12.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象的顶点坐标为$(-2,3)$，且过$(-1,5)$，则二次函数的表达式为。

12. $y=2x^2+8x+11$

13.已知$P(m,n)$为抛物线$y=ax^2 -4ax +b$上一动点。当$1≤m≤4$时，$n$的取值范围是$1≤n≤4$，则抛物线的表达式为。

13. $y=\frac{3}{4}x^2-3x+4$ 或 $y=-\frac{3}{4}x^2+3x+1$

14.已知二次函数$y=x^2+bx+c$。
(1)当$b=2,c=-5$时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当$y≥ -2$时，求$x$的取值范围。
(2)当$x＜0$时，$y$的最小值为$-2$；当$x≥ 0$时，$y$的最小值为3，求二次函数的表达式。

解:(1)①当$b=2,c=-5$时,函数的表达式为$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$，
∴该函数图象的顶点坐标为$(-1,-6)$。
②当$y=-2$时,$x^2+2x-5=-2$,解得$x_1=-3,x_2=1$。易得二次函数$y=x^2+2x-5$的图象开口向上,对称轴为直线$x=-1$,画出其大致图象,结合图象可知当$y≥-2$时,$x≥1$或$x≤-3$。
(2)易得二次函数$y=x^2+bx+c$的图象开口向上,$y$有最小值$-2$。
∵当$x≥0$时,$y$的最小值为3，
∴当$x=0$时,$c=3$。
∵当$x＜0$时,$y$的最小值为$-2$，
∴当$x=-\frac{b}{2}$时,$y_{最小}=-2$。
将$x=-\frac{b}{2},y=-2$代入$y=x^2+bx+3$，
得$\frac{b^2}{4}+b·(-\frac{b}{2})+3=-2$，
∴$b=2\sqrt{5}$或$b=-2\sqrt{5}$。
易得对称轴在$y$轴左侧，
∴$b=2\sqrt{5}$。
∴二次函数的表达式为$y=x^2+2\sqrt{5}x+3$。

15.如图,在2×2的网格(每个小正方形的边长为1)中,有A,O,B,C,D,E,F,H,G九个格点。
(1)对于抛物线$ L:y=\frac{1}{2}x^2 + bx + c $。
①若抛物线L经过点O(0,0)和B(1,0),则$ b= $, $ c= $;
②若抛物线L经过点H(-1,1)和G(0,1),则该抛物线的表达式为。
(2)若抛物线经过这九个格点中的三个,且顶点在格点上,求出所有满足条件的抛物线的表达式。

15. (1)①$-\frac{1}{2}$ 0
②$y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$
(2)解:①将顶点是O,经过点H和点C的抛物线的表达式设为$y=ax^2$,把$(-1,1)$代入,得$a=1$,则抛物线的表达式为$y=x^2$。
②把抛物线$y=x^2$向上平移1个单位长度,可得到顶点是G,经过点F和点D的抛物线的表达式$y=x^2+1$。
③将顶点是O,经过点F和点D的抛物线的表达式设为$y=bx^2$,把$(-1,2)$代入,得$b=2$,则抛物线的表达式为$y=2x^2$。
④将顶点是E,且经过点H和点C的抛物线的表达式设为$y=cx^2+2$,把$(-1,1)$代入,得$c=-1$,则抛物线的表达式为$y=-x^2+2$。
⑤把抛物线$y=-x^2+2$向下平移1个单位长度,可得到顶点是G,经过点A和点B的抛物线的表达式$y=-x^2+1$。
⑥将顶点是E,且经过点A和点B的抛物线的表达式设为$y=dx^2+2$,把$(1,0)$代入,得$d=-2$,则抛物线的表达式为$y=-2x^2+2$。
综上所述,满足条件的抛物线有6条:
$y=x^2,y=x^2+1,y=2x^2,y=-x^2+2,y=-x^2+1,y=-2x^2+2$。