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知识点 运用因式分解法解一元二次方程
1. 先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作
2.
例 解方程$(x-2)^2 -9x^2=0$用
解析 左边分解因式，
得$(x-2+3x)(x-2-3x)=0$.
于是$x-2+3x=0$，或$x-2-3x=0$，
即$4x-2=0$，或$-2x-2=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$.
答案 因式分解 $\frac{1}{2}$ $-1$
—特别提醒
运用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移项，使方程的右边化为0；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）令每个一次因式都等于0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，所得解就是原方程的解.
1. 先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作
因式分解法
.2.
配方法
、公式法
适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便.例 解方程$(x-2)^2 -9x^2=0$用
因式分解
法较简便，方程的根为$x_1=$$\frac{1}{2}$
，$x_2=$$-1$
.解析 左边分解因式，
得$(x-2+3x)(x-2-3x)=0$.
于是$x-2+3x=0$，或$x-2-3x=0$，
即$4x-2=0$，或$-2x-2=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$.
答案 因式分解 $\frac{1}{2}$ $-1$
—特别提醒
运用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移项，使方程的右边化为0；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）令每个一次因式都等于0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，所得解就是原方程的解.
答案
1. 因式分解法
2. 配方法 公式法
例. 因式分解 $\frac{1}{2}$ $-1$
2. 配方法 公式法
例. 因式分解 $\frac{1}{2}$ $-1$
解析
【分析】
第1题属于概念识记题，直接对应题干描述的解一元二次方程的方法定义即可作答；第2题需回忆一元二次方程各类解法的适用范围，配方法、公式法无使用条件限制，适用于所有一元二次方程，因式分解法仅在方程左边易分解为两个一次因式乘积时使用更简便；例题中的方程左边是两个整式的平方差结构，符合平方差因式分解的特征，因此优先选因式分解法求解，再按因式分解法的步骤分别解两个一元一次方程即可得到根。
【解析】
1. 根据因式分解法的定义：通过分解因式将方程化为两个一次式乘积为0的形式，再分别令一次式为0降次求解的方法，叫作因式分解法。
2. 解一元二次方程的方法中，配方法、公式法不存在适用条件限制，可用于求解所有一元二次方程。
例题：方程$(x-2)^2 -9x^2=0$左边为$(x-2)^2$与$(3x)^2$的差，属于平方差结构，用因式分解法求解最简便。
利用平方差公式分解左边：
$(x-2+3x)(x-2-3x)=0$
分别令两个一次因式为0：
① $x-2+3x=0$，合并得$4x-2=0$，解得$x=\frac{1}{2}$；
② $x-2-3x=0$，合并得$-2x-2=0$，解得$x=-1$。
因此方程的根为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$。
【答案】
1. 因式分解法
2. 配方法；公式法
例：因式分解；$\frac{1}{2}$；$-1$
【知识点】
因式分解法定义；一元二次方程解法；平方差公式因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，重点要求学生掌握因式分解法的定义、适用场景，以及不同解法的适用范围，熟练识别可因式分解的方程结构能大幅提升解方程的效率。
【难度系数】
0.9
第1题属于概念识记题，直接对应题干描述的解一元二次方程的方法定义即可作答；第2题需回忆一元二次方程各类解法的适用范围，配方法、公式法无使用条件限制，适用于所有一元二次方程，因式分解法仅在方程左边易分解为两个一次因式乘积时使用更简便；例题中的方程左边是两个整式的平方差结构，符合平方差因式分解的特征，因此优先选因式分解法求解，再按因式分解法的步骤分别解两个一元一次方程即可得到根。
【解析】
1. 根据因式分解法的定义：通过分解因式将方程化为两个一次式乘积为0的形式，再分别令一次式为0降次求解的方法，叫作因式分解法。
2. 解一元二次方程的方法中，配方法、公式法不存在适用条件限制，可用于求解所有一元二次方程。
例题：方程$(x-2)^2 -9x^2=0$左边为$(x-2)^2$与$(3x)^2$的差，属于平方差结构，用因式分解法求解最简便。
利用平方差公式分解左边：
$(x-2+3x)(x-2-3x)=0$
分别令两个一次因式为0：
① $x-2+3x=0$，合并得$4x-2=0$，解得$x=\frac{1}{2}$；
② $x-2-3x=0$，合并得$-2x-2=0$，解得$x=-1$。
因此方程的根为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$。
【答案】
1. 因式分解法
2. 配方法；公式法
例：因式分解；$\frac{1}{2}$；$-1$
【知识点】
因式分解法定义；一元二次方程解法；平方差公式因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，重点要求学生掌握因式分解法的定义、适用场景，以及不同解法的适用范围，熟练识别可因式分解的方程结构能大幅提升解方程的效率。
【难度系数】
0.9
1. 用因式分解法解方程，下列过程正确的是（
A.$x(x+3)=0$ 化为 $x+3=0$
B.$(x-2)(x+1)=1$ 化为 $x-2=0$ 或 $x+1=1$
C.$(2x-3)(x-4)=6$ 化为 $2x-3=2$ 或 $x-4=3$
D.$(7x-2)(4x+5)=0$ 化为 $7x-2=0$ 或 $4x+5=0$
D
）A.$x(x+3)=0$ 化为 $x+3=0$
B.$(x-2)(x+1)=1$ 化为 $x-2=0$ 或 $x+1=1$
C.$(2x-3)(x-4)=6$ 化为 $2x-3=2$ 或 $x-4=3$
D.$(7x-2)(4x+5)=0$ 化为 $7x-2=0$ 或 $4x+5=0$
答案
1. D
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心依据是零乘积性质：若两个实数的乘积为0，则这两个实数中至少有一个为0，即$ab=0 \iff a=0$或$b=0$。注意该性质仅在乘积为0时成立，若等号右边是非零常数，不能直接拆分因式求解。解题时我们只需逐一验证每个选项是否符合该规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$x(x+3)=0$，根据零乘积性质，应化为$x=0$或$x+3=0$，选项漏了$x=0$的情况，错误。
选项B：$(x-2)(x+1)=1$，等号右边为非零常数1，不满足零乘积性质的适用条件，不能直接拆分为$x-2=0$或$x+1=1$，错误。
选项C：$(2x-3)(x-4)=6$，等号右边为非零常数6，不满足零乘积性质的适用条件，不能直接拆分为$2x-3=2$或$x-4=3$，错误。
选项D：$(7x-2)(4x+5)=0$，等号右边为0，符合零乘积性质的适用条件，可化为$7x-2=0$或$4x+5=0$，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解方程 2. 零乘积性质
【点评】
本题考查因式分解法解方程的核心规则，易错点是忽略零乘积性质的适用前提，只有当等号一侧为因式乘积、另一侧为0时，才能直接拆分因式求解。如果乘积对应非零常数，需要先移项整理为右侧为0的形式再计算。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心依据是零乘积性质：若两个实数的乘积为0，则这两个实数中至少有一个为0，即$ab=0 \iff a=0$或$b=0$。注意该性质仅在乘积为0时成立，若等号右边是非零常数，不能直接拆分因式求解。解题时我们只需逐一验证每个选项是否符合该规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$x(x+3)=0$，根据零乘积性质，应化为$x=0$或$x+3=0$，选项漏了$x=0$的情况，错误。
选项B：$(x-2)(x+1)=1$，等号右边为非零常数1，不满足零乘积性质的适用条件，不能直接拆分为$x-2=0$或$x+1=1$，错误。
选项C：$(2x-3)(x-4)=6$，等号右边为非零常数6，不满足零乘积性质的适用条件，不能直接拆分为$2x-3=2$或$x-4=3$，错误。
选项D：$(7x-2)(4x+5)=0$，等号右边为0，符合零乘积性质的适用条件，可化为$7x-2=0$或$4x+5=0$，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解方程 2. 零乘积性质
【点评】
本题考查因式分解法解方程的核心规则，易错点是忽略零乘积性质的适用前提，只有当等号一侧为因式乘积、另一侧为0时，才能直接拆分因式求解。如果乘积对应非零常数，需要先移项整理为右侧为0的形式再计算。
【难度系数】
0.8
2. 如果$x^2 + x + 1 = (x + 1)^0$，那么$x$的值为 （
A.0或－1
B.0
C.－1
D.此方程无实数根
B
）A.0或－1
B.0
C.－1
D.此方程无实数根
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先要明确零指数幂的成立条件：只有当底数不为0时，零次幂的结果才为1，这是本题的隐含限制条件，不能忽略。第一步先根据零指数幂的性质确定x的取值范围，再将原方程转化为一元二次方程求解，最后对求出的解进行检验，舍去不符合零指数幂底数要求的解即可得到正确答案。
【解析】
根据零指数幂的性质：$a^0=1$（$a≠0$），按以下步骤求解：
1. 先确定底数限制条件：$x+1≠0$，即$x≠-1$；
2. 原方程右边的取值为1，因此原方程可化简为：
$\begin{aligned}x^2 + x + 1 &= 1\\x^2 + x &= 0\\x(x+1)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=0$，$x_2=-1$；
3. 结合限制条件$x≠-1$，舍去增根$x=-1$，最终得$x=0$。
【答案】
B
【知识点】
零指数幂的性质；因式分解法解一元二次方程；方程解的检验
【点评】
本题属于易错题，易错点是解题时忽略零指数幂底数不为0的隐含条件，直接求解方程后误选A。解题时遇到含零次幂的方程，一定要先确定底数的取值范围，求出方程的解后要注意检验，排除不符合条件的增根。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确零指数幂的成立条件：只有当底数不为0时，零次幂的结果才为1，这是本题的隐含限制条件，不能忽略。第一步先根据零指数幂的性质确定x的取值范围，再将原方程转化为一元二次方程求解，最后对求出的解进行检验，舍去不符合零指数幂底数要求的解即可得到正确答案。
【解析】
根据零指数幂的性质：$a^0=1$（$a≠0$），按以下步骤求解：
1. 先确定底数限制条件：$x+1≠0$，即$x≠-1$；
2. 原方程右边的取值为1，因此原方程可化简为：
$\begin{aligned}x^2 + x + 1 &= 1\\x^2 + x &= 0\\x(x+1)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=0$，$x_2=-1$；
3. 结合限制条件$x≠-1$，舍去增根$x=-1$，最终得$x=0$。
【答案】
B
【知识点】
零指数幂的性质；因式分解法解一元二次方程；方程解的检验
【点评】
本题属于易错题，易错点是解题时忽略零指数幂底数不为0的隐含条件，直接求解方程后误选A。解题时遇到含零次幂的方程，一定要先确定底数的取值范围，求出方程的解后要注意检验，排除不符合条件的增根。
【难度系数】
0.6
