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9. 一元二次方程$-x^2 -2x -1 +a^2=0$（a是常数，$a≠0$）的根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定有没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定有没有实数根
答案
9. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需借助一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，没有实数根。解题时首先确定方程各项的系数，代入判别式公式计算$\Delta$的表达式，再结合已知条件$a≠0$判断$\Delta$的符号，即可得出根的情况。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：$-x^2 -2x + (a^2 -1)=0$，
其中二次项系数$A=-1$，一次项系数$B=-2$，常数项$C=a^2-1$，
代入根的判别式公式：
$\Delta = B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4×(-1)×(a^2 -1)$
$= 4 + 4(a^2 -1)$
$= 4 + 4a^2 -4$
$= 4a^2$
已知$a≠0$，因此$a^2＞0$，则$\Delta=4a^2＞0$，
所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是准确计算判别式，结合给定参数的条件判断判别式的符号，掌握判别式与根的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需借助一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，没有实数根。解题时首先确定方程各项的系数，代入判别式公式计算$\Delta$的表达式，再结合已知条件$a≠0$判断$\Delta$的符号，即可得出根的情况。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：$-x^2 -2x + (a^2 -1)=0$，
其中二次项系数$A=-1$，一次项系数$B=-2$，常数项$C=a^2-1$，
代入根的判别式公式：
$\Delta = B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4×(-1)×(a^2 -1)$
$= 4 + 4(a^2 -1)$
$= 4 + 4a^2 -4$
$= 4a^2$
已知$a≠0$，因此$a^2＞0$，则$\Delta=4a^2＞0$，
所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是准确计算判别式，结合给定参数的条件判断判别式的符号，掌握判别式与根的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8
10. 用配方法解一元二次方程 $2x^2 - 4x - 1 = 0$，配方正确的是（
A.$(x-1)^2=\frac{3}{2}$
B.$(x-1)^2=2$
C.$(x-2)^2=\frac{3}{2}$
D.$(x-2)^2=2$
A
）A.$(x-1)^2=\frac{3}{2}$
B.$(x-1)^2=2$
C.$(x-2)^2=\frac{3}{2}$
D.$(x-2)^2=2$
答案
10. A
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题时需严格遵循配方法的步骤推导：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到等号右侧，第三步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方形式，最后化简即可得到配方后的式子，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$；
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，等号两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
左侧可写成完全平方形式，右侧合并常数项，得：
$(x-1)^2 = \frac{3}{2}$
因此配方正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，要注意当二次项系数不为1时，必须先将二次项系数化为1再进行后续配方，同时配方时要给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数项的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解一元二次方程，解题时需严格遵循配方法的步骤推导：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到等号右侧，第三步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方形式，最后化简即可得到配方后的式子，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$；
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，等号两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
左侧可写成完全平方形式，右侧合并常数项，得：
$(x-1)^2 = \frac{3}{2}$
因此配方正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，要注意当二次项系数不为1时，必须先将二次项系数化为1再进行后续配方，同时配方时要给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数项的错误。
【难度系数】
0.8
11. 将关于$x$的方程$x^2 - mx + 8 = 0$用配方法化为$(x - 3)^2 = n$，则$m + n$的值是
7
。答案
11. 7
解析
【分析】
解题时可先将配方后的方程$(x-3)^2=n$展开整理为一元二次方程的一般形式，再根据两个相同的一元二次方程对应项系数相等的规律，分别求出m和n的取值，最后代入计算$m+n$的值即可。
【解析】
先展开$(x-3)^2 = n$：
$x^2 - 6x + 9 = n$
移项整理为一般式：$x^2 - 6x + (9 - n) = 0$
已知该式与原方程$x^2 - mx + 8 = 0$为同一方程，对应项系数相等：
① 一次项系数：$-m = -6$，解得$m=6$
② 常数项：$9 - n = 8$，解得$n=1$
因此$m + n = 6 + 1 = 7$
【答案】
7
【知识点】
配方法的应用；多项式系数对应关系；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查配方法的运算规则，解题关键是掌握两个相等的多项式对应项系数相等的规律，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.7
解题时可先将配方后的方程$(x-3)^2=n$展开整理为一元二次方程的一般形式，再根据两个相同的一元二次方程对应项系数相等的规律，分别求出m和n的取值，最后代入计算$m+n$的值即可。
【解析】
先展开$(x-3)^2 = n$：
$x^2 - 6x + 9 = n$
移项整理为一般式：$x^2 - 6x + (9 - n) = 0$
已知该式与原方程$x^2 - mx + 8 = 0$为同一方程，对应项系数相等：
① 一次项系数：$-m = -6$，解得$m=6$
② 常数项：$9 - n = 8$，解得$n=1$
因此$m + n = 6 + 1 = 7$
【答案】
7
【知识点】
配方法的应用；多项式系数对应关系；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查配方法的运算规则，解题关键是掌握两个相等的多项式对应项系数相等的规律，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.7
12. 解下列方程：
（1）$x^2 -4x -1=0$；
（2）$2x^2 -6x=10$。
（1）$x^2 -4x -1=0$；
（2）$2x^2 -6x=10$。
答案
12. 解 (1) 配方，得 $x^2-4x+4=5$，$(x-2)^2=5$. 由此可得 $x-2=\pm \sqrt{5}$，$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$.
(2) 系数化为1，得 $x^2-3x=5$，配方，得 $x^2-3x+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$，$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{29}{4}$. 由此可得 $x-\frac{3}{2}=\pm \frac{\sqrt{29}}{2}$，$x_1=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$.
(2) 系数化为1，得 $x^2-3x=5$，配方，得 $x^2-3x+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$，$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{29}{4}$. 由此可得 $x-\frac{3}{2}=\pm \frac{\sqrt{29}}{2}$，$x_1=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$.
解析
【分析】
这两道题都是一元二次方程，可采用配方法求解。配方法的核心是将方程左边变形为完全平方式，右边为常数，再用直接开平方法求解。第（1）题二次项系数已经是1，直接移项后在方程两边加上一次项系数一半的平方配方即可；第（2）题二次项系数为2，先将二次项系数化为1，再按配方法的步骤逐步计算。
【解析】
（1）对于方程$x^2 -4x -1=0$，移项得$x^2-4x=1$，配方，方程两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方$4$，得$x^2-4x+4=1+4$，即$(x-2)^2=5$。两边开平方得$x-2=\pm \sqrt{5}$，解得$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
（2）对于方程$2x^2 -6x=10$，先将二次项系数化为1，方程两边同时除以2得$x^2-3x=5$，配方，方程两边同时加上一次项系数$-3$一半的平方$\frac{9}{4}$，得$x^2-3x+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$，即$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{29}{4}$。两边开平方得$x-\frac{3}{2}=\pm \frac{\sqrt{29}}{2}$，解得$x_1=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
（1）$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$；
（2）$x_1=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查配方法的应用，解题时要注意配方时等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，避免出现漏加、错加的问题，计算过程中要注意符号准确性。
【难度系数】
0.8
这两道题都是一元二次方程，可采用配方法求解。配方法的核心是将方程左边变形为完全平方式，右边为常数，再用直接开平方法求解。第（1）题二次项系数已经是1，直接移项后在方程两边加上一次项系数一半的平方配方即可；第（2）题二次项系数为2，先将二次项系数化为1，再按配方法的步骤逐步计算。
【解析】
（1）对于方程$x^2 -4x -1=0$，移项得$x^2-4x=1$，配方，方程两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方$4$，得$x^2-4x+4=1+4$，即$(x-2)^2=5$。两边开平方得$x-2=\pm \sqrt{5}$，解得$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
（2）对于方程$2x^2 -6x=10$，先将二次项系数化为1，方程两边同时除以2得$x^2-3x=5$，配方，方程两边同时加上一次项系数$-3$一半的平方$\frac{9}{4}$，得$x^2-3x+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$，即$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{29}{4}$。两边开平方得$x-\frac{3}{2}=\pm \frac{\sqrt{29}}{2}$，解得$x_1=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
（1）$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$；
（2）$x_1=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查配方法的应用，解题时要注意配方时等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，避免出现漏加、错加的问题，计算过程中要注意符号准确性。
【难度系数】
0.8
13. 在解一元二次方程$2x^2 -8x +6=0$时，小张的解法如下.
第一步：$x^2 -4x +3=0$.
第二步：$x^2 -4x=-3$.
第三步：$x^2 -4x +4=-3$.
第四步：$(x-2)^2=-3$.
第五步：因为$-3＜0$,
所以原方程无解.
（1）在小张的解法中哪一步是“二次项系数化为1”？这一步的依据是什么？
（2）判断小张的解答过程是否正确，若不正确，则写出正确的解答过程.
第一步：$x^2 -4x +3=0$.
第二步：$x^2 -4x=-3$.
第三步：$x^2 -4x +4=-3$.
第四步：$(x-2)^2=-3$.
第五步：因为$-3＜0$,
所以原方程无解.
（1）在小张的解法中哪一步是“二次项系数化为1”？这一步的依据是什么？
（2）判断小张的解答过程是否正确，若不正确，则写出正确的解答过程.
答案
13. 解 (1) 第一步是“二次项系数化为1”. 依据是等式的基本性质.
(2) 小张的解法错误. 正确的解答过程如下：
$x^2-4x+3=0$，$x^2-4x=-3$，$x^2-4x+4=-3+4$，$(x-2)^2=1$，$x-2=\pm 1$，$x_1=1$，$x_2=3$.
(2) 小张的解法错误. 正确的解答过程如下：
$x^2-4x+3=0$，$x^2-4x=-3$，$x^2-4x+4=-3+4$，$(x-2)^2=1$，$x-2=\pm 1$，$x_1=1$，$x_2=3$.
解析
【分析】
（1）先明确“二次项系数化为1”的操作要求：将方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数变为1。观察小张的解题步骤，第一步把原方程各项除以2，正好符合该操作，这一步的依据是等式的基本性质，即等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
（2）判断配方法解题是否正确，需核对每一步变形是否符合等式性质：配方法配方时，等式左边加上一次项系数一半的平方，右边也要加相同的数才能保证等式成立。小张第三步仅在左边加4，右边没有加，变形错误，后续结果也错误，按照配方法的规范步骤修正即可。
【解析】
(1) 第一步是“二次项系数化为1”。依据是等式的基本性质：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
(2) 小张的解答过程错误，第三步配方时未在等式右边加相同的常数，违反了等式的基本性质。
正确解答过程：
先对原方程二次项系数化为1，得$x^2 -4x +3=0$；
移项，得$x^2 -4x=-3$；
配方，两边同时加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得$x^2 -4x +4=-3+4$；
整理得$(x-2)^2=1$；
开平方得$x-2=\pm1$；
分别求解：当$x-2=1$时，$x=3$；当$x-2=-1$时，$x=1$。
【答案】
(1) 第一步是“二次项系数化为1”，依据是等式的基本性质。
(2) 小张的解法错误。正确的解答过程如下：
$x^2-4x+3=0$，$x^2-4x=-3$，$x^2-4x+4=-3+4$，$(x-2)^2=1$，$x-2=\pm 1$，$x_1=1$，$x_2=3$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，易错点是配方时忽略等式两边需同时加上相同的常数，解题时要牢记所有变形都要符合等式的基本性质，保证方程左右两边始终相等。
【难度系数】
0.8
（1）先明确“二次项系数化为1”的操作要求：将方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数变为1。观察小张的解题步骤，第一步把原方程各项除以2，正好符合该操作，这一步的依据是等式的基本性质，即等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
（2）判断配方法解题是否正确，需核对每一步变形是否符合等式性质：配方法配方时，等式左边加上一次项系数一半的平方，右边也要加相同的数才能保证等式成立。小张第三步仅在左边加4，右边没有加，变形错误，后续结果也错误，按照配方法的规范步骤修正即可。
【解析】
(1) 第一步是“二次项系数化为1”。依据是等式的基本性质：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
(2) 小张的解答过程错误，第三步配方时未在等式右边加相同的常数，违反了等式的基本性质。
正确解答过程：
先对原方程二次项系数化为1，得$x^2 -4x +3=0$；
移项，得$x^2 -4x=-3$；
配方，两边同时加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得$x^2 -4x +4=-3+4$；
整理得$(x-2)^2=1$；
开平方得$x-2=\pm1$；
分别求解：当$x-2=1$时，$x=3$；当$x-2=-1$时，$x=1$。
【答案】
(1) 第一步是“二次项系数化为1”，依据是等式的基本性质。
(2) 小张的解法错误。正确的解答过程如下：
$x^2-4x+3=0$，$x^2-4x=-3$，$x^2-4x+4=-3+4$，$(x-2)^2=1$，$x-2=\pm 1$，$x_1=1$，$x_2=3$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，易错点是配方时忽略等式两边需同时加上相同的常数，解题时要牢记所有变形都要符合等式的基本性质，保证方程左右两边始终相等。
【难度系数】
0.8
