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1.(教材P59复习题T6变式)如图,已知AC⊥BD,垂足为O,AO=CO,AB=CD,则判定△AOB≌△COD的依据是 (
A.HL
B.SAS
C.ASA
D.SSS
(第1题图)
(第2题图)
A
)A.HL
B.SAS
C.ASA
D.SSS
(第1题图)
(第2题图)
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先观察图形，由AC⊥BD可先确定△AOB和△COD都是直角三角形；再梳理已知条件：已知一组斜边AB=CD，一组直角边AO=CO，对应直角三角形全等的判定方法，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL判定，即可得出答案。
【解析】
∵AC⊥BD，垂足为O，
∴∠AOB=∠COD=90°，即△AOB和△COD均为直角三角形。
在Rt△AOB和Rt△COD中：
$\{\begin{array}{l}AO=CO（已知）\\ AB=CD（已知）\end{array} $
∴Rt△AOB≌Rt△COD（HL），因此选A。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理，垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题的关键是先根据垂直关系确定三角形为直角三角形，再结合已知的边相等条件，匹配对应的全等判定依据，要注意HL是仅适用于直角三角形的全等判定方法。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形，由AC⊥BD可先确定△AOB和△COD都是直角三角形；再梳理已知条件：已知一组斜边AB=CD，一组直角边AO=CO，对应直角三角形全等的判定方法，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL判定，即可得出答案。
【解析】
∵AC⊥BD，垂足为O，
∴∠AOB=∠COD=90°，即△AOB和△COD均为直角三角形。
在Rt△AOB和Rt△COD中：
$\{\begin{array}{l}AO=CO（已知）\\ AB=CD（已知）\end{array} $
∴Rt△AOB≌Rt△COD（HL），因此选A。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理，垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题的关键是先根据垂直关系确定三角形为直角三角形，再结合已知的边相等条件，匹配对应的全等判定依据，要注意HL是仅适用于直角三角形的全等判定方法。
【难度系数】
0.9
2. 如图，已知$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，点$B,B',C,C'$在同一条直线上.若$BC'=11,B'C=5$,则$BB'$的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。首先由△ABC≌△A'B'C'可得对应边BC=B'C'，再通过线段的和差关系推导得出BB'=CC'，最后结合已知BC'和B'C的长度，代入线段和的关系式即可求出BB'的长度。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △A'B'C'，
∴BC = B'C'（全等三角形对应边相等），
又
∵BC = BB' + B'C，B'C' = B'C + CC'，
∴BB' + B'C = B'C + CC'，化简得BB' = CC'，
已知点B,B',C,C'在同一直线上，因此BC' = BB' + B'C + CC'，
将CC'替换为BB'，代入得：BC' = 2BB' + B'C，
把BC'=11，B'C=5代入上式：
11 = 2BB' + 5，
解得：BB' = 3。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，解题关键是准确找到全等三角形的对应边，结合线段的和差关系建立等式求解，这类题型是全等三角形章节的常见基础考点，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。首先由△ABC≌△A'B'C'可得对应边BC=B'C'，再通过线段的和差关系推导得出BB'=CC'，最后结合已知BC'和B'C的长度，代入线段和的关系式即可求出BB'的长度。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △A'B'C'，
∴BC = B'C'（全等三角形对应边相等），
又
∵BC = BB' + B'C，B'C' = B'C + CC'，
∴BB' + B'C = B'C + CC'，化简得BB' = CC'，
已知点B,B',C,C'在同一直线上，因此BC' = BB' + B'C + CC'，
将CC'替换为BB'，代入得：BC' = 2BB' + B'C，
把BC'=11，B'C=5代入上式：
11 = 2BB' + 5，
解得：BB' = 3。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，解题关键是准确找到全等三角形的对应边，结合线段的和差关系建立等式求解，这类题型是全等三角形章节的常见基础考点，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
3.如图，BD是$△ ABD$和$△ CBD$的公共边，下列条件不能判定$△ ABD ≌ △ CBD$的是（
A.$AB=CB$，$∠ ABD=∠ CBD$
B.$AB=CB$，$∠ ADB=∠ CDB$
C.$AB=CB$，$AD=CD$
D.$∠ ABD=∠ CBD$，$∠ ADB=∠ CDB$
（第3题图）
（第4题图）
B
）A.$AB=CB$，$∠ ABD=∠ CBD$
B.$AB=CB$，$∠ ADB=∠ CDB$
C.$AB=CB$，$AD=CD$
D.$∠ ABD=∠ CBD$，$∠ ADB=∠ CDB$
（第3题图）
（第4题图）
答案
3. B
解析
【分析】
要判断哪个条件不能判定△ABD≌△CBD，首先要明确全等三角形的常用判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，且本题中BD是两个三角形的公共边，可得隐含相等条件BD=BD。我们只需将每个选项的已知条件与BD=BD结合，对照判定定理逐一验证即可。
【解析】
已知BD是△ABD和△CBD的公共边，因此BD=BD。
选项A：已知AB=CB，∠ABD=∠CBD，结合BD=BD，满足“两边及其夹角对应相等（SAS）”，可判定△ABD≌△CBD，不符合题意。
选项B：已知AB=CB，∠ADB=∠CDB，结合BD=BD，此时为“两边及其中一边的对角对应相等（SSA）”，SSA无法判定普通三角形全等，因此不能判定△ABD≌△CBD，符合题意。
选项C：已知AB=CB，AD=CD，结合BD=BD，满足“三边对应相等（SSS）”，可判定△ABD≌△CBD，不符合题意。
选项D：已知∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，结合BD=BD，满足“两角及其夹边对应相等（ASA）”，可判定△ABD≌△CBD，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定、公共边的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用类题目，解题关键是先挖掘出题目中的隐含相等条件（如公共边、公共角、对顶角等），再结合判定定理判断，需要特别注意SSA不能作为普通三角形全等的判定依据。
【难度系数】
0.8
要判断哪个条件不能判定△ABD≌△CBD，首先要明确全等三角形的常用判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，且本题中BD是两个三角形的公共边，可得隐含相等条件BD=BD。我们只需将每个选项的已知条件与BD=BD结合，对照判定定理逐一验证即可。
【解析】
已知BD是△ABD和△CBD的公共边，因此BD=BD。
选项A：已知AB=CB，∠ABD=∠CBD，结合BD=BD，满足“两边及其夹角对应相等（SAS）”，可判定△ABD≌△CBD，不符合题意。
选项B：已知AB=CB，∠ADB=∠CDB，结合BD=BD，此时为“两边及其中一边的对角对应相等（SSA）”，SSA无法判定普通三角形全等，因此不能判定△ABD≌△CBD，符合题意。
选项C：已知AB=CB，AD=CD，结合BD=BD，满足“三边对应相等（SSS）”，可判定△ABD≌△CBD，不符合题意。
选项D：已知∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，结合BD=BD，满足“两角及其夹边对应相等（ASA）”，可判定△ABD≌△CBD，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定、公共边的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用类题目，解题关键是先挖掘出题目中的隐含相等条件（如公共边、公共角、对顶角等），再结合判定定理判断，需要特别注意SSA不能作为普通三角形全等的判定依据。
【难度系数】
0.8
4.如图，OD平分$∠ AOB$，$DE ⊥ OA$于点E，$DE=4.2$，F是射线OB上的任意一点，则DF的长不可能是（
A.3.9
B.4.2
C.4.7
D.5.84
A
）A.3.9
B.4.2
C.4.7
D.5.84
答案
4. A
解析
【分析】
解题核心要用到两个基础几何性质：①角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；②垂线段最短的性质。首先根据已知条件OD平分∠AOB、DE⊥OA，可推出点D到OB边的最短距离等于DE的长度；再结合垂线段最短可知，连接D与OB上任意点F的线段DF，长度一定大于等于点D到OB的最短距离，由此即可判断不可能的取值。
【解析】
过点D作DG⊥OB于点G。
1. 由角平分线性质推导点D到OB的距离：
∵OD平分∠AOB，DE⊥OA，DG⊥OB，
∴DG=DE=4.2，即点D到射线OB的最短距离为4.2。
2. 结合垂线段最短判断DF的取值范围：
∵F是射线OB上任意一点，根据垂线段最短，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴DF≥DG=4.2，即DF的长度不可能小于4.2。
3. 结合选项判断：
选项中只有3.9＜4.2，不符合DF的取值范围，因此DF的长不可能是3.9。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题是几何性质的基础应用类题目，解题的关键是先通过角平分线的性质求出点到边的最短距离，再结合垂线段最短确定线段的取值范围，只要熟练掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题核心要用到两个基础几何性质：①角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；②垂线段最短的性质。首先根据已知条件OD平分∠AOB、DE⊥OA，可推出点D到OB边的最短距离等于DE的长度；再结合垂线段最短可知，连接D与OB上任意点F的线段DF，长度一定大于等于点D到OB的最短距离，由此即可判断不可能的取值。
【解析】
过点D作DG⊥OB于点G。
1. 由角平分线性质推导点D到OB的距离：
∵OD平分∠AOB，DE⊥OA，DG⊥OB，
∴DG=DE=4.2，即点D到射线OB的最短距离为4.2。
2. 结合垂线段最短判断DF的取值范围：
∵F是射线OB上任意一点，根据垂线段最短，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴DF≥DG=4.2，即DF的长度不可能小于4.2。
3. 结合选项判断：
选项中只有3.9＜4.2，不符合DF的取值范围，因此DF的长不可能是3.9。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题是几何性质的基础应用类题目，解题的关键是先通过角平分线的性质求出点到边的最短距离，再结合垂线段最短确定线段的取值范围，只要熟练掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5.（天津中考）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=40°$，以点$A$为圆心，适当长为半径画弧，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，再分别以点$E,F$为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在$∠ BAC$的内部相交于点$P$，画射线$AP$，与$BC$相交于点$D$，则$∠ ADC$的度数为 （
A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
（第5题图）
（第6题图）
B
）A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
（第5题图）（第6题图）
答案
5. B
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，判断出所作射线AP是∠BAC的角平分线；接下来利用直角三角形两锐角互余的性质，先求出∠BAC的度数；再根据角平分线的定义得到∠CAD的度数；最后在△ADC中，再次利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠ADC的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=40°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ BAC=90°-∠ B=90°-40°=50°$
由作图步骤可知，$AD$是$∠ BAC$的角平分线，因此：
$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ C=90°$，同理可得：
$∠ ADC=90°-∠ CAD=90°-25°=65°$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题是基础类考题，将尺规作图识别与三角形角度计算结合考查，解题的关键是先判断出所作射线为角平分线，再结合直角三角形的性质逐步计算角度，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先根据题中的尺规作图步骤，判断出所作射线AP是∠BAC的角平分线；接下来利用直角三角形两锐角互余的性质，先求出∠BAC的度数；再根据角平分线的定义得到∠CAD的度数；最后在△ADC中，再次利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠ADC的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=40°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ BAC=90°-∠ B=90°-40°=50°$
由作图步骤可知，$AD$是$∠ BAC$的角平分线，因此：
$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ C=90°$，同理可得：
$∠ ADC=90°-∠ CAD=90°-25°=65°$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题是基础类考题，将尺规作图识别与三角形角度计算结合考查，解题的关键是先判断出所作射线为角平分线，再结合直角三角形的性质逐步计算角度，难度较低。
【难度系数】
0.8
6.(教材P53习题T6变式)如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，连接AB.下列结论不成立的是 (
A.$PA=PB$
B.$PO$平分$∠APB$
C.$OA=OB$
D.$AB$不垂直于$OP$
D
)A.$PA=PB$
B.$PO$平分$∠APB$
C.$OA=OB$
D.$AB$不垂直于$OP$
答案
6. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：OP是∠AOB的角平分线，且PA、PB分别垂直角的两边OA、OB。首先回忆角平分线的性质可直接判断PA和PB的关系；再通过证明△OAP和△OBP全等，推导对应角、对应边的关系，判断B、C选项是否成立；最后结合等腰三角形的三线合一性质，判断AB与OP的位置关系，即可找出不成立的结论。
【解析】
解：
1. 判定A选项：
∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PA=PB$，故A选项结论成立，不符合题意。
2. 证明三角形全等：在$Rt△ OAP$和$Rt△ OBP$中，$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PA=PB\end{array} $，
∴$Rt△ OAP≌Rt△ OBP$（HL）。
3. 判定B、C选项：由全等三角形的性质可得$∠ APO=∠ BPO$，$OA=OB$，即PO平分$∠ APB$，故B、C选项结论均成立，不符合题意。
4. 判定D选项：
∵$OA=OB$，OP平分$∠ AOB$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OP垂直平分AB，故“AB不垂直于OP”的结论不成立，D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何题，围绕角、三角形的核心性质展开考查，解题的关键是熟练掌握角平分线性质和全等三角形的判定方法，逐步推导各结论的正确性。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：OP是∠AOB的角平分线，且PA、PB分别垂直角的两边OA、OB。首先回忆角平分线的性质可直接判断PA和PB的关系；再通过证明△OAP和△OBP全等，推导对应角、对应边的关系，判断B、C选项是否成立；最后结合等腰三角形的三线合一性质，判断AB与OP的位置关系，即可找出不成立的结论。
【解析】
解：
1. 判定A选项：
∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PA=PB$，故A选项结论成立，不符合题意。
2. 证明三角形全等：在$Rt△ OAP$和$Rt△ OBP$中，$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PA=PB\end{array} $，
∴$Rt△ OAP≌Rt△ OBP$（HL）。
3. 判定B、C选项：由全等三角形的性质可得$∠ APO=∠ BPO$，$OA=OB$，即PO平分$∠ APB$，故B、C选项结论均成立，不符合题意。
4. 判定D选项：
∵$OA=OB$，OP平分$∠ AOB$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OP垂直平分AB，故“AB不垂直于OP”的结论不成立，D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何题，围绕角、三角形的核心性质展开考查，解题的关键是熟练掌握角平分线性质和全等三角形的判定方法，逐步推导各结论的正确性。
【难度系数】
0.8
7.如图,已知∠DCE=∠DAC=90°,BE⊥AC于点B,且DC=EC.若BE=7,AB=3,则AD的长为
4
.答案
7. 4
解析
【分析】
解题时先根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得出∠ACD=∠E，再结合已知的∠DAC=∠CBE=90°、DC=EC，可证明△ACD和△BEC全等，再利用全等三角形对应边相等的性质得到AC=BE、AD=BC，最后结合已知线段长度计算AD的长度即可。
【解析】
∵∠DCE=90°，
∴∠ACD + ∠BCE = 90°，
∵BE⊥AC，即∠CBE=90°，
∴在Rt△BEC中，∠E + ∠BCE = 90°，
∴∠ACD = ∠E（同角的余角相等）。
在△ACD和△BEC中：
$\{\begin{array}{l}∠DAC=∠CBE=90° \\∠ACD=∠E \\DC=EC\end{array} $
∴△ACD≌△BEC（AAS），
根据全等三角形的性质可得：$AC=BE$，$AD=BC$，
已知$BE=7$，则$AC=7$，
又
∵$AB=3$，
∴$BC=AC-AB=7-3=4$，
∴$AD=BC=4$。
【答案】
4
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题型，解题核心是通过角的互余关系推导相等的角，进而构造全等三角形，将未知线段转化为可计算的线段求解。
【难度系数】
0.7
解题时先根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得出∠ACD=∠E，再结合已知的∠DAC=∠CBE=90°、DC=EC，可证明△ACD和△BEC全等，再利用全等三角形对应边相等的性质得到AC=BE、AD=BC，最后结合已知线段长度计算AD的长度即可。
【解析】
∵∠DCE=90°，
∴∠ACD + ∠BCE = 90°，
∵BE⊥AC，即∠CBE=90°，
∴在Rt△BEC中，∠E + ∠BCE = 90°，
∴∠ACD = ∠E（同角的余角相等）。
在△ACD和△BEC中：
$\{\begin{array}{l}∠DAC=∠CBE=90° \\∠ACD=∠E \\DC=EC\end{array} $
∴△ACD≌△BEC（AAS），
根据全等三角形的性质可得：$AC=BE$，$AD=BC$，
已知$BE=7$，则$AC=7$，
又
∵$AB=3$，
∴$BC=AC-AB=7-3=4$，
∴$AD=BC=4$。
【答案】
4
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题型，解题核心是通过角的互余关系推导相等的角，进而构造全等三角形，将未知线段转化为可计算的线段求解。
【难度系数】
0.7
8.如图,要测量水池两端A,B间的距离,可从点A出发在地面上画一条线段AC,使$AC⊥AB$,再从点C观测,在BA的延长线上测得一点D,使$∠ACD=∠ACB$,这时量得$AD=110$ m,则水池两端A,B间的距离是
110
m.答案
8. 110
解析
【分析】
要计算水池两端A、B的距离，可通过证明AB与已知长度的AD相等求解。首先梳理已知条件：AC垂直于AB，可得∠CAB和∠CAD都是直角；又已知∠ACD=∠ACB，且AC是两个三角形的公共边，刚好符合角边角（ASA）的全等判定条件，可证明△ABC和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等就能得到AB=AD，进而求出AB的长度。
【解析】
∵ $AC⊥AB$，
∴ $∠CAB=∠CAD=90°$，
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}∠CAB=∠CAD \\AC=AC \\∠ACB=∠ACD\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ ADC$（ASA），
∴ $AB=AD$，
∵ $AD=110\ \mathrm{m}$，
∴ $AB=110\ \mathrm{m}$。
【答案】
110
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形对应边相等
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的基础应用，通过构造全等三角形将不可直接测量的线段长度转化为可测量的线段长度，解题核心是准确找到三角形全等的判定条件。
【难度系数】
0.8
要计算水池两端A、B的距离，可通过证明AB与已知长度的AD相等求解。首先梳理已知条件：AC垂直于AB，可得∠CAB和∠CAD都是直角；又已知∠ACD=∠ACB，且AC是两个三角形的公共边，刚好符合角边角（ASA）的全等判定条件，可证明△ABC和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等就能得到AB=AD，进而求出AB的长度。
【解析】
∵ $AC⊥AB$，
∴ $∠CAB=∠CAD=90°$，
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}∠CAB=∠CAD \\AC=AC \\∠ACB=∠ACD\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ ADC$（ASA），
∴ $AB=AD$，
∵ $AD=110\ \mathrm{m}$，
∴ $AB=110\ \mathrm{m}$。
【答案】
110
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形对应边相等
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的基础应用，通过构造全等三角形将不可直接测量的线段长度转化为可测量的线段长度，解题核心是准确找到三角形全等的判定条件。
【难度系数】
0.8
