10.(1) 如图3-1-93,在等腰$△ ABC$中,$AB = AC,∠ BAC = 90°$,直线$m$经过点$A$,$BD ⊥ m,CE ⊥ m$,垂足分别为点$D,E$.证明:$DE = BD + CE$.

(2) 如图3-1-94,将(1)中的条件改为:“在等腰$△ ABC$中,$AB = AC,D,A,E$三点都在直线$m$上,并且有$∠ BDA = ∠ AEC = ∠ BAC = α$,其中$α$为任意锐角或钝角.”请问结论$DE = BD + CE$是否成立,若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

(3) 拓展应用:如图3-1-95,$D,A,E$是直线$m$上的三点,$△ ABF$和$△ ACF$均为等边三角形,连结$BD,CE$.若$∠ BDA = ∠ AEC = ∠ BAC$,试判断$△ DEF$的形状.

10. (1) 提示:先证 $∠ABD = ∠CAE$,由 AAS 判定 $△ ABD ≌ △ CAE$.
(2) 类似(1) 由 AAS 判定 $△ ABD ≌ △ CAE$.
(3) 先由 AAS 判定 $△ ABD ≌ △ CAE$;
再由 SAS 判定 $△ BDF ≌ △ AEF$;
进而推出 $∠DFE = 60°$,可判定 $△ DEF$ 是等边三角形.

11. (1) 如图3-1-96,在$△ ABC$中,点D在BC边上,$AB = AC = BD$,设$∠ CAD = ∠ α$,$∠ ADB = ∠ β$.若$AD = CD$,求$∠ α$和$∠ β$的度数.
(2) 如图3-1-97,将(1)中条件“$AD = CD$”改为“$∠ α = 30°$”,其他条件不变,求$∠ β$的度数.
(3) 去掉(2)中的条件“$∠ α = 30°$”,参考图3-1-97和(1)(2)的解答过程,推测$∠ β$与$∠ α$的关系是.
(4) 如图3-1-98,在$△ ABC$中,点D在BC边上,$CD = AB$,$∠ BAD = 21°$,$∠ ADC = 67°$.求证:$AC = AB$.

11. (1) 提示:由 $AB = AC = BD$ 可得
$∠B = ∠C, ∠BAD = ∠BDA = ∠β$.
由 $AD = CD$ 可得 $∠CAD = ∠C = ∠α$.
又由 $∠ADB$ 是 $△ ACD$ 的外角可得
$∠β = ∠C + ∠α = 2∠α$.
$\therefore ∠BAC + ∠B + ∠C = 5∠α = 180°$,
即 $∠α = 36°, ∠β = 72°$.
(2) 提示:由 $AB = AC = BD$ 可得
$∠B = ∠C, ∠BAD = ∠BDA = ∠β$.
又由 $∠β$ 是 $△ ACD$ 的外角可得
$∠β = ∠C + ∠α$,
即 $∠C = ∠β - ∠α$.
$\therefore ∠BAC + ∠B + ∠C = 3∠β - ∠α = 180°$,
$\therefore ∠β = 70°$.
(3) $∠β$ 与 $∠α$ 的关系是 $3∠β - ∠α = 180°$.
(4) 提示:根据 $∠BAD = 21°,∠ADC = 67°$
可得 $∠B = ∠ADC - ∠BAD = 46°$.
在 BC 上取一点 E,使 $BE = AB$,连结 AE.则
$∠BAE = ∠BEA = \frac{1}{2}(180° - ∠B) = 67°$.
$\therefore ∠ADE = ∠AED$.
$\therefore AD = AE$.
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD$.
$\therefore AC = AB$.