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9.(8分)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,D为边BC上一点,过点D作$DE ⊥ AB$于点E,连接AD.若$∠ B=36°$,$∠ ADC=63°$,$BC=8$,$DE=3$,求BD的长.
答案
9. 解:$\because ∠ B+∠ BAD=∠ ADC,\therefore ∠ BAD=∠ ADC-∠ B=27°. \because ∠ C=90°,\therefore ∠ DAC=90°-∠ ADC=27°. \therefore ∠ BAD=∠ DAC,$即$AD$平分$∠ BAC. \because DE⊥ AB,∠ C=90°,\therefore CD=DE=3. \therefore BD=BC-CD=5.$
解析
【分析】
要求BD的长度，已知BC=8，因此只需要求出CD的长度，再用BD=BC-CD计算即可。首先根据三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，等于不相邻的两个内角∠B和∠BAD的和，可先求出∠BAD的度数；再在Rt△ADC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数，可发现∠BAD=∠DAC，即AD是∠BAC的角平分线；最后根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合DE⊥AB、DC⊥AC，可得CD=DE，代入已知数值即可求出CD，进而算出BD。
【解析】
解：
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠B+∠BAD=∠ADC，
∴∠BAD=∠ADC-∠B=63°-36°=27°，
∵∠C=90°，△ADC是直角三角形，
∴∠DAC=90°-∠ADC=90°-63°=27°，
∴∠BAD=∠DAC，即AD平分∠BAC，
又
∵DE⊥AB，∠C=90°即DC⊥AC，
根据角平分线的性质可得CD=DE=3，
∴BD=BC-CD=8-3=5。
【答案】
5
【知识点】
三角形外角的性质；直角三角形两锐角互余；角平分线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形角度计算和角平分线的性质应用，解题的突破口是通过角度推导证明AD为角平分线，再结合角平分线的性质快速求出CD的长度，整体逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
要求BD的长度，已知BC=8，因此只需要求出CD的长度，再用BD=BC-CD计算即可。首先根据三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，等于不相邻的两个内角∠B和∠BAD的和，可先求出∠BAD的度数；再在Rt△ADC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数，可发现∠BAD=∠DAC，即AD是∠BAC的角平分线；最后根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合DE⊥AB、DC⊥AC，可得CD=DE，代入已知数值即可求出CD，进而算出BD。
【解析】
解：
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠B+∠BAD=∠ADC，
∴∠BAD=∠ADC-∠B=63°-36°=27°，
∵∠C=90°，△ADC是直角三角形，
∴∠DAC=90°-∠ADC=90°-63°=27°，
∴∠BAD=∠DAC，即AD平分∠BAC，
又
∵DE⊥AB，∠C=90°即DC⊥AC，
根据角平分线的性质可得CD=DE=3，
∴BD=BC-CD=8-3=5。
【答案】
5
【知识点】
三角形外角的性质；直角三角形两锐角互余；角平分线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形角度计算和角平分线的性质应用，解题的突破口是通过角度推导证明AD为角平分线，再结合角平分线的性质快速求出CD的长度，整体逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
10.(9分)如图,在△ABC中,点D在边AC上,且AB=AD.
(1)用尺规作图法作∠BAC的平分线,交BC于点P;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接PD,求证:PB=PD.
(1)用尺规作图法作∠BAC的平分线,交BC于点P;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接PD,求证:PB=PD.
答案
10. (1) 解:如图所示.
(2) 证明:$\because AP$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAP=∠ DAP.$ 在$△ ABP$ 和 $△ ADP$ 中,$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAP=∠ DAP,\\AP=AP,\end{cases}$$\therefore △ ABP ≌ △ ADP(\mathrm{SAS}). \therefore PB=PD.$
解析
【分析】
(1) 第一问为尺规作角平分线，回忆角平分线的尺规作图方法：以点A为圆心取适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于两个交点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径作弧，两弧在∠BAC内部的交点与点A的连线即为角平分线，该线与BC的交点就是要求的点P，作图时保留痕迹即可。
(2) 第二问要证明PB=PD，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。已知AB=AD，AP是∠BAC的平分线可得到一组等角，再加上公共边AP，即可利用SAS判定△ABP和△ADP全等，根据全等三角形对应边相等就能得到PB=PD。
【解析】
(1) 按照角平分线的尺规作图规范作图，保留作图痕迹即可。
(2) 证明过程如下：
∵ AP平分∠BAC，
∴ ∠BAP=∠DAP，
在△ABP和△ADP中：
$\begin{cases}AB=AD,\\∠BAP=∠DAP,\\AP=AP,\end{cases}$
∴ △ABP ≌ △ADP（SAS），
∴ PB=PD。
【答案】
(1) 解:如图所示.
(2) 证明:$\because AP$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAP=∠ DAP.$ 在$△ ABP$ 和 $△ ADP$ 中,$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAP=∠ DAP,\\AP=AP,\end{cases}$$\therefore △ ABP ≌ △ ADP(\mathrm{SAS}). \therefore PB=PD.$
【知识点】
角平分线尺规作图、全等三角形SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是基础类题型，分别考查了角平分线的尺规作图方法、全等三角形的判定和性质的应用，解题的核心是熟练掌握基础作图规则和全等三角形的判定定理，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.85
(1) 第一问为尺规作角平分线，回忆角平分线的尺规作图方法：以点A为圆心取适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于两个交点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径作弧，两弧在∠BAC内部的交点与点A的连线即为角平分线，该线与BC的交点就是要求的点P，作图时保留痕迹即可。
(2) 第二问要证明PB=PD，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。已知AB=AD，AP是∠BAC的平分线可得到一组等角，再加上公共边AP，即可利用SAS判定△ABP和△ADP全等，根据全等三角形对应边相等就能得到PB=PD。
【解析】
(1) 按照角平分线的尺规作图规范作图，保留作图痕迹即可。
(2) 证明过程如下：
∵ AP平分∠BAC，
∴ ∠BAP=∠DAP，
在△ABP和△ADP中：
$\begin{cases}AB=AD,\\∠BAP=∠DAP,\\AP=AP,\end{cases}$
∴ △ABP ≌ △ADP（SAS），
∴ PB=PD。
【答案】
(1) 解:如图所示.
(2) 证明:$\because AP$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAP=∠ DAP.$ 在$△ ABP$ 和 $△ ADP$ 中,$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAP=∠ DAP,\\AP=AP,\end{cases}$$\therefore △ ABP ≌ △ ADP(\mathrm{SAS}). \therefore PB=PD.$
【知识点】
角平分线尺规作图、全等三角形SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是基础类题型，分别考查了角平分线的尺规作图方法、全等三角形的判定和性质的应用，解题的核心是熟练掌握基础作图规则和全等三角形的判定定理，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.85
11.(10分)如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.求证:PM=PN.
答案
证明:$\because BD$ 为 $∠ ABC$ 的平分线, $\therefore ∠ ABD=∠ CBD.$ 在 $△ ABD$ 和 $△ CBD$ 中,$\begin{cases}AB=CB,\\∠ ABD=∠ CBD,\\BD=BD,\end{cases}$$\therefore △ ABD ≌ △ CBD (\mathrm{SAS}). \therefore ∠ ADB = ∠ CDB.$$\therefore DB$平分$∠ ADC. \because$ 点 $P$ 在 $DB$ 上,且 $PM⊥ AD$,$PN⊥ CD,\therefore PM=PN.$
解析
【分析】
要证明PM=PN，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点P在∠ADC的角平分线上，即证∠ADB=∠CDB。要证这两个角相等，可通过证明△ABD和△CBD全等实现：题目已知BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠CBD，又给出AB=BC，还有公共边BD，满足SAS全等判定条件，即可推导出两三角形全等，进而得到对应角相等，最终即可证得PM=PN。
【解析】
证明：$\because BD$ 为 $∠ ABC$ 的平分线, $\therefore ∠ ABD=∠ CBD.$
在 $△ ABD$ 和 $△ CBD$ 中,
$\begin{cases}AB=CB,\\∠ ABD=∠ CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CBD (\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ ADB = ∠ CDB$，即$DB$平分$∠ ADC.$
$\because$ 点 $P$ 在 $DB$ 上，且 $PM⊥ AD$，$PN⊥ CD,$
$\therefore PM=PN.$
【答案】
证明:$\because BD$ 为 $∠ ABC$ 的平分线, $\therefore ∠ ABD=∠ CBD.$ 在 $△ ABD$ 和 $△ CBD$ 中,$\begin{cases}AB=CB,\\∠ ABD=∠ CBD,\\BD=BD,\end{cases}$$\therefore △ ABD ≌ △ CBD (\mathrm{SAS}). \therefore ∠ ADB = ∠ CDB.$$\therefore DB$平分$∠ ADC. \because$ 点 $P$ 在 $DB$ 上,且 $PM⊥ AD$,$PN⊥ CD,\therefore PM=PN.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的核心是先利用已知条件证明三角形全等得到角相等，再结合角平分线的性质推出两条垂线段相等，逻辑链条清晰，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明PM=PN，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点P在∠ADC的角平分线上，即证∠ADB=∠CDB。要证这两个角相等，可通过证明△ABD和△CBD全等实现：题目已知BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠CBD，又给出AB=BC，还有公共边BD，满足SAS全等判定条件，即可推导出两三角形全等，进而得到对应角相等，最终即可证得PM=PN。
【解析】
证明：$\because BD$ 为 $∠ ABC$ 的平分线, $\therefore ∠ ABD=∠ CBD.$
在 $△ ABD$ 和 $△ CBD$ 中,
$\begin{cases}AB=CB,\\∠ ABD=∠ CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CBD (\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ ADB = ∠ CDB$，即$DB$平分$∠ ADC.$
$\because$ 点 $P$ 在 $DB$ 上，且 $PM⊥ AD$，$PN⊥ CD,$
$\therefore PM=PN.$
【答案】
证明:$\because BD$ 为 $∠ ABC$ 的平分线, $\therefore ∠ ABD=∠ CBD.$ 在 $△ ABD$ 和 $△ CBD$ 中,$\begin{cases}AB=CB,\\∠ ABD=∠ CBD,\\BD=BD,\end{cases}$$\therefore △ ABD ≌ △ CBD (\mathrm{SAS}). \therefore ∠ ADB = ∠ CDB.$$\therefore DB$平分$∠ ADC. \because$ 点 $P$ 在 $DB$ 上,且 $PM⊥ AD$,$PN⊥ CD,\therefore PM=PN.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的核心是先利用已知条件证明三角形全等得到角相等，再结合角平分线的性质推出两条垂线段相等，逻辑链条清晰，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
12.（10分）注重类比探究【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知DB=DC.
【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B＜90°.求证：DB=DC.
【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B＜90°.求证：DB=DC.
答案
证明:过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$,$DF⊥ AC$,$DF$ 交 $AC$ 的延长线于点 $F$(图略),则$∠ DFC=∠ DEB=90°. \because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore DE=DF. \because ∠ B+∠ ACD=180°,∠ ACD+∠ FCD=180°,\therefore ∠ B=∠ FCD.$ 在 $△ DFC$ 和 $△ DEB$ 中,$\begin{cases}∠ F=∠ DEB,\\∠ FCD=∠ B,\\DF=DE,\end{cases}$$\therefore △ DFC ≌ △ DEB(\mathrm{AAS}). \therefore DB=DC.$
解析
【分析】
要证明DB=DC，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先已知AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，可过点D向∠BAC的两边AB、AC作垂线，得到两条相等的垂线段；再结合已知条件∠B+∠ACD=180°，利用邻补角之和为180°，可推出∠B=∠FCD，即可得到AAS全等的判定条件，证明三角形全等后即可得到对应边DB=DC。
【解析】
证明:过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$,$DF⊥ AC$,$DF$ 交 $AC$ 的延长线于点 $F$，则$∠ DFC=∠ DEB=90°$.
$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore DE=DF.$
$\because ∠ B+∠ ACD=180°,∠ ACD+∠ FCD=180°,\therefore ∠ B=∠ FCD.$
在 $△ DFC$ 和 $△ DEB$ 中,
$\begin{cases}∠ F=∠ DEB,\\∠ FCD=∠ B,\\DF=DE,\end{cases}$
$\therefore △ DFC ≌ △ DEB(\mathrm{AAS}).$
$\therefore DB=DC.$
【答案】
DB=DC
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题是角平分线与全等三角形的综合应用题，解题关键是掌握角平分线相关证明题的常用辅助线构造方法：过角平分线上的点向角两边作垂线，结合等角的补角相等得到角相等的条件，即可通过全等证明线段相等，这类辅助线技巧需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要证明DB=DC，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先已知AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，可过点D向∠BAC的两边AB、AC作垂线，得到两条相等的垂线段；再结合已知条件∠B+∠ACD=180°，利用邻补角之和为180°，可推出∠B=∠FCD，即可得到AAS全等的判定条件，证明三角形全等后即可得到对应边DB=DC。
【解析】
证明:过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$,$DF⊥ AC$,$DF$ 交 $AC$ 的延长线于点 $F$，则$∠ DFC=∠ DEB=90°$.
$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore DE=DF.$
$\because ∠ B+∠ ACD=180°,∠ ACD+∠ FCD=180°,\therefore ∠ B=∠ FCD.$
在 $△ DFC$ 和 $△ DEB$ 中,
$\begin{cases}∠ F=∠ DEB,\\∠ FCD=∠ B,\\DF=DE,\end{cases}$
$\therefore △ DFC ≌ △ DEB(\mathrm{AAS}).$
$\therefore DB=DC.$
【答案】
DB=DC
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题是角平分线与全等三角形的综合应用题，解题关键是掌握角平分线相关证明题的常用辅助线构造方法：过角平分线上的点向角两边作垂线，结合等角的补角相等得到角相等的条件，即可通过全等证明线段相等，这类辅助线技巧需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
