方程没有实数根
D.无法判断方程的根的情况
解析 将一元二次方程化为一般形式，可得$x^2 + x - 3 = 0$。因为$\Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4 × 1 × (-3) = 13 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
答案 B
答案
解析 将一元二次方程化为一般形式，可得$x^2 + x - 3 = 0$。因为$\Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4 × 1 × (-3) = 13 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。答案 B
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判断，使用判别式的前提是方程要先化为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式。本题给出的是因式乘积的形式，首先需要展开整理为一般形式，再代入判别式计算，最后根据判别式的结果对应根的情况即可。
【解析】
先将原方程展开并整理为一般形式：
展开左边得：$x^2+2x-x-2=1$
移项合并同类项得：$x^2+x-3=0$
其中$a=1$，$b=1$，$c=-3$，代入根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2-4×1×(-3)=1+12=13＞0$
因此方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式的使用，解题时需注意切勿直接将等式右侧的1当作0拆分因式求解，必须先将方程转化为一般形式再计算判别式。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判断，使用判别式的前提是方程要先化为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式。本题给出的是因式乘积的形式，首先需要展开整理为一般形式，再代入判别式计算，最后根据判别式的结果对应根的情况即可。
【解析】
先将原方程展开并整理为一般形式：
展开左边得：$x^2+2x-x-2=1$
移项合并同类项得：$x^2+x-3=0$
其中$a=1$，$b=1$，$c=-3$，代入根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2-4×1×(-3)=1+12=13＞0$
因此方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式的使用，解题时需注意切勿直接将等式右侧的1当作0拆分因式求解，必须先将方程转化为一般形式再计算判别式。
【难度系数】
0.8
知识点二 运用公式法解一元二次方程
1. 当$\Delta ≥ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a ≠ 0$）的实数根可写为
2. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作
特别提醒
运用公式法解一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的前提条件有：$a ≠ 0$；$b^2 - 4ac ≥ 0$。
例2 用公式法解方程：$2x^2 - 3x = 1$。
解 方程可化为$2x^2 - 3x - 1 = 0$，
此时$a = 2$，$b = -3$，$c = -1$，
所以$\Delta = (-3)^2 - 4 × 2 × (-1) = 17 ＞ 0$。
方程有两个不相等的实数根。
解题要点
确定$a$，$b$，$c$的值时，不要遗漏它们的符号。
1. 当$\Delta ≥ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a ≠ 0$）的实数根可写为
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
的形式，这个式子叫作一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的求根公式。2. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作
公式法
。特别提醒
运用公式法解一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的前提条件有：$a ≠ 0$；$b^2 - 4ac ≥ 0$。
例2 用公式法解方程：$2x^2 - 3x = 1$。
解 方程可化为$2x^2 - 3x - 1 = 0$，
此时$a = 2$，$b = -3$，$c = -1$，
所以$\Delta = (-3)^2 - 4 × 2 × (-1) = 17 ＞ 0$。
方程有两个不相等的实数根。
解题要点
确定$a$，$b$，$c$的值时，不要遗漏它们的符号。
答案
1. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 2. 公式法
解析
【分析】
这两道题均考查一元二次方程公式法的基础概念。第1题需要回忆一元二次方程求根公式的标准形式，题目已经给出前提条件Δ≥0且a≠0，直接对应记忆的求根公式书写即可；第2题考查解方程方法的命名，这种直接代入求根公式得到方程根的方法，根据对应定义就能判断名称。
【解析】
1. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程的实数根可以表示为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，该式就是一元二次方程的求根公式。
2. 解一元二次方程时，无需配方、因式分解，直接将各项系数代入求根公式得出方程根的方法，叫作公式法。
【答案】
1. $\boldsymbol{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$
2. $\boldsymbol{公式法}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；公式法的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，是运用公式法解一元二次方程的必备基础知识，要准确记忆求根公式的形式，注意不要遗漏公式里的符号，为后续解方程打好基础。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查一元二次方程公式法的基础概念。第1题需要回忆一元二次方程求根公式的标准形式，题目已经给出前提条件Δ≥0且a≠0，直接对应记忆的求根公式书写即可；第2题考查解方程方法的命名，这种直接代入求根公式得到方程根的方法，根据对应定义就能判断名称。
【解析】
1. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程的实数根可以表示为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，该式就是一元二次方程的求根公式。
2. 解一元二次方程时，无需配方、因式分解，直接将各项系数代入求根公式得出方程根的方法，叫作公式法。
【答案】
1. $\boldsymbol{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$
2. $\boldsymbol{公式法}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；公式法的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，是运用公式法解一元二次方程的必备基础知识，要准确记忆求根公式的形式，注意不要遗漏公式里的符号，为后续解方程打好基础。
【难度系数】
0.9
