16.如图，抛物线$y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$经过△ABC的三个顶点，点A，B在x轴上，点C在y轴上，抛物线的对称轴交x轴于点D，过点A作AE//BC交对称轴于点E，且$AC=\sqrt{13}$。
(1)求抛物线的表达式；
(2)求DE的长。

解:(1)
∵$y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$，
∴$OC=3$。
∵$AC=\sqrt{13}$，
∴$OA=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$。
∴$A(-2,0)$。
把$(-2,0)$代入$y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$，
得$0=4a-\frac{3}{2}+3$，
解得$a=-\frac{3}{8}$。
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$。
(2)
∵抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，
∴$OD=1$。
∴$AD=2+1=3,DB=3$。
∴$OB=4$。
∵$AE// BC$，
∴$∠DAE=∠CBO$。
∵$∠ADE=∠COB$，
∴$△ ADE ∽ △ BOC$。
∴$\frac{DE}{OC}=\frac{AD}{OB}$。
∴$\frac{DE}{3}=\frac{3}{4}$，
∴$DE=\frac{9}{4}$。

17.阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”。例如,点M(1,3)的特征线有:直线$x=1,y=3,y=x+2,y=-x+4$。如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,点A,C分别在x轴和y轴上,抛物线$y=\frac{1}{4}(x-a)^2 + b$经过B,C两点,顶点D在正方形内部。
(1)写出点N(2,3)的任意两条特征线;
(2)若点D有一条特征线是直线$y=x+1$,求此抛物线的表达式。

解:(1)点$N(2,3)$的任意两条特征线为直线$y=3,y=x+1$。(答案不唯一)
(2)
∵抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-a)^2 + b$，
∴点D的坐标为$(a,b)$。
∵点D有一条特征线是$y=x+1$，
∴$b=a+1$。
∴$y=\frac{1}{4}(x-a)^2 + a+1$。
易得过点D且垂直于x轴的直线为正方形OABC的对称轴，
∴$B(2a,2a)$。
∴$\frac{1}{4}(2a-a)^2 + a+1=2a$,解得$a=2$。
∴$b=3$。
∴抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2 + 3$。