登录
3. 解方程$(3x+1)^2=3(3x+1)$，最适当的方法是（
A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
B
）A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
答案
3. B
解析
【分析】
要选择解一元二次方程的最适当方法，首先观察方程的结构特征：方程左右两边都含有相同的因式$(3x+1)$，不需要展开整理成一元二次方程的一般形式，只需移项后提取公因式即可快速求解，对比四种解法的适用场景，可判断最优解法。
【解析】
逐一分析各解法的适用性：
1. 直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的方程，本题等号右侧是含未知数的式子$3(3x+1)$，不是常数，用直接开平方法会增加计算步骤，排除A；
2. 对原方程移项可得：$(3x+1)^2 - 3(3x+1)=0$，提取公因式$(3x+1)$后可直接变形为$(3x+1)(3x+1-3)=0$，即$(3x+1)(3x-2)=0$，能快速得到方程的解，步骤简便；
3. 配方法和公式法都需要先将方程展开整理为一般形式$9x^2-3x-2=0$，再进行后续计算，步骤更多，不是最适当的方法，排除C、D。
因此最适当的方法是因式分解法。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程解法选择；因式分解法解一元二次方程；提取公因式
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，解题的核心是先观察方程的结构特征，灵活选择最简便的解法，当方程中存在公共的含未知数的因式时，优先选择因式分解法可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.9
要选择解一元二次方程的最适当方法，首先观察方程的结构特征：方程左右两边都含有相同的因式$(3x+1)$，不需要展开整理成一元二次方程的一般形式，只需移项后提取公因式即可快速求解，对比四种解法的适用场景，可判断最优解法。
【解析】
逐一分析各解法的适用性：
1. 直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的方程，本题等号右侧是含未知数的式子$3(3x+1)$，不是常数，用直接开平方法会增加计算步骤，排除A；
2. 对原方程移项可得：$(3x+1)^2 - 3(3x+1)=0$，提取公因式$(3x+1)$后可直接变形为$(3x+1)(3x+1-3)=0$，即$(3x+1)(3x-2)=0$，能快速得到方程的解，步骤简便；
3. 配方法和公式法都需要先将方程展开整理为一般形式$9x^2-3x-2=0$，再进行后续计算，步骤更多，不是最适当的方法，排除C、D。
因此最适当的方法是因式分解法。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程解法选择；因式分解法解一元二次方程；提取公因式
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，解题的核心是先观察方程的结构特征，灵活选择最简便的解法，当方程中存在公共的含未知数的因式时，优先选择因式分解法可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.9
4. 方程$(x-1)(x+3)=0$的根是（
A.$x_1=1, x_2=3$
B.$x_1=-1, x_2=3$
C.$x_1=1, x_2=-3$
D.$x_1=-1, x_2=-3$
C
）A.$x_1=1, x_2=3$
B.$x_1=-1, x_2=3$
C.$x_1=1, x_2=-3$
D.$x_1=-1, x_2=-3$
答案
4. C
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程，解题核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根，再对应选项判断。
【解析】
根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”的性质，原方程$(x-1)(x+3)=0$可转化为两个一元一次方程：
$x-1=0$ 或 $x+3=0$
分别求解：
解$x-1=0$，得$x_1=1$；
解$x+3=0$，得$x_2=-3$。
因此方程的根为$x_1=1,x_2=-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.零乘积性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础求解方法，熟练掌握因式分解法的原理即可快速得出结果，是考试中常见的送分题。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解法解一元二次方程，解题核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根，再对应选项判断。
【解析】
根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”的性质，原方程$(x-1)(x+3)=0$可转化为两个一元一次方程：
$x-1=0$ 或 $x+3=0$
分别求解：
解$x-1=0$，得$x_1=1$；
解$x+3=0$，得$x_2=-3$。
因此方程的根为$x_1=1,x_2=-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.零乘积性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础求解方法，熟练掌握因式分解法的原理即可快速得出结果，是考试中常见的送分题。
【难度系数】
0.9
5. 方程$(x+4)(x+1)=x+4$的根是（
A.$x=0$
B.$x=-4$
C.$x_1=-4, x_2=-1$
D.$x_1=-4, x_2=0$
D
）A.$x=0$
B.$x=-4$
C.$x_1=-4, x_2=-1$
D.$x_1=-4, x_2=0$
答案
5. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，观察方程可发现左右两边都含有公因式$(x+4)$，注意不能直接两边同时除以$(x+4)$，否则会漏掉$x=-4$这个根。解题时先移项将方程整理为等号右侧为0的形式，再提取公因式，将二次方程转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x+4)(x+1)-(x+4)=0$
提取公因式$(x+4)$，得：
$(x+4)(x+1-1)=0$
化简得：
$x(x+4)=0$
令每个因式分别为0，得：
$x=0$ 或 $x+4=0$
解得：$x_1=-4$，$x_2=0$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时需注意不要直接约去含未知数的公因式，避免出现漏根的问题，熟练掌握因式分解法解方程可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，观察方程可发现左右两边都含有公因式$(x+4)$，注意不能直接两边同时除以$(x+4)$，否则会漏掉$x=-4$这个根。解题时先移项将方程整理为等号右侧为0的形式，再提取公因式，将二次方程转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x+4)(x+1)-(x+4)=0$
提取公因式$(x+4)$，得：
$(x+4)(x+1-1)=0$
化简得：
$x(x+4)=0$
令每个因式分别为0，得：
$x=0$ 或 $x+4=0$
解得：$x_1=-4$，$x_2=0$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时需注意不要直接约去含未知数的公因式，避免出现漏根的问题，熟练掌握因式分解法解方程可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6. 若代数式 $ x + 2 $ 的值与代数式 $ x(x + 2) $ 的值相等，则 $ x $ 的值为
-2或1
。答案
6. -2或1
解析
【分析】
首先根据题目中两个代数式值相等的条件列出对应方程；求解方程时注意不能直接两边同时除以含未知数的整式$(x+2)$，否则会漏掉$x=-2$的根，正确做法是先移项，再通过提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，最终得到$x$的全部解。
【解析】
根据题意列方程：
$x + 2 = x(x + 2)$
移项整理得：
$x(x + 2) - (x + 2) = 0$
提取公因式$(x+2)$得：
$(x + 2)(x - 1) = 0$
所以$x + 2 = 0$或$x - 1 = 0$，
分别解得：$x_1 = -2$，$x_2 = 1$。
【答案】
-2或1
【知识点】
1. 列方程解等量关系问题
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础运算题，核心是根据题意正确建立方程，求解时要注意避免直接除以含未知数的整式造成漏根，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键。
【难度系数】
0.8
首先根据题目中两个代数式值相等的条件列出对应方程；求解方程时注意不能直接两边同时除以含未知数的整式$(x+2)$，否则会漏掉$x=-2$的根，正确做法是先移项，再通过提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，最终得到$x$的全部解。
【解析】
根据题意列方程：
$x + 2 = x(x + 2)$
移项整理得：
$x(x + 2) - (x + 2) = 0$
提取公因式$(x+2)$得：
$(x + 2)(x - 1) = 0$
所以$x + 2 = 0$或$x - 1 = 0$，
分别解得：$x_1 = -2$，$x_2 = 1$。
【答案】
-2或1
【知识点】
1. 列方程解等量关系问题
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础运算题，核心是根据题意正确建立方程，求解时要注意避免直接除以含未知数的整式造成漏根，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键。
【难度系数】
0.8
7. 若$(x^2 + y^2 + 1)(x^2 + y^2 - 1)=0$，求$x^2 + y^2$的值.
答案
7. 1
解析
【分析】
观察已知等式的结构，两个括号中都含有相同的代数式$x^2+y^2$，可先通过换元法简化方程，再结合平方的非负性对求解结果进行取舍。第一步，设$t=x^2+y^2$，根据平方的性质可得$t≥0$；第二步，将原方程转化为关于$t$的方程求解；第三步，结合$t$的取值范围舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
设$ t = x^2 + y^2 $，
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$ x^2 ≥ 0 $，$ y^2 ≥ 0 $，
∴ $ t = x^2 + y^2 ≥ 0 $。
原方程可变形为：
$ (t + 1)(t - 1) = 0 $
根据零乘积性质：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，可得：
$ t + 1 = 0 $ 或 $ t - 1 = 0 $
解得：$ t = -1 $ 或 $ t = 1 $。
∵ $ t ≥ 0 $，故$ t = -1 $不符合要求，舍去，
∴ $ t = x^2 + y^2 = 1 $。
【答案】
1
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 换元法
3. 零乘积性质
【点评】
本题是典型的易错题，解题的关键是挖掘出$x^2+y^2≥0$这一隐含条件，对求解出的结果进行合理取舍，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
观察已知等式的结构，两个括号中都含有相同的代数式$x^2+y^2$，可先通过换元法简化方程，再结合平方的非负性对求解结果进行取舍。第一步，设$t=x^2+y^2$，根据平方的性质可得$t≥0$；第二步，将原方程转化为关于$t$的方程求解；第三步，结合$t$的取值范围舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
设$ t = x^2 + y^2 $，
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$ x^2 ≥ 0 $，$ y^2 ≥ 0 $，
∴ $ t = x^2 + y^2 ≥ 0 $。
原方程可变形为：
$ (t + 1)(t - 1) = 0 $
根据零乘积性质：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，可得：
$ t + 1 = 0 $ 或 $ t - 1 = 0 $
解得：$ t = -1 $ 或 $ t = 1 $。
∵ $ t ≥ 0 $，故$ t = -1 $不符合要求，舍去，
∴ $ t = x^2 + y^2 = 1 $。
【答案】
1
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 换元法
3. 零乘积性质
【点评】
本题是典型的易错题，解题的关键是挖掘出$x^2+y^2≥0$这一隐含条件，对求解出的结果进行合理取舍，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
8. 解下列方程：
(1) $x^2 - 2x = 0$；
(2) $2x^2 + 4x = 6$；
(3) $4(x - 3) = 2x(x - 3)$；
(4) $(x - 2)^2 = (2x + 3)^2$。
(1) $x^2 - 2x = 0$；
(2) $2x^2 + 4x = 6$；
(3) $4(x - 3) = 2x(x - 3)$；
(4) $(x - 2)^2 = (2x + 3)^2$。
答案
8. 解（1）左边分解因式，得 $x(x-2)=0$.
于是 $x=0$，或 $x-2=0$，即 $x_1=0,\ x_2=2$.
（2）移项，得 $2x^2+4x-6=0$.
系数化为1，得 $x^2+2x-3=0$.
左边分解因式，得 $(x-1)(x+3)=0$，
于是 $x-1=0$，或 $x+3=0$，
即 $x_1=1,\ x_2=-3$.
（3）移项，得 $4(x-3)-2x(x-3)=0$.
左边分解因式，得 $(x-3)(4-2x)=0$.
于是 $x-3=0$，或 $4-2x=0$，
即 $x_1=3,\ x_2=2$.
（4）移项，得 $(x-2)^2-(2x+3)^2=0$.
左边分解因式，得 $(x-2+2x+3)(x-2-2x-3)=0$.
合并同类项，得 $(3x+1)(-x-5)=0$.
于是 $3x+1=0$，或 $-x-5=0$，
即 $x_1=-\dfrac{1}{3},\ x_2=-5$.
于是 $x=0$，或 $x-2=0$，即 $x_1=0,\ x_2=2$.
（2）移项，得 $2x^2+4x-6=0$.
系数化为1，得 $x^2+2x-3=0$.
左边分解因式，得 $(x-1)(x+3)=0$，
于是 $x-1=0$，或 $x+3=0$，
即 $x_1=1,\ x_2=-3$.
（3）移项，得 $4(x-3)-2x(x-3)=0$.
左边分解因式，得 $(x-3)(4-2x)=0$.
于是 $x-3=0$，或 $4-2x=0$，
即 $x_1=3,\ x_2=2$.
（4）移项，得 $(x-2)^2-(2x+3)^2=0$.
左边分解因式，得 $(x-2+2x+3)(x-2-2x-3)=0$.
合并同类项，得 $(3x+1)(-x-5)=0$.
于是 $3x+1=0$，或 $-x-5=0$，
即 $x_1=-\dfrac{1}{3},\ x_2=-5$.
解析
【分析】
这四道题均为一元二次方程求解类题目，优先采用因式分解法降低计算难度：1. 先将方程所有项移至等号左侧，使右侧为0；2. 观察左侧式子的结构，选择提公因式法或平方差公式进行因式分解，将式子转化为两个一次因式乘积为0的形式；3. 根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别列一元一次方程求解即可，注意解题过程中不可随意约去含未知数的整式，避免漏根。
【解析】
(1) 左边分解因式，得 $x(x-2)=0$，
于是 $x=0$，或 $x-2=0$，即 $x_1=0,\ x_2=2$。
(2) 移项，得 $2x^2+4x-6=0$，
系数化为1，得 $x^2+2x-3=0$，
左边分解因式，得 $(x-1)(x+3)=0$，
于是 $x-1=0$，或 $x+3=0$，即 $x_1=1,\ x_2=-3$。
(3) 移项，得 $4(x-3)-2x(x-3)=0$，
左边分解因式，得 $(x-3)(4-2x)=0$，
于是 $x-3=0$，或 $4-2x=0$，即 $x_1=3,\ x_2=2$。
(4) 移项，得 $(x-2)^2-(2x+3)^2=0$，
左边分解因式，得 $(x-2+2x+3)(x-2-2x-3)=0$，
合并同类项，得 $(3x+1)(-x-5)=0$，
于是 $3x+1=0$，或 $-x-5=0$，即 $x_1=-\dfrac{1}{3},\ x_2=-5$。
【答案】
(1) $x_1=0,\ x_2=2$；
(2) $x_1=1,\ x_2=-3$；
(3) $x_1=3,\ x_2=2$；
(4) $x_1=-\dfrac{1}{3},\ x_2=-5$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的灵活运用，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握因式分解的常用方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
这四道题均为一元二次方程求解类题目，优先采用因式分解法降低计算难度：1. 先将方程所有项移至等号左侧，使右侧为0；2. 观察左侧式子的结构，选择提公因式法或平方差公式进行因式分解，将式子转化为两个一次因式乘积为0的形式；3. 根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别列一元一次方程求解即可，注意解题过程中不可随意约去含未知数的整式，避免漏根。
【解析】
(1) 左边分解因式，得 $x(x-2)=0$，
于是 $x=0$，或 $x-2=0$，即 $x_1=0,\ x_2=2$。
(2) 移项，得 $2x^2+4x-6=0$，
系数化为1，得 $x^2+2x-3=0$，
左边分解因式，得 $(x-1)(x+3)=0$，
于是 $x-1=0$，或 $x+3=0$，即 $x_1=1,\ x_2=-3$。
(3) 移项，得 $4(x-3)-2x(x-3)=0$，
左边分解因式，得 $(x-3)(4-2x)=0$，
于是 $x-3=0$，或 $4-2x=0$，即 $x_1=3,\ x_2=2$。
(4) 移项，得 $(x-2)^2-(2x+3)^2=0$，
左边分解因式，得 $(x-2+2x+3)(x-2-2x-3)=0$，
合并同类项，得 $(3x+1)(-x-5)=0$，
于是 $3x+1=0$，或 $-x-5=0$，即 $x_1=-\dfrac{1}{3},\ x_2=-5$。
【答案】
(1) $x_1=0,\ x_2=2$；
(2) $x_1=1,\ x_2=-3$；
(3) $x_1=3,\ x_2=2$；
(4) $x_1=-\dfrac{1}{3},\ x_2=-5$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的灵活运用，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握因式分解的常用方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
