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11.如图4-1-9，有一只鸟妈妈在一棵高4m的小树顶处捉虫子，它的小宝宝在距该树12m、高20m的一棵大树的树顶的窝内发出惊叫声，鸟妈妈立刻以4m/s的速度向自己的窝飞去，鸟妈妈至少需要几秒才可能到达？
答案
提示:鸟妈妈径直飞行的距离是
$\sqrt{(20-4)^2 + 12^2} = \sqrt{400} = 20(\mathrm{m}).$
飞行需要的时间是 $20 ÷ 4 = 5(\mathrm{s}).$
$\sqrt{(20-4)^2 + 12^2} = \sqrt{400} = 20(\mathrm{m}).$
飞行需要的时间是 $20 ÷ 4 = 5(\mathrm{s}).$
12. 如图4-1-10，在$△ ABC$中，$AC = BC$，$∠ C = 90°$，$AD$是角平分线，$DE ⊥ AB$，垂足为点$E$，若$CD = 1$，求$AC$的长。
答案
12. 提示:由 $AD$ 是角平分线,且 $CD ⊥ AC,DE ⊥ AB$,可得 $DE = CD = 1.$
再证 $△ BDE$ 是等腰直角三角形,由勾股定理,得
$BD = \sqrt{DE^2 + BE^2} = \sqrt{2},$
$\therefore AC = BC = CD + BD = 1 + \sqrt{2}.$
再证 $△ BDE$ 是等腰直角三角形,由勾股定理,得
$BD = \sqrt{DE^2 + BE^2} = \sqrt{2},$
$\therefore AC = BC = CD + BD = 1 + \sqrt{2}.$
13. 如图4-1-11, 在 $△ ABC$ 中, 已知 $∠ ACB = 90°, CD ⊥ AB$, 垂足为点 $D, AB = 10, BC = 8$, 求 $AC$ 和 $AD$ 的长.
答案
13. 提示:在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理,得
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 和 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,由勾股定理,得
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = BC^2 - BD^2,$
即 $6^2 - AD^2 = 8^2 - (10 - AD)^2.$ 解得 $AD = 3.6.$
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 和 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,由勾股定理,得
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = BC^2 - BD^2,$
即 $6^2 - AD^2 = 8^2 - (10 - AD)^2.$ 解得 $AD = 3.6.$
14. 如图4-1-12，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，垂足为点$D$，$BD = 2CD$，$E$是$AD$的中点。若$CE = 3$，$BD = 5$，求$AD$的长。
答案
14. 提示:在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,由勾股定理,得
$CD^2 + DE^2 = CE^2 = 9.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,由勾股定理,得
$AB^2 = BD^2 + AD^2 = 4(CD^2 + DE^2) = 36.$
$\therefore AD^2 = AB^2 - BD^2 = 36 - 25 = 11,$
即 $AD = \sqrt{11}.$
$CD^2 + DE^2 = CE^2 = 9.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,由勾股定理,得
$AB^2 = BD^2 + AD^2 = 4(CD^2 + DE^2) = 36.$
$\therefore AD^2 = AB^2 - BD^2 = 36 - 25 = 11,$
即 $AD = \sqrt{11}.$
15.如图4-1-13,在$△ ABC$中,$∠ B=45°$,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E(BE＞CE),F是AC的中点,连结AE,EF.若$BC=7$,$AC=5$,求$△ CEF$的周长.
答案
15. 提示:由 $DE$ 垂直平分 $AB$ 可得 $BE = AE.$
$\therefore ∠ BAE = ∠ ABE = 45°, ∠ BEA = 90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中,由勾股定理,得
$AE^2 + CE^2 = AC^2,$
即 $(7 - CE)^2 + CE^2 = 5^2,$
解得 $CE = 3.$
由点 $F$ 是 $AC$ 的中点可得
$EF = FC = \frac{1}{2}AC = \frac{5}{2}.$
$\therefore △ CEF$ 的周长为 $CF + CE + FE = 8.$
$\therefore ∠ BAE = ∠ ABE = 45°, ∠ BEA = 90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中,由勾股定理,得
$AE^2 + CE^2 = AC^2,$
即 $(7 - CE)^2 + CE^2 = 5^2,$
解得 $CE = 3.$
由点 $F$ 是 $AC$ 的中点可得
$EF = FC = \frac{1}{2}AC = \frac{5}{2}.$
$\therefore △ CEF$ 的周长为 $CF + CE + FE = 8.$
16.如图4-1-14,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,BC边上的高$AD=5\mathrm{cm}$,AB边上的高$CE=6\mathrm{cm}$.
(1)求AB边与BC边的数量关系.
(2)求BC边的长.
图4-1-14
(1)求AB边与BC边的数量关系.
(2)求BC边的长.
图4-1-14
答案
(1) 由三角形的面积公式可得
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CE = \frac{1}{2}BC · AD,$
$\therefore AB = \frac{BC · AD}{CE} = \frac{5}{6}BC.$
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AB^2 - BD^2 = AD^2,$
即 $(\frac{5}{6}BC)^2 - (\frac{1}{2}BC)^2 = 25,\ BC = \frac{15}{2}.$
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CE = \frac{1}{2}BC · AD,$
$\therefore AB = \frac{BC · AD}{CE} = \frac{5}{6}BC.$
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AB^2 - BD^2 = AD^2,$
即 $(\frac{5}{6}BC)^2 - (\frac{1}{2}BC)^2 = 25,\ BC = \frac{15}{2}.$
