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1. 已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 + n = 0$（$m≠0$，$n≠0$）. 若方程有解，则必须满足 （
A.$n＞0$
B.$m$，$n$异号
C.$n$是$m$的整数倍
D.$m$，$n$同号
B
）A.$n＞0$
B.$m$，$n$异号
C.$n$是$m$的整数倍
D.$m$，$n$同号
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先对已知的一元二次方程进行移项变形，将含x的项单独放在等式一侧，再结合平方数的非负性，推导出等式另一侧代数式的取值范围，进而得到参数m和n的符号关系即可。
【解析】
已知方程$mx^2 + n = 0$（$m≠0$，$n≠0$），移项可得：
$mx^2 = -n$
两边同时除以非零实数$m$，得：
$x^2 = -\frac{n}{m}$
因为方程有解，所以$x^2$作为平方数满足$x^2 ≥ 0$，又因为$n≠0$，因此$-\frac{n}{m} ＞ 0$，即$\frac{n}{m} ＜ 0$，说明$m$和$n$的乘积为负，二者异号。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程解的判定
2. 平方的非负性
3. 有理数符号法则
【点评】
本题是基础题型，重点考查对一元二次方程解的条件的理解，需要结合平方的性质判断参数的符号关系，解题时注意不要忽略移项后的符号变化。
【难度系数】
0.8
解题时先对已知的一元二次方程进行移项变形，将含x的项单独放在等式一侧，再结合平方数的非负性，推导出等式另一侧代数式的取值范围，进而得到参数m和n的符号关系即可。
【解析】
已知方程$mx^2 + n = 0$（$m≠0$，$n≠0$），移项可得：
$mx^2 = -n$
两边同时除以非零实数$m$，得：
$x^2 = -\frac{n}{m}$
因为方程有解，所以$x^2$作为平方数满足$x^2 ≥ 0$，又因为$n≠0$，因此$-\frac{n}{m} ＞ 0$，即$\frac{n}{m} ＜ 0$，说明$m$和$n$的乘积为负，二者异号。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程解的判定
2. 平方的非负性
3. 有理数符号法则
【点评】
本题是基础题型，重点考查对一元二次方程解的条件的理解，需要结合平方的性质判断参数的符号关系，解题时注意不要忽略移项后的符号变化。
【难度系数】
0.8
2. 方程$x^2=1$的根为 （
A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=\pm1$
D.$x=0$
C
）A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=\pm1$
D.$x=0$
答案
2. C
解析
【分析】
观察方程形式为$x^2=a$（$a≥0$）的结构，可采用直接开平方法求解。根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，开平方时不要遗漏负根，求出根后匹配选项即可。
【解析】
对方程$x^2=1$两边直接开平方，可得：
$x=\pm\sqrt{1}$
化简得$x=\pm1$，即方程的根为$x=1$或$x=-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的定义
【点评】
本题是基础题型，主要考查简单一元二次方程的求解，解题时注意正数开平方会得到两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.9
观察方程形式为$x^2=a$（$a≥0$）的结构，可采用直接开平方法求解。根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，开平方时不要遗漏负根，求出根后匹配选项即可。
【解析】
对方程$x^2=1$两边直接开平方，可得：
$x=\pm\sqrt{1}$
化简得$x=\pm1$，即方程的根为$x=1$或$x=-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的定义
【点评】
本题是基础题型，主要考查简单一元二次方程的求解，解题时注意正数开平方会得到两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.9
3. 方程$(x-1)^2=4$的解是（
A.$x_1=-4, x_2=5$
B.$x=3$
C.$x_1=-1, x_2=3$
D.$x=1$
C
）A.$x_1=-4, x_2=5$
B.$x=3$
C.$x_1=-1, x_2=3$
D.$x=1$
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，左边是关于x的完全平方式，右边是正的常数，符合直接开平方法的适用条件；根据平方根的定义，若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$，因此可以先对等式两边开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解一元一次方程即可得到原方程的解，最后匹配对应选项。
【解析】
解：对原方程$(x-1)^2=4$两边直接开平方，可得：
$x-1=\pm\sqrt{4}=\pm2$
分两种情况求解：
①当$x-1=2$时，解得$x=3$；
②当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
因此原方程的解为$x_1=-1$，$x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程基础解法的应用，熟练掌握直接开平方法的适用特征和运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，左边是关于x的完全平方式，右边是正的常数，符合直接开平方法的适用条件；根据平方根的定义，若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$，因此可以先对等式两边开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解一元一次方程即可得到原方程的解，最后匹配对应选项。
【解析】
解：对原方程$(x-1)^2=4$两边直接开平方，可得：
$x-1=\pm\sqrt{4}=\pm2$
分两种情况求解：
①当$x-1=2$时，解得$x=3$；
②当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
因此原方程的解为$x_1=-1$，$x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程基础解法的应用，熟练掌握直接开平方法的适用特征和运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
4. 形如$(x+m)^2=n\ (n≥0)$的方程，它的根是（
A.$x=\pm\sqrt{n}$
B.$x=\pm m+\sqrt{n}$
C.$x=\pm\sqrt{n-m}$
D.$x=-m\pm\sqrt{n}$
D
）A.$x=\pm\sqrt{n}$
B.$x=\pm m+\sqrt{n}$
C.$x=\pm\sqrt{n-m}$
D.$x=-m\pm\sqrt{n}$
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，左边是含未知数的完全平方式，右边$n≥0$，符合直接开平方法的适用条件；第一步将$(x+m)$视作整体，根据平方根的性质，非负数的平方根有两个且互为相反数，可得$x+m=\pm\sqrt{n}$；第二步移项求解$x$，注意移项要改变$m$的符号，最后结合选项选出正确答案，也可通过排除错误选项验证：A漏掉了常数$m$，B移项未变号且对$\pm$的处理错误，C错误将$m$放入根号内运算，均不符合要求。
【解析】
解：已知方程$(x+m)^2=n$且$n≥0$，
方程两边同时开平方，得：
$x+m=\pm\sqrt{n}$
移项将$m$移到等号右侧，得：
$x=-m\pm\sqrt{n}$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是基础运算类题型，核心是掌握直接开平方法的运算规则，解题时要注意把完全平方式内的代数式看作整体，移项时牢记变号规则，避免出现符号、运算顺序类的低级错误。
【难度系数】
0.8
本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，左边是含未知数的完全平方式，右边$n≥0$，符合直接开平方法的适用条件；第一步将$(x+m)$视作整体，根据平方根的性质，非负数的平方根有两个且互为相反数，可得$x+m=\pm\sqrt{n}$；第二步移项求解$x$，注意移项要改变$m$的符号，最后结合选项选出正确答案，也可通过排除错误选项验证：A漏掉了常数$m$，B移项未变号且对$\pm$的处理错误，C错误将$m$放入根号内运算，均不符合要求。
【解析】
解：已知方程$(x+m)^2=n$且$n≥0$，
方程两边同时开平方，得：
$x+m=\pm\sqrt{n}$
移项将$m$移到等号右侧，得：
$x=-m\pm\sqrt{n}$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是基础运算类题型，核心是掌握直接开平方法的运算规则，解题时要注意把完全平方式内的代数式看作整体，移项时牢记变号规则，避免出现符号、运算顺序类的低级错误。
【难度系数】
0.8
5. 方程$(x-1)^2=224^2$的根是
$x_1=225, x_2=-223$
.答案
5. $x_1=225, x_2=-223$
解析
【分析】
观察方程特征，左边是关于x的一次式的平方，右边是非负常数的平方，符合直接开平方法解一元二次方程的形式。根据平方根的性质：若$a^2=b^2$，则$a=b$或$a=-b$，可将二次方程降为一次方程，分别求解一次方程就能得到原方程的根，注意不要漏掉负根的情况。
【解析】
解：对$(x-1)^2=224^2$直接开平方，得：
$x-1=\pm224$
分两种情况计算：
当$x-1=224$时，$x=224+1=225$；
当$x-1=-224$时，$x=-224+1=-223$。
【答案】
$x_1=225, x_2=-223$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，解题核心是识别方程的结构特征，选择合适的求解方法，通过降次将二次方程转化为一次方程即可快速求解，计算时注意符号问题避免出错。
【难度系数】
0.9
观察方程特征，左边是关于x的一次式的平方，右边是非负常数的平方，符合直接开平方法解一元二次方程的形式。根据平方根的性质：若$a^2=b^2$，则$a=b$或$a=-b$，可将二次方程降为一次方程，分别求解一次方程就能得到原方程的根，注意不要漏掉负根的情况。
【解析】
解：对$(x-1)^2=224^2$直接开平方，得：
$x-1=\pm224$
分两种情况计算：
当$x-1=224$时，$x=224+1=225$；
当$x-1=-224$时，$x=-224+1=-223$。
【答案】
$x_1=225, x_2=-223$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，解题核心是识别方程的结构特征，选择合适的求解方法，通过降次将二次方程转化为一次方程即可快速求解，计算时注意符号问题避免出错。
【难度系数】
0.9
6. 解方程：
(1) $x^2 - 4 = 5$；
(2) $(x - 3)^2 = 16$；
(3) $4(x - 2)^2 = 9$；
(4) $(2x - 1)^2 = 27$。
(1) $x^2 - 4 = 5$；
(2) $(x - 3)^2 = 16$；
(3) $4(x - 2)^2 = 9$；
(4) $(2x - 1)^2 = 27$。
答案
6. 解 (1) 由 $x^2-4=5$，移项，得 $x^2=9$，由此可得 $x=\pm 3$，即 $x_1=3$，$x_2=-3$.
(2) 由 $(x-3)^2=16$，得 $x-3=\pm 4$，即 $x_1=7$，$x_2=-1$.
(3) 由 $4(x-2)^2=9$，移项，系数化为1，得 $(x-2)^2=\frac{9}{4}$，由此可得 $x-2=\pm \frac{3}{2}$，即 $x_1=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$.
(4) 由 $(2x-1)^2=27$，得 $2x-1=\pm 3\sqrt{3}$，即 $2x-1=3\sqrt{3}$ 或 $2x-1=-3\sqrt{3}$，移项，系数化为1，得 $x_1=\frac{3\sqrt{3}+1}{2}$，$x_2=\frac{-3\sqrt{3}+1}{2}$.
(2) 由 $(x-3)^2=16$，得 $x-3=\pm 4$，即 $x_1=7$，$x_2=-1$.
(3) 由 $4(x-2)^2=9$，移项，系数化为1，得 $(x-2)^2=\frac{9}{4}$，由此可得 $x-2=\pm \frac{3}{2}$，即 $x_1=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$.
(4) 由 $(2x-1)^2=27$，得 $2x-1=\pm 3\sqrt{3}$，即 $2x-1=3\sqrt{3}$ 或 $2x-1=-3\sqrt{3}$，移项，系数化为1，得 $x_1=\frac{3\sqrt{3}+1}{2}$，$x_2=\frac{-3\sqrt{3}+1}{2}$.
解析
【分析】
这4道题均适合用直接开平方法求解一元二次方程，解题总体思路为：先将方程整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再根据平方根的性质，对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根，解题时注意开平方后有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4 = 5$移项，得$x^2 = 9$，根据平方根的性质可得$x = \pm3$，即$x_1=3$，$x_2=-3$。
(2) 对$(x - 3)^2 = 16$两边同时开平方，得$x - 3 = \pm4$，分别求解得$x_1=7$，$x_2=-1$。
(3) 对$4(x - 2)^2 = 9$系数化为1，得$(x - 2)^2 = \frac{9}{4}$，两边开平方得$x - 2 = \pm\frac{3}{2}$，分别求解得$x_1=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$。
(4) 对$(2x - 1)^2 = 27$两边开平方，得$2x - 1 = \pm3\sqrt{3}$，移项后系数化为1，分别求解得$x_1=\frac{3\sqrt{3}+1}{2}$，$x_2=\frac{1-3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=3$，$x_2=-3$；
(2) $x_1=7$，$x_2=-1$；
(3) $x_1=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(4) $x_1=\frac{3\sqrt{3}+1}{2}$，$x_2=\frac{1-3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
直接开平方法、平方根性质、一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题核心是先把方程变形为$(ax+b)^2=c(c≥0)$的标准形式，开平方时注意不要漏了负根，计算时细心求解转化后的一元一次方程即可。
【难度系数】
0.85
这4道题均适合用直接开平方法求解一元二次方程，解题总体思路为：先将方程整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再根据平方根的性质，对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根，解题时注意开平方后有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4 = 5$移项，得$x^2 = 9$，根据平方根的性质可得$x = \pm3$，即$x_1=3$，$x_2=-3$。
(2) 对$(x - 3)^2 = 16$两边同时开平方，得$x - 3 = \pm4$，分别求解得$x_1=7$，$x_2=-1$。
(3) 对$4(x - 2)^2 = 9$系数化为1，得$(x - 2)^2 = \frac{9}{4}$，两边开平方得$x - 2 = \pm\frac{3}{2}$，分别求解得$x_1=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$。
(4) 对$(2x - 1)^2 = 27$两边开平方，得$2x - 1 = \pm3\sqrt{3}$，移项后系数化为1，分别求解得$x_1=\frac{3\sqrt{3}+1}{2}$，$x_2=\frac{1-3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=3$，$x_2=-3$；
(2) $x_1=7$，$x_2=-1$；
(3) $x_1=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(4) $x_1=\frac{3\sqrt{3}+1}{2}$，$x_2=\frac{1-3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
直接开平方法、平方根性质、一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题核心是先把方程变形为$(ax+b)^2=c(c≥0)$的标准形式，开平方时注意不要漏了负根，计算时细心求解转化后的一元一次方程即可。
【难度系数】
0.85
7. $4(2x - 1)^2 = 36.$
解：$(2x - 1)^2 = 9$…第一步；
$2x - 1 = 9$…第二步；
$2x = 8$…第三步；
$x = 4$…第四步.
（1）以上解方程的过程中从第
（2）请写出正确的解方程的过程.
解：$(2x - 1)^2 = 9$…第一步；
$2x - 1 = 9$…第二步；
$2x = 8$…第三步；
$x = 4$…第四步.
（1）以上解方程的过程中从第
二
步开始出现错误；（2）请写出正确的解方程的过程.
答案
7. 解 (1) 二
(2) 由 $4(2x-1)^2=36$，得 $(2x-1)^2=9$，由此可得 $2x-1=\pm 3$，即 $2x=1+3$ 或 $2x=1-3$. 所以 $x_1=2$，$x_2=-1$.
(2) 由 $4(2x-1)^2=36$，得 $(2x-1)^2=9$，由此可得 $2x-1=\pm 3$，即 $2x=1+3$ 或 $2x=1-3$. 所以 $x_1=2$，$x_2=-1$.
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程。（1）问判断错误步骤时，先回忆直接开平方法的核心规则：若一个式子的平方等于非负数$a$，则这个式子的值为$\pm\sqrt{a}$。原解题过程第一步两边同时除以4得到$(2x-1)^2=9$是正确的，第二步开平方时只考虑了正的平方根，遗漏了负的平方根，因此从第二步开始出错。（2）问正确解法需严格按照直接开平方法步骤：先将方程化为含未知数的完全平方式等于非负数的形式，再开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可得到全部根。
【解析】
（1）观察解题步骤：第一步两边同时除以4，得$(2x-1)^2=9$，计算正确；根据平方根的性质，平方等于9的数有$3$和$-3$两个，原解题第二步仅写$2x-1=9$，遗漏了$2x-1=-3$的情况，因此从第二步开始出现错误。
（2）正确解方程过程：
由$4(2x-1)^2=36$，两边同时除以4得$(2x-1)^2=9$，
开平方得$2x-1=\pm3$，
即$2x=1+3$或$2x=1-3$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
【答案】
（1）二；（2）$x_1=2$，$x_2=-1$，解题过程见上述解析。
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题重点考查一元二次方程的基础解法，易错点是开平方时遗漏负的平方根导致漏解，解题时要牢记正数有两个互为相反数的平方根，养成严谨的运算习惯。
【难度系数】
0.8
本题考查用直接开平方法解一元二次方程。（1）问判断错误步骤时，先回忆直接开平方法的核心规则：若一个式子的平方等于非负数$a$，则这个式子的值为$\pm\sqrt{a}$。原解题过程第一步两边同时除以4得到$(2x-1)^2=9$是正确的，第二步开平方时只考虑了正的平方根，遗漏了负的平方根，因此从第二步开始出错。（2）问正确解法需严格按照直接开平方法步骤：先将方程化为含未知数的完全平方式等于非负数的形式，再开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可得到全部根。
【解析】
（1）观察解题步骤：第一步两边同时除以4，得$(2x-1)^2=9$，计算正确；根据平方根的性质，平方等于9的数有$3$和$-3$两个，原解题第二步仅写$2x-1=9$，遗漏了$2x-1=-3$的情况，因此从第二步开始出现错误。
（2）正确解方程过程：
由$4(2x-1)^2=36$，两边同时除以4得$(2x-1)^2=9$，
开平方得$2x-1=\pm3$，
即$2x=1+3$或$2x=1-3$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
【答案】
（1）二；（2）$x_1=2$，$x_2=-1$，解题过程见上述解析。
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题重点考查一元二次方程的基础解法，易错点是开平方时遗漏负的平方根导致漏解，解题时要牢记正数有两个互为相反数的平方根，养成严谨的运算习惯。
【难度系数】
0.8
8. 用配方法解方程$x^2 + 6x = 7$，应在方程两边同时加上 （
A.6
B.9
C.36
D.3
B
）A.6
B.9
C.36
D.3
答案
8. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的规则：我们需要把方程左边含x的部分配成完全平方式，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对于形如$x^2+bx$的式子，需要添加的常数是一次项系数b一半的平方。首先找到本题中一次项的系数是6，先计算它的一半，再求平方就能得到需要添加的数。
【解析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方。
本题方程为$x^2 + 6x = 7$，二次项系数为1，一次项系数为6：
1. 计算一次项系数的一半：$6÷2=3$
2. 计算一半的平方：$3^2=9$
方程两边同时加上9后，左边可化为完全平方式$x^2+6x+9=(x+3)^2$，符合配方法的要求。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法相关的基础题型，核心考查配方的基本操作，只要牢记“二次项系数为1时，添加的常数为一次项系数一半的平方”这一规则，就能快速得出结果，是后续用配方法解方程、求最值等问题的基础。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的规则：我们需要把方程左边含x的部分配成完全平方式，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对于形如$x^2+bx$的式子，需要添加的常数是一次项系数b一半的平方。首先找到本题中一次项的系数是6，先计算它的一半，再求平方就能得到需要添加的数。
【解析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方。
本题方程为$x^2 + 6x = 7$，二次项系数为1，一次项系数为6：
1. 计算一次项系数的一半：$6÷2=3$
2. 计算一半的平方：$3^2=9$
方程两边同时加上9后，左边可化为完全平方式$x^2+6x+9=(x+3)^2$，符合配方法的要求。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法相关的基础题型，核心考查配方的基本操作，只要牢记“二次项系数为1时，添加的常数为一次项系数一半的平方”这一规则，就能快速得出结果，是后续用配方法解方程、求最值等问题的基础。
【难度系数】
0.9
