登录
1.(5分)到三角形三边距离相等的点是三角形的 (
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.以上均不对
B
)A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.以上均不对
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在角的平分线上。要找到到三角形三边距离都相等的点，说明该点要同时满足在三角形三个内角的平分线上，因此对应是三条角平分线的交点。同时可逐一排除其他选项：中线交点是重心，性质和到边的距离无关；高的交点是垂心，仅特殊三角形中满足到三边距离相等，通用情况不成立，由此可锁定正确答案。
【解析】
解：根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
若一个点到三角形的三边距离相等，则该点同时在三角形三个内角的角平分线上，即该点是三角形三条角平分线的交点。
逐一分析选项：
A. 三条中线的交点是三角形的重心，核心性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等，排除；
B. 三条角平分线的交点，符合推导结论，正确；
C. 三条高的交点是三角形的垂心，仅等边三角形等特殊三角形的垂心到三边距离相等，不具备普遍性，排除；
D. 因为B选项正确，因此D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊交点性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察角平分线性质的理解应用，需要学生准确区分三角形中线、高、角平分线三类特殊线段交点的不同性质，避免概念混淆即可快速得分，是几何基础部分的常考题型。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在角的平分线上。要找到到三角形三边距离都相等的点，说明该点要同时满足在三角形三个内角的平分线上，因此对应是三条角平分线的交点。同时可逐一排除其他选项：中线交点是重心，性质和到边的距离无关；高的交点是垂心，仅特殊三角形中满足到三边距离相等，通用情况不成立，由此可锁定正确答案。
【解析】
解：根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
若一个点到三角形的三边距离相等，则该点同时在三角形三个内角的角平分线上，即该点是三角形三条角平分线的交点。
逐一分析选项：
A. 三条中线的交点是三角形的重心，核心性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等，排除；
B. 三条角平分线的交点，符合推导结论，正确；
C. 三条高的交点是三角形的垂心，仅等边三角形等特殊三角形的垂心到三边距离相等，不具备普遍性，排除；
D. 因为B选项正确，因此D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊交点性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察角平分线性质的理解应用，需要学生准确区分三角形中线、高、角平分线三类特殊线段交点的不同性质，避免概念混淆即可快速得分，是几何基础部分的常考题型。
【难度系数】
0.9
2.（5分）如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线相交于点O，下列结论正确的是（
A.$∠1＞∠2$
B.$∠1=∠2$
C.$∠1＜∠2$
D.$∠1=2∠2$
（第2题图）
（第3题图）
B
）A.$∠1＞∠2$
B.$∠1=∠2$
C.$∠1＜∠2$
D.$∠1=2∠2$
（第2题图）
（第3题图）
答案
2. B
解析
【分析】
首先回忆三角形角平分线的相关性质：三角形的三条内角平分线相交于同一点。题目已知∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，说明点O是△ABC的三个内角平分线的公共交点，因此AO必然是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的定义即可判断∠1和∠2的大小关系。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
根据“三角形的三条内角平分线交于一点”的性质，可知AO是∠BAC的角平分线，
∴ ∠1=∠2，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形角平分线共点性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题关键是掌握三角形三条内角平分线交于同一点的性质，不要被图中AO没有明确标注为角平分线干扰，结合已知条件即可推导得到AO的角平分线属性，进而快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先回忆三角形角平分线的相关性质：三角形的三条内角平分线相交于同一点。题目已知∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，说明点O是△ABC的三个内角平分线的公共交点，因此AO必然是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的定义即可判断∠1和∠2的大小关系。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
根据“三角形的三条内角平分线交于一点”的性质，可知AO是∠BAC的角平分线，
∴ ∠1=∠2，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形角平分线共点性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题关键是掌握三角形三条内角平分线交于同一点的性质，不要被图中AO没有明确标注为角平分线干扰，结合已知条件即可推导得到AO的角平分线属性，进而快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3.(5分)将两把宽度相同的直尺按如图所示的方式摆放,两把直尺的接触点记为点P,其中一把直尺的边缘与射线OA重合,另一把直尺的边缘与射线OB重合.若$∠ AOB=54°$,则$∠ AOP$的度数为 (
A.$54°$
B.$36°$
C.$27°$
D.$26°$
C
)A.$54°$
B.$36°$
C.$27°$
D.$26°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先结合直尺宽度相等的条件，得到点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等，再根据角平分线的判定定理，可判断OP是∠AOB的角平分线，最后根据角平分线的定义计算∠AOP的度数即可。
【解析】
∵ 两把直尺宽度相同，
∴ 点P到射线OA的距离与点P到射线OB的距离相等，
根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，可得OP平分∠AOB，
∴ $∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵ $∠ AOB=54°$，
∴ $∠ AOP=\frac{1}{2}×54°=27°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题结合生活中的直尺摆放场景考查角平分线的相关知识，解题的突破口是将直尺宽度相等转化为点到角两边的距离相等，进而得到角平分线，解题思路较为直接。
【难度系数】
0.8
解题时先结合直尺宽度相等的条件，得到点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等，再根据角平分线的判定定理，可判断OP是∠AOB的角平分线，最后根据角平分线的定义计算∠AOP的度数即可。
【解析】
∵ 两把直尺宽度相同，
∴ 点P到射线OA的距离与点P到射线OB的距离相等，
根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，可得OP平分∠AOB，
∴ $∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵ $∠ AOB=54°$，
∴ $∠ AOP=\frac{1}{2}×54°=27°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题结合生活中的直尺摆放场景考查角平分线的相关知识，解题的突破口是将直尺宽度相等转化为点到角两边的距离相等，进而得到角平分线，解题思路较为直接。
【难度系数】
0.8
4.(5分)生产生活情境（教材P59复习题T8变式）如图，$l_1,l_2,l_3$是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则这个加油站的位置共有（
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
（第4题图）
（第5题图）
D
）A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
（第4题图）
（第5题图）
答案
4. D
解析
【分析】
要找到到三条两两相交公路距离相等的点，需结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先，三条公路围成三角形，先考虑三角形内部：三个内角的角平分线交点，到三条公路的距离相等，这是1个符合条件的点。再考虑三角形外部：任意两个外角的角平分线的交点，到三条公路所在直线的距离也相等，这类交点共有3个。将两类点的数量相加即可得到总位置数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
三条两两相交的直线围成1个三角形：
1. 三角形内部：三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，共1处；
2. 三角形外部：每两个外角的角平分线的交点，到三条公路所在直线的距离均相等，这类交点共有3处。
因此符合条件的加油站位置总共有1+3=4处。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形内外角平分线
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用问题，解题时容易遗漏三角形外部的外角平分线交点，需注意题目要求是到三条公路（所在直线）的距离相等，因此要同时考虑三角形内部和外部的情况。
【难度系数】
0.6
要找到到三条两两相交公路距离相等的点，需结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先，三条公路围成三角形，先考虑三角形内部：三个内角的角平分线交点，到三条公路的距离相等，这是1个符合条件的点。再考虑三角形外部：任意两个外角的角平分线的交点，到三条公路所在直线的距离也相等，这类交点共有3个。将两类点的数量相加即可得到总位置数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
三条两两相交的直线围成1个三角形：
1. 三角形内部：三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，共1处；
2. 三角形外部：每两个外角的角平分线的交点，到三条公路所在直线的距离均相等，这类交点共有3处。
因此符合条件的加油站位置总共有1+3=4处。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形内外角平分线
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用问题，解题时容易遗漏三角形外部的外角平分线交点，需注意题目要求是到三条公路（所在直线）的距离相等，因此要同时考虑三角形内部和外部的情况。
【难度系数】
0.6
5.(5分)如图,点P在∠AOB内部,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=3 cm.当PD的长为
3
cm时,点P在∠AOB的平分线上.答案
5. 3
解析
【分析】
本题可根据角平分线的判定定理思考求解：首先明确角平分线的判定为：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。先确定点P到∠AOB两边OA、OB的距离分别是PC和PD，要使点P在∠AOB的平分线上，只需满足这两个距离相等，结合已知PC的长度即可直接求出PD的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
已知点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，因此PC是点P到边OA的距离，PD是点P到边OB的距离。
若点P在∠AOB的平分线上，则PD=PC，
又已知PC=3 cm，因此PD=3 cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题属于基础题，直接考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是准确识别点到角两边的距离，牢记判定定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题可根据角平分线的判定定理思考求解：首先明确角平分线的判定为：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。先确定点P到∠AOB两边OA、OB的距离分别是PC和PD，要使点P在∠AOB的平分线上，只需满足这两个距离相等，结合已知PC的长度即可直接求出PD的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
已知点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，因此PC是点P到边OA的距离，PD是点P到边OB的距离。
若点P在∠AOB的平分线上，则PD=PC，
又已知PC=3 cm，因此PD=3 cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题属于基础题，直接考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是准确识别点到角两边的距离，牢记判定定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.9
6.(5分)如图，$∠ AOB=70°$,点Q在$∠ AOB$内部，$QC⊥ OA$于点C，$QD⊥ OB$于点D.若$QC=QD$，则$∠ AOQ$的度数为
(第6题图)
(第7题图)
35°
.(第6题图)
(第7题图)
答案
6. 35°
解析
【分析】
解题时从已知条件入手：已知点Q在∠AOB内部，QC⊥OA、QD⊥OB，说明QC、QD是点Q到∠AOB两边的距离，且QC=QD，结合角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可推出OQ是∠AOB的角平分线，再根据角平分线将角分成两个相等的小角，代入∠AOB的度数即可求出∠AOQ的大小。
【解析】
解：
∵QC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD，点Q在∠AOB内部
∴OQ平分∠AOB（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
∴$∠ AOQ=\frac{1}{2}∠ AOB$
∵$∠ AOB=70°$
∴$∠ AOQ=\frac{1}{2}×70°=35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
角平分线的判定；角度计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线判定定理的直接应用，解题关键是能根据点到角两边的垂线段相等判断出角平分线，再进行简单角度运算即可。
【难度系数】
0.8
解题时从已知条件入手：已知点Q在∠AOB内部，QC⊥OA、QD⊥OB，说明QC、QD是点Q到∠AOB两边的距离，且QC=QD，结合角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可推出OQ是∠AOB的角平分线，再根据角平分线将角分成两个相等的小角，代入∠AOB的度数即可求出∠AOQ的大小。
【解析】
解：
∵QC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD，点Q在∠AOB内部
∴OQ平分∠AOB（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
∴$∠ AOQ=\frac{1}{2}∠ AOB$
∵$∠ AOB=70°$
∴$∠ AOQ=\frac{1}{2}×70°=35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
角平分线的判定；角度计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线判定定理的直接应用，解题关键是能根据点到角两边的垂线段相等判断出角平分线，再进行简单角度运算即可。
【难度系数】
0.8
7.(5分) 渗透整体思想 如图，P为△ABC三条角平分线的交点，PH，PN，PM分别垂直BC，AC，AB，垂足分别为H，N，M. 已知△ABC的周长为16 cm，PH=3 cm，则△ABC的面积为
24
cm².答案
7. 24
解析
【分析】
首先，题目给出P是三角形三条角平分线的交点，且P到三边都有垂线段，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得P到△ABC三边的距离都相等，均等于PH=3cm。其次，要求△ABC的面积，没有直接给出底和对应高，因此采用分割法，将△ABC拆分为△ABP、△BCP、△ACP三个小三角形，三个小三角形的面积之和就是△ABC的面积，且三个小三角形的高都等于P到对应边的距离，最后结合三角形周长整体代入计算即可。
【解析】
∵P是△ABC三条角平分线的交点，PM⊥AB，PN⊥AC，PH⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得：PM=PN=PH=3cm。
△ABC的面积可拆分为三个小三角形的面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ BCP}+S_{△ ACP}$
分别计算三个小三角形的面积：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×AB×PM$，$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}×BC×PH$，$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}×AC×PN$
代入PM=PN=PH=3cm，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×AB + \frac{1}{2}×3×BC + \frac{1}{2}×3×AC = \frac{3}{2}(AB+BC+AC)$
已知△ABC的周长为16cm，即$AB+BC+AC=16\mathrm{cm}$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{3}{2}×16=24\mathrm{cm}^2$
【答案】
24
【知识点】
角平分线的性质；割补法求面积；整体代入
【点评】
本题解题的关键是灵活运用角平分线的性质得到点P到三角形三边的距离相等，再通过分割法将大三角形面积转化为三个小三角形面积之和，结合周长整体代入计算，体现了转化思想和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先，题目给出P是三角形三条角平分线的交点，且P到三边都有垂线段，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得P到△ABC三边的距离都相等，均等于PH=3cm。其次，要求△ABC的面积，没有直接给出底和对应高，因此采用分割法，将△ABC拆分为△ABP、△BCP、△ACP三个小三角形，三个小三角形的面积之和就是△ABC的面积，且三个小三角形的高都等于P到对应边的距离，最后结合三角形周长整体代入计算即可。
【解析】
∵P是△ABC三条角平分线的交点，PM⊥AB，PN⊥AC，PH⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得：PM=PN=PH=3cm。
△ABC的面积可拆分为三个小三角形的面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ BCP}+S_{△ ACP}$
分别计算三个小三角形的面积：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×AB×PM$，$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}×BC×PH$，$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}×AC×PN$
代入PM=PN=PH=3cm，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×AB + \frac{1}{2}×3×BC + \frac{1}{2}×3×AC = \frac{3}{2}(AB+BC+AC)$
已知△ABC的周长为16cm，即$AB+BC+AC=16\mathrm{cm}$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{3}{2}×16=24\mathrm{cm}^2$
【答案】
24
【知识点】
角平分线的性质；割补法求面积；整体代入
【点评】
本题解题的关键是灵活运用角平分线的性质得到点P到三角形三边的距离相等，再通过分割法将大三角形面积转化为三个小三角形面积之和，结合周长整体代入计算，体现了转化思想和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
8.(8分)如图，P是OC上一点，$PD⊥ OA$于点D，$PE⊥ OB$于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且$PF=PG$，$DF=EG$. 求证：OC是$∠ AOB$的平分线. 
答案
8. 证明: 在 $\mathrm{Rt}△ PFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ PGE$ 中, $\begin{cases} PF=PG, \\ DF=EG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PFD≌\mathrm{Rt}△ PGE(\mathrm{HL}). \therefore PD=PE. \because P$ 是 $OC$ 上一点, $PD⊥ OA,PE⊥ OB,\therefore OC$ 是 $∠ AOB$ 的平分线.
$\therefore \mathrm{Rt}△ PFD≌\mathrm{Rt}△ PGE(\mathrm{HL}). \therefore PD=PE. \because P$ 是 $OC$ 上一点, $PD⊥ OA,PE⊥ OB,\therefore OC$ 是 $∠ AOB$ 的平分线.
解析
【分析】
要证明OC是∠AOB的平分线，根据角平分线的判定定理，只需证明OC上的点P到角两边OA、OB的距离相等，即证PD=PE。已知PD⊥OA、PE⊥OB，可知△PFD和△PGE都是直角三角形，结合题目给出的PF=PG、DF=EG的条件，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到PD=PE，即可推导得出最终结论。
【解析】
证明: 在 $\mathrm{Rt}△ PFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ PGE$ 中,
$\begin{cases} PF=PG, \\ DF=EG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PFD≌\mathrm{Rt}△ PGE(\mathrm{HL}).$
$\therefore PD=PE.$
$\because P$ 是 $OC$ 上一点, $PD⊥ OA,PE⊥ OB,$
$\therefore OC$ 是 $∠ AOB$ 的平分线。
【答案】
OC是∠AOB的平分线
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 角平分线的判定定理
【点评】
本题属于角平分线相关的基础证明题，解题核心是先通过HL证明直角三角形全等，得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理完成证明，逻辑链条清晰，是巩固基础知识点的典型题型。
【难度系数】
0.8
要证明OC是∠AOB的平分线，根据角平分线的判定定理，只需证明OC上的点P到角两边OA、OB的距离相等，即证PD=PE。已知PD⊥OA、PE⊥OB，可知△PFD和△PGE都是直角三角形，结合题目给出的PF=PG、DF=EG的条件，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到PD=PE，即可推导得出最终结论。
【解析】
证明: 在 $\mathrm{Rt}△ PFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ PGE$ 中,
$\begin{cases} PF=PG, \\ DF=EG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PFD≌\mathrm{Rt}△ PGE(\mathrm{HL}).$
$\therefore PD=PE.$
$\because P$ 是 $OC$ 上一点, $PD⊥ OA,PE⊥ OB,$
$\therefore OC$ 是 $∠ AOB$ 的平分线。
【答案】
OC是∠AOB的平分线
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 角平分线的判定定理
【点评】
本题属于角平分线相关的基础证明题，解题核心是先通过HL证明直角三角形全等，得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理完成证明，逻辑链条清晰，是巩固基础知识点的典型题型。
【难度系数】
0.8
