9.(9分)(教材P59复习题T7变式)如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别为E,F,$∠ BDE = ∠ CDF$.求证:AD平分$∠ BAC$.

9. 证明: $\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°. \because D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BD=CD$. 在 $△ BDE$ 和 $△ CDF$ 中, $\begin{cases} ∠ BED=∠ CFD, \\ ∠ BDE=∠ CDF, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS}). \therefore DE=DF. \because DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$.

【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC的距离相等，即DE=DF。观察已知条件：D是BC中点可得BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC可得两个直角相等，再加上题目给出的∠BDE=∠CDF，可通过AAS证明△BDE≌△CDF，由全等三角形对应边相等即可得到DE=DF，进而得证AD平分∠BAC。
【解析】
证明: $\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$.
$\because D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BD=CD$.
在 $△ BDE$ 和 $△ CDF$ 中, $\begin{cases} ∠ BED=∠ CFD, \\ ∠ BDE=∠ CDF, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$.
$\therefore DE=DF$.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$.
【答案】
证明: $\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$.
$\because D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BD=CD$.
在 $△ BDE$ 和 $△ CDF$ 中, $\begin{cases} ∠ BED=∠ CFD, \\ ∠ BDE=∠ CDF, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$.
$\therefore DE=DF$.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题时可从求证结论出发逆向推导所需条件，结合已知信息通过证明三角形全等得到关键边相等，再运用角平分线判定定理即可完成证明，重点考察逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

10.(10分)如图,点D到△ABC三边的距离相等,连接BD,AD,BD的延长线交AC于点E.若∠ADE=50°,求∠C的度数.

10. 解: $\because$ 点 $D$ 到 $△ ABC$ 三边的距离相等, $\therefore BD,AD$ 分别为 $∠ CBA,∠ CAB$ 的平分线. $\therefore ∠ CBA=2∠ DBA,∠ CAB=2∠ DAB. \because ∠ DBA+∠ DAB=∠ ADE=50°, \therefore ∠ CBA+∠ CAB=2(∠ DBA+∠ DAB)=100°. \therefore ∠ C=180°-(∠ CBA+∠ CAB)=80°$.

【分析】
解题时首先从已知条件“点D到△ABC三边的距离相等”切入，根据角平分线的判定定理，可推出AD、BD分别是∠CAB、∠CBA的角平分线；其次观察∠ADE的位置，它是△ABD的外角，依据三角形外角的性质，可得∠ADE等于与它不相邻的两个内角∠DBA与∠DAB的和；最后结合角平分线的倍分关系求出∠CBA+∠CAB的和，再利用三角形内角和定理就能计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵点D到△ABC三边的距离相等，
∴BD，AD分别为∠CBA，∠CAB的平分线，
∴∠CBA=2∠DBA，∠CAB=2∠DAB，
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠DBA+∠DAB=∠ADE=50°，
∴∠CBA+∠CAB=2(∠DBA+∠DAB)=2×50°=100°，
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
∠C=180°-(∠CBA+∠CAB)=180°-100°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
角平分线的判定；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题关键是先根据点到三边距离相等判断出点D是三角形角平分线的交点，再结合外角性质、角平分线的倍分关系和内角和定理逐步推导，计算时注意角的倍分关系不要混淆。
【难度系数】
0.7

11.(10分)(青岛中考)如图,在四边形ABCD中,E为边DC上一点.求作:四边形ABCD内一点P,使EP//BC,且点P到AB,AD的距离相等.(保留作图痕迹,不写作法)

11. 解:如图,点 $P$ 即为所求作.

【分析】
要找到符合要求的点P，需同时满足两个条件：①点P到AB、AD的距离相等，根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此点P一定在∠BAD的角平分线上；②EP//BC，因此点P一定在过点E且平行于BC的直线上。两条直线的交点就是同时满足两个条件的点P。
【解析】
第一步：作∠BAD的角平分线，角平分线上的所有点都满足到AB、AD的距离相等的要求；
第二步：过点E作BC的平行线，这条平行线上的所有点与E的连线都满足平行于BC的要求；
两条线的交点即为所求作的点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
11. 解:如图,点 $P$ 即为所求作.

【知识点】
角平分线的判定，平行线的作图
【点评】
本题是基础作图题，采用交轨法解题，先分别作出满足单个条件的点的轨迹，两个轨迹的交点即为同时满足所有条件的所求点，考查学生对基本作图方法的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

12.(12分)(教材P51练习T2变式)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA,交BA的延长线于点H.
(1)若点P到直线BA的距离为5 cm,求点P到直线BC的距离;
(2)求证:点P在∠HAC的平分线上.

12. (1) 解:过点 $P$ 作 $PF⊥ BE$ 于点 $F$(图略). $\because$ 点 $P$ 在 $∠ ABC$ 的平分线上, $PH⊥ BA,\therefore PF=PH=5\ \mathrm{cm}. \therefore$ 点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离为 $5\ \mathrm{cm}$.
(2) 证明: $\because$ 点 $P$ 在 $∠ ACE$ 的平分线上, $PD⊥ AC,PF⊥ BE,\therefore PF=PD$. 由(1)得 $PF=PH,\therefore PD=PH. \therefore$ 点 $P$ 在 $∠ HAC$ 的平分线上.

【分析】
(1) 已知BP是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，点P到BA的距离为PH=5cm，因此只需过点P作BC的垂线，该垂线段长度就等于PH的长度，即可求出点P到BC的距离。
(2) 要证点P在∠HAC的平分线上，依据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，只需证明点P到∠HAC的两边AH、AC的距离相等，即PH=PD。结合CP是∠ACE的平分线，可得P到AC和CE的距离相等，即PD=PF，再结合(1)的结论PF=PH，通过等量代换得到PH=PD，即可完成证明。
【解析】
(1) 解：过点 $P$ 作 $PF⊥ BE$ 于点 $F$。
$\because$ 点 $P$ 在 $∠ ABC$ 的平分线上，$PH⊥ BA$，$PF⊥BE$，根据角平分线的性质可得 $PF=PH$。
已知 $PH=5\ \mathrm{cm}$，$\therefore PF=5\ \mathrm{cm}$，即点P到直线BC的距离为5cm。
(2) 证明：$\because$ 点 $P$ 在 $∠ ACE$ 的平分线上，$PD⊥ AC$，$PF⊥ BE$，根据角平分线的性质可得 $PF=PD$。
由(1)得 $PF=PH$，$\therefore PD=PH$。
又$\because PH⊥BA$，$PD⊥AC$，根据角平分线的判定定理可得，点 $P$ 在 $∠ HAC$ 的平分线上。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
(2) 证明见解析
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关的基础应用题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定，通过作辅助线构造出点到角两边的垂线段，利用等量代换得到垂线段相等，进而解决问题。
【难度系数】
0.7

13.(6分) 注重动手操作 雯雯制作了两张直角三角形卡片，其中一张含$30°$角，另一张含$45°$角，然后进行如下操作：
第一步:先将两张卡片按照图①的方式摆放，画出$∠ AOB$；
第二步:在$∠ AOB$内，再将两张卡片按照图②的方式摆放，作出射线OC.
根据她的操作，画出的$∠ AOC$的度数为.

13. 75°

【分析】要计算∠AOC的度数，首先需要明确∠AOB的总度数，再求出∠BOC的度数，通过角的和差关系即可求解。首先回忆两种直角三角板的角度：含30°角的三角板的锐角分别为30°、60°，含45°角的三角板的锐角为45°。图①摆放时，45°角和60°角的顶点都在O点，且有一条公共边，因此∠AOB是这两个角的和；图②摆放时，∠BOC对应30°的锐角，用∠AOB减去∠BOC就能得到∠AOC的大小。
【解析】
解：由三角板的角度特征可知：
含30°角的直角三角板的两个锐角分别为$30°$、$60°$，含45°角的直角三角板的锐角为$45°$。
根据图①的摆放方式，可得：
$∠ AOB = 45° + 60° = 105°$
根据图②的摆放方式，可得：
$∠ BOC = 30°$
根据角的和差关系：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 105° - 30° = 75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
角的和差运算；三角板的角度特征
【点评】本题结合动手操作场景考查角的相关计算，需要学生结合图形摆放方式梳理各角之间的关系，侧重对基础知识的灵活应用，解题的关键是熟知两种直角三角板的固定角度。
【难度系数】
0.7