9.如图,在△ABC中,O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=70°,则∠BOC的度数为.

9. 125°

【分析】
解题先从已知条件入手：点O到△ABC三边的距离相等，根据角平分线的判定定理，可判断O是△ABC三个内角的平分线的交点，即OB平分∠ABC、OC平分∠ACB。接下来先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和，再求出两个角的一半的和，也就是△OBC中两个底角的和，最后再次利用三角形内角和定理就能算出∠BOC的度数。
【解析】
∵点O到△ABC三边的距离相等
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，∠A=70°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$
在△BOC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-55°=125°$
【答案】
$125°$
【知识点】
角平分线的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础常考题，解题核心是通过“点到三边距离相等”的条件判断出点O是三角形内角平分线的交点，再结合三角形内角和公式逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7

三、解答题(共35分)
10.(9分)如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD的延长线上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N.求证：PM=PN.

10. 证明:
∵ BD 是 ∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABD = ∠CBD. 在△ABD 和△CBD 中,$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CBD (SAS).
∴ ∠ADB = ∠CDB.
∵ ∠ADP = 180° - ∠ADB, ∠CDP = 180° - ∠CDB,
∴ ∠ADP = ∠CDP, 即 DP 平分 ∠ADC.
∵ PM ⊥ AD, PN ⊥ CD,
∴ PM = PN.

【分析】
要证明PM=PN，根据角平分线的性质，只需证明点P在∠ADC的角平分线上，即DP平分∠ADC。要得到DP平分∠ADC，需先证明∠ADB=∠CDB，可通过证明△ABD和△CBD全等实现：已知BD是∠ABC的平分线可得∠ABD=∠CBD，结合已知AB=BC、公共边BD，利用SAS即可证明两三角形全等，再根据等角的补角相等推出∠ADP=∠CDP，最后结合PM⊥AD、PN⊥CD的条件即可得证。
【解析】
证明:
∵ BD 是 ∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABD = ∠CBD.
在△ABD 和△CBD 中,
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CBD (SAS).
∴ ∠ADB = ∠CDB.
∵ ∠ADP = 180° - ∠ADB, ∠CDP = 180° - ∠CDB,
∴ ∠ADP = ∠CDP, 即 DP 平分 ∠ADC.
∵ PM ⊥ AD, PN ⊥ CD,
∴ PM = PN.
【答案】
证明过程如上，PM=PN得证。
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题时可先逆向推导结论需要满足的条件，再结合已知条件正向推理验证，考查了全等三角形和角平分线相关知识的综合运用能力，掌握基础判定和性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

11.(12分)如图,某同学用10块相同的长方体小木块(小木块的高度为5 cm),垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角形ABD(∠ABD=90°,BD=AB),点B在CE上,点A,D分别与两堵木墙的顶端重合.
(1)求证:$△ ACB ≌ △ BED$;
(2)求两堵木墙之间的距离CE.

11. (1)证明:由题意得,AC⊥CE,DE⊥CE,
∴ ∠ACB = ∠BED = 90° = ∠ABD.
∴ ∠BDE + ∠DBE = 90°, ∠DBE + ∠ABC = 90°.
∴ ∠ABC = ∠BDE. 在△ACB 和△BED 中,$\begin{cases} ∠ABC=∠BDE, \\ ∠ACB=∠BED, \\ AB=BD, \end{cases}$
∴ △ACB ≌ △BED (AAS). (2)解:由题意,得 AC = 5 × 3 = 15(cm), DE = 7 × 5 = 35(cm). 由(1)可知△ACB ≌ △BED,
∴ BC = DE = 35 cm, BE = AC = 15 cm.
∴ CE = BC + BE = 50 cm.
∴ 两堵木墙之间的距离 CE 为 50 cm.

【分析】
(1) 要证明△ACB≌△BED，首先根据木墙与地面垂直可得两个直角，再结合∠ABD=90°，利用同角的余角相等推出一组角相等，最后结合已知AB=BD，即可用AAS判定全等。
(2) 求CE长度时，CE=BE+BC，先根据小木块的高度和数量算出AC、DE的长度，再利用全等三角形对应边相等的性质，得到BE=AC、BC=DE，求和即可得到CE的长度。
【解析】
(1) 证明：由题意得，AC⊥CE，DE⊥CE，
∴ ∠ACB = ∠BED = 90° = ∠ABD，
∴ ∠BDE + ∠DBE = 90°，∠DBE + ∠ABC = 90°，
∴ ∠ABC = ∠BDE。
在△ACB 和△BED 中，
$\begin{cases} ∠ABC=∠BDE, \\ ∠ACB=∠BED, \\ AB=BD, \end{cases}$
∴ △ACB ≌ △BED (AAS)。
(2) 解：由题意得每块小木块高度为5cm，右侧木墙由3块小木块垒成，左侧木墙由7块小木块垒成，
∴ AC = 3 × 5 = 15(cm)，DE = 7 × 5 = 35(cm)。
由(1)得△ACB ≌ △BED，根据全等三角形对应边相等，
∴ BC = DE = 35 cm，BE = AC = 15 cm，
∴ CE = BC + BE = 35 + 15 = 50 cm。
【答案】
(1) △ACB≌△BED得证；(2) 两堵木墙之间的距离CE为50 cm
【知识点】
全等三角形的AAS判定、全等三角形的性质、同角的余角相等
【点评】
本题结合生活场景考查全等三角形的综合应用，解题关键是利用直角的性质推导等角完成全等证明，再通过全等的性质转化线段长度求解，是全等三角形实际应用的常规题型。
【难度系数】
0.7

12.(14分)(南充中考)如图,在$△ ABC$中,D为BC的中点,过点B作$BE // AC$,交AD的延长线于点E.
(1)求证:$△ BDE ≌ △ CDA$;
(2)若$AD ⊥ BC$,求证:$BA=BE$.

12. 证明:(1)
∵ D 为 BC 的中点,
∴ BD = CD.
∵ BE // AC,
∴ ∠EBD = ∠C, ∠E = ∠CAD. 在△BDE 和△CDA 中,$\begin{cases} ∠EBD=∠C, \\ ∠E=∠CAD, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴ △BDE ≌ △CDA(AAS). (2)由(1)知△BDE ≌ △CDA,
∴ DE = DA.
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠BDE = ∠BDA = 90°. 在△BDE 和△BDA 中,$\begin{cases} BD=BD, \\ ∠BDE=∠BDA, \\ DE=DA, \end{cases}$
∴ △BDE ≌ △BDA(SAS).
∴ BA = BE.

【分析】
(1) 要证明△BDE≌△CDA，先梳理已知条件：D为BC中点可得BD=CD，BE//AC可推出两组内错角对应相等，满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 要证BA=BE，可证两条边所在的△BDE和△BDA全等：先借助第(1)问的全等结论得到DE=DA，再结合AD⊥BC得到两个直角相等，加上公共边BD，满足SAS全等判定的条件，证得两三角形全等后对应边相等即可得证。
【解析】
(1)
∵ D 为 BC 的中点,
∴ BD = CD.
∵ BE // AC,
∴ ∠EBD = ∠C, ∠E = ∠CAD.
在△BDE 和△CDA 中,
$\begin{cases} ∠EBD=∠C, \\ ∠E=∠CAD, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴ △BDE ≌ △CDA(AAS).
(2)由(1)知△BDE ≌ △CDA,
∴ DE = DA.
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠BDE = ∠BDA = 90°.
在△BDE 和△BDA 中,
$\begin{cases} BD=BD, \\ ∠BDE=∠BDA, \\ DE=DA, \end{cases}$
∴ △BDE ≌ △BDA(SAS).
∴ BA = BE.
【答案】
(1) △BDE ≌ △CDA成立；
(2) BA=BE成立。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，考查了全等三角形常见判定定理的应用，解题时要注意前后问题的关联，前一问的结论可直接作为后一问的已知条件使用，同时要善于挖掘题干中的隐含条件，如公共边、中点带来的等线段、平行线带来的等角。
【难度系数】
0.8