目标整合1 会利用“倍长中线法”构造全等三角形
引例:【重视解题思路的培养】如图,AD是△ABC的中线.求证:AB+AC＞2AD.
请将证明过程补充完整:
证明:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
在△ADC和△EDB中, $\{\begin{array}{l} AD=ED, \\ \_\_\_\_\_\_, \\ CD=BD, \end{array} $
∴△ADC≌△EDB( ).
∴ ______ (全等三角形的对应边相等).
∵AB+BE ＞AE( ),
即AB+AC＞AD+DE,
∴AB+AC＞2AD.
提炼通性通法:利用“倍长中线法”构造全等三角形的常用方法:
在△ABC中,AD是边BC的中线.
直接倍长法:如图①,延长AD到点P,使DP=AD,连接BP,易证△ACD≌△______.
间接倍长法:如图②,过点C作CF⊥AD于点F,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,易证△CDF≌△______;如图③,在AB上取一点M,连接MD,延长MD到点N,使DN=MD,连接CN,易证△BDM≌△______.

引例: ∠ADC=∠EDB SAS AC=BE 三角形两边之和大于第三边 PBD BDE CDN

【分析】
要证明AB+AC＞2AD，首先考虑将2AD转化为一条完整的线段，因此采用倍长中线的思路，延长AD至E使DE=AD，此时AE=2AD。接下来需要将AC转化为与AB、AE在同一三角形中的线段，利用AD是中线可得BD=CD，结合对顶角相等即可用SAS证明△ADC与△EDB全等，得到AC=BE，此时AB、BE、AE为△ABE的三边，根据三角形三边关系即可推导得出结论。后续通法部分均是利用中线带来的边相等，结合对顶角构造全等三角形，实现线段的等量转化。
【解析】
引例证明过程填空：
在△ADC和△EDB中，已知AD=ED，CD=BD，两组边的夹角为对顶角，故填$∠ADC=∠EDB$，满足两边及其夹角对应相等，判定依据为$SAS$；
全等三角形对应边相等，AC与BE是对应边，故填$AC=BE$；
AB+BE＞AE的依据是三角形两边之和大于第三边。
提炼通法填空：
直接倍长法中，AD=DP，∠ADC=∠PDB，CD=BD，易证△ACD≌$\boldsymbol{△PBD}$；
间接倍长法中，CF⊥AD，BE⊥AD，∠CFD=∠BED=90°，∠CDF=∠BDE，CD=BD，易证△CDF≌$\boldsymbol{△BDE}$；
延长MD到N使DN=MD时，∠BDM=∠CDN，BD=CD，MD=ND，易证△BDM≌$\boldsymbol{△CDN}$。
【答案】
∠ADC=∠EDB；SAS；AC=BE；三角形两边之和大于第三边；PBD；BDE；CDN
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形全等应用的典型基础题，核心考查倍长中线构造全等的辅助线作法，通过构造全等将分散的线段转化到同一三角形中，结合三边关系解决线段和的不等问题，有助于掌握几何中“转化线段”的解题思路。
【难度系数】
0.8

1.如图,在$△ ABC$中,D为AC的中点,连接BD.若$AB=10$,$BC=6$,求BD长的取值范围.

1. 解:延长BD至点E,使ED=BD,连接CE(图略).
∵D为AC的中点,
∴AD=DC.在△ABD和△CED中
$\begin{cases} BD=ED, \\ ∠ADB=∠CDE, \\ AD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CED(SAS).
∴CE=AB=10.在△BCE中,CE-BC＜BE＜CE+BC,即10-6＜BE＜10+6.
∴4＜BE＜16.
∴4＜2BD＜16.
∴2＜BD＜8.

【分析】
要求BD的取值范围，已知AB和BC的长度，但三条线段不在同一个三角形中，无法直接用三角形三边关系求解。已知D是AC的中点，遇到中线相关的边长问题，可采用倍长中线法构造全等三角形，将AB转化为与BC、BE（BE=2BD）共三角形的边，再借助三角形三边关系求出BE的范围，最后推导得到BD的取值范围。
【解析】
解：延长BD至点E，使ED=BD，连接CE。
∵D为AC的中点，
∴AD=DC。
在△ABD和△CED中：
$\begin{cases} BD=ED, \\ ∠ADB=∠CDE, \\ AD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE=AB=10。
在△BCE中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得$CE-BC＜BE＜CE+BC$，
代入数值得$10-6＜BE＜10+6$，即$4＜BE＜16$。
又
∵$BE=BD+ED=2BD$，
∴$4＜2BD＜16$，
解得$2＜BD＜8$。
【答案】
$2＜BD＜8$
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是中线相关边长求解的典型题型，解题关键是掌握倍长中线的辅助线构造方法，通过全等三角形将分散的已知边转化到同一个三角形中，再结合三角形三边关系即可求出未知线段的取值范围。
【难度系数】
0.6

2.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,连接CE,ED,且CE⊥DE.求证:CD=AD+BC.

2. 证明:延长CE,交DA的延长线于点G(图略).
∵AD//BC,
∴∠EGA=∠ECB.
∵E是AB的中点,
∴AE=BE.在△AEG和△BEC中, $\begin{cases} ∠EGA=∠ECB, \\ ∠AEG=∠BEC, \\ AE=BE, \end{cases}$
∴△AEG≌△BEC(AAS).
∴AG=BC,EC=EG.
∵CE⊥DE,
∴∠DEG=∠DEC=90°.在△GDE和△CDE中, $\begin{cases} DE=DE, \\ ∠DEG=∠DEC, \\ EG=EC, \end{cases}$
∴△GDE≌△CDE(SAS).
∴CD=GD.
∵GD=AD+AG=AD+BC,
∴CD=AD+BC.

【分析】
要证明CD=AD+BC，属于线段和类证明问题，通常采用“补短”的思路，将两条短线段拼接为一条长线段，再证明其与待证长线段相等。结合已知条件：AD//BC可得内错角相等，E是AB中点即AE=BE，因此可通过延长CE交DA的延长线于点G，构造对顶三角形，先证明△AEG≌△BEC，将BC转移为AG，此时AD+BC可转化为AD+AG=GD；再结合CE⊥DE的条件，证明△GDE≌△CDE，得到CD=GD，最后通过等量代换即可得出结论。
【解析】
证明:延长CE,交DA的延长线于点G。
∵AD//BC,
∴∠EGA=∠ECB。
∵E是AB的中点,
∴AE=BE。
在△AEG和△BEC中,
$\begin{cases} ∠EGA=∠ECB, \\ ∠AEG=∠BEC, \\ AE=BE, \end{cases}$
∴△AEG≌△BEC(AAS)。
∴AG=BC,EC=EG。
∵CE⊥DE,
∴∠DEG=∠DEC=90°。
在△GDE和△CDE中,
$\begin{cases} DE=DE, \\ ∠DEG=∠DEC, \\ EG=EC, \end{cases}$
∴△GDE≌△CDE(SAS)。
∴CD=GD。
∵GD=AD+AG=AD+BC,
∴CD=AD+BC。
【答案】
CD=AD+BC成立
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；线段和差证明
【点评】
本题是几何中线段和差证明的典型题型，解题关键是结合中点、平行的条件构造全等三角形实现线段的转移，再利用垂直的条件证明第二组全等完成等量代换，熟练掌握全等三角形的判定和辅助线的构造方法可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.6