3.(教材P53习题T8变式)如图，$∠ D=∠ E=90°$，$AC$，$BC$分别平分$∠ BAD$，$∠ ABE$，点$C$在线段$DE$上.求证:$AB=AD+BE$.

3. 证明:过点C作CF⊥AB于点F(图略),则∠AFC=90°.
∵∠D=90°,
∴CD⊥AD.
∵AC平分∠BAD,
∴CD=CF.在Rt△ADC和Rt△AFC中, $\begin{cases} AC=AC, \\ CD=CF, \end{cases}$
∴Rt△ADC≌Rt△AFC(HL).
∴AD=AF.同理,得BF=BE.
∴AB=AF+BF=AD+BE.

【分析】
要证明AB=AD+BE，属于线段和差类证明题，常用截长补短的思路求解。本题中已知AC、BC分别是∠BAD、∠ABE的角平分线，且∠D、∠E均为直角，可结合角平分线“点到角两边的距离相等”的性质，过点C作CF⊥AB于F，将AB拆分为AF和BF两段，再分别证明AF与AD相等、BF与BE相等，即可得到结论。
【解析】
证明：过点C作CF⊥AB于点F，则∠AFC=90°。
∵∠D=90°，
∴CD⊥AD。
∵AC平分∠BAD，
∴CD=CF。
在Rt△ADC和Rt△AFC中，
$\begin{cases} AC=AC \\ CD=CF \end{cases}$
∴Rt△ADC≌Rt△AFC(HL)，
∴AD=AF。
同理可得BF=BE。
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BE。
【答案】
证明：过点C作CF⊥AB于点F，则∠AFC=90°。
∵∠D=90°，
∴CD⊥AD。
∵AC平分∠BAD，
∴CD=CF。
在Rt△ADC和Rt△AFC中，
$\begin{cases} AC=AC \\ CD=CF \end{cases}$
∴Rt△ADC≌Rt△AFC(HL)。
∴AD=AF。同理，得BF=BE。
∴AB=AF+BF=AD+BE。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；截长补短法
【点评】
本题是线段和差证明的典型题，通过作辅助线构造全等三角形，将待证的分散线段转化到同一条线段上，体现了转化的数学思想，熟练掌握角平分线性质和全等三角形的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7

【变式题·一题多解】如图，$AD// BC$，点E在线段AB上，$∠ ADE=∠ CDE$，$∠ DCE=∠ BCE$.求证：$CD=AD+BC$.
证法一(截长法):在CD上取点F,使$FC=BC$,连接EF.(请将证明过程补充完整)

证法二(补短法):延长DA到点M,使$MD=CD$,连接EM.(请将证明过程补充完整)

证法一:在△BCE和△FCE中, $\begin{cases} BC=FC, \\ ∠BCE=∠FCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴△BCE≌△FCE(SAS).
∴∠B=∠CFE.
∵AD//BC,
∴∠A+∠B=180°.
∵∠CFE+∠DFE=180°,
∴∠A=∠DFE. 在△ADE和△FDE中, $\begin{cases} ∠A=∠DFE, \\ ∠ADE=∠FDE, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴△ADE≌△FDE(AAS).
∴AD=FD.
∴CD=FD+FC=AD+BC.
证法二:在△DME和△DCE中, $\begin{cases} MD=CD, \\ ∠MDE=∠CDE, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴△DME≌△DCE(SAS).
∴ME=CE,∠M=∠DCE.
∵∠DCE=∠BCE,
∴∠M=∠BCE.
∵AD// BC,
∴∠MAE=∠B. 在△AME和△BCE中, $\begin{cases} ∠M=∠BCE, \\ ∠MAE=∠B, \\ ME=CE, \end{cases}$
∴△AME≌△BCE(AAS).
∴AM=BC.
∴CD=MD=AD+AM=AD+BC.

【分析】
要证明$CD=AD+BC$这类一条线段等于两条线段之和的结论，通常采用截长补短法构造全等三角形实现线段的等量转化：
1. 截长法思路：在长线段$CD$上截取$FC=BC$，先证$△ BCE$和$△ FCE$全等得到对应角相等，再结合平行线同旁内角互补的性质推导得到$∠ A=∠ DFE$，进而证$△ ADE$和$△ FDE$全等得到$AD=FD$，即可通过$CD=FD+FC$推出结论。
2. 补短法思路：延长$DA$至$M$使$MD=CD$，先证$△ DME$和$△ DCE$全等得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质推导角的等量关系，证$△ AME$和$△ BCE$全等得到$AM=BC$，即可通过$CD=MD=AD+AM$推出结论。
【解析】
证法一（截长法）：
在$△ BCE$和$△ FCE$中,
$\begin{cases} BC=FC, \\ ∠ BCE=∠ FCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
$\therefore△ BCE≌△ FCE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore∠ B=∠ CFE$.
$\because AD// BC$,
$\therefore∠ A+∠ B=180°$.
$\because∠ CFE+∠ DFE=180°$,
$\therefore∠ A=∠ DFE$.
在$△ ADE$和$△ FDE$中,
$\begin{cases} ∠ A=∠ DFE, \\ ∠ ADE=∠ FDE, \\ DE=DE, \end{cases}$
$\therefore△ ADE≌△ FDE(\mathrm{AAS})$.
$\therefore AD=FD$.
$\therefore CD=FD+FC=AD+BC$.
证法二（补短法）：
在$△ DME$和$△ DCE$中,
$\begin{cases} MD=CD, \\ ∠ MDE=∠ CDE, \\ DE=DE, \end{cases}$
$\therefore△ DME≌△ DCE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ME=CE,∠ M=∠ DCE$.
$\because∠ DCE=∠ BCE$,
$\therefore∠ M=∠ BCE$.
$\because AD// BC$,
$\therefore∠ MAE=∠ B$.
在$△ AME$和$△ BCE$中,
$\begin{cases} ∠ M=∠ BCE, \\ ∠ MAE=∠ B, \\ ME=CE, \end{cases}$
$\therefore△ AME≌△ BCE(\mathrm{AAS})$.
$\therefore AM=BC$.
$\therefore CD=MD=AD+AM=AD+BC$.
【答案】
通过上述两种证法均可证明$\boldsymbol{CD=AD+BC}$，完整证明过程见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，截长补短法
【点评】
本题是线段和差类证明的典型题型，核心考察截长补短辅助线的构造思路，通过构造全等三角形将分散的待证线段转化到同一条线段上完成等量代换，熟练掌握全等三角形判定定理和平行线性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6

4. 如图，在$△ ABC$中，BD平分$∠ ABC$，E是BD上一点，$EA⊥ AB$于点A，且$EB=EC$。求证：$BC=2AB$。

4. 证明:过点E作EF⊥BC于点F(图略),则∠BFE=∠CFE=90°.
∵BD平分∠ABC,EA⊥AB,
∴EA=EF,∠BAE=∠BFE=90°. 在Rt△ABE和Rt△FBE中, $\begin{cases} BE=BE, \\ EA=EF, \end{cases}$
∴Rt△ABE≌Rt△FBE(HL).
∴AB=FB. 在Rt△BEF和Rt△CEF中, $\begin{cases} EB=EC, \\ EF=EF, \end{cases}$
∴Rt△BEF≌Rt△CEF(HL).
∴FB=FC.
∴BC=2FB.
∴BC=2AB.

【分析】
要证明$BC=2AB$，可将BC拆分为两段相等的线段，证明每段均等于AB即可。首先由BD是$∠ ABC$的角平分线，且$EA⊥ AB$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此考虑过点E作$EF⊥ BC$于F，可得$EA=EF$，可先证$Rt△ ABE≌ Rt△ FBE$，得到$AB=FB$；再结合$EB=EC$的条件，可证$Rt△ BEF≌ Rt△ CEF$，得到$FB=FC$，即可推出$BC=2FB=2AB$，完成证明。
【解析】
证明:过点E作$EF⊥ BC$于点F，则$∠ BFE=∠ CFE=90°$.
∵BD平分$∠ ABC$，$EA⊥ AB$，
∴$EA=EF$，$∠ BAE=∠ BFE=90°$.
在$Rt△ ABE$和$Rt△ FBE$中,
$\begin{cases} BE=BE, \\ EA=EF, \end{cases}$
∴$Rt△ ABE≌ Rt△ FBE(\mathrm{HL})$.
∴$AB=FB$.
在$Rt△ BEF$和$Rt△ CEF$中,
$\begin{cases} EB=EC, \\ EF=EF, \end{cases}$
∴$Rt△ BEF≌ Rt△ CEF(\mathrm{HL})$.
∴$FB=FC$.
∴$BC=2FB$.
∴$BC=2AB$.
【答案】
$BC=2AB$
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的常见题型，解题的关键是结合角平分线的性质构造辅助线，再通过全等三角形的判定和性质推导边的数量关系，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6