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1. 下列方程是一元二次方程的为 （）
A.$x^2 = 0$
B.$x(x - 1) = x^2$
C.$x^2 + y = 1$
D.$(x^2 - 1)^2 = 1$
A.$x^2 = 0$
B.$x(x - 1) = x^2$
C.$x^2 + y = 1$
D.$(x^2 - 1)^2 = 1$
答案
A
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程的判定标准，需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且化简后二次项系数不为0。我们只需将每个选项的方程整理化简后，对照三个条件逐一判断即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义逐一分析选项：
A. 方程$x^2=0$是整式方程，仅含未知数$x$，且$x$的最高次数为2，满足一元二次方程的所有判定条件，符合要求；
B. 先化简方程：左边展开得$x(x-1)=x^2-x$，原方程整理为$x^2-x=x^2$，移项合并同类项后得$-x=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合；
C. 方程中同时含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程“仅含1个未知数”的要求，不符合；
D. 展开方程左边得$(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1$，原方程整理为$x^4-2x^2=0$，未知数$x$的最高次数为4，属于一元四次方程，不符合。
综上，只有A选项是一元二次方程。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；整式的化简
【点评】
本题属于基础概念类题目，解题核心是准确把握一元二次方程的判定规则，注意要先把方程整理为最简形式再判断，不要仅根据原式的表面结构误判。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确一元二次方程的判定标准，需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且化简后二次项系数不为0。我们只需将每个选项的方程整理化简后，对照三个条件逐一判断即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义逐一分析选项：
A. 方程$x^2=0$是整式方程，仅含未知数$x$，且$x$的最高次数为2，满足一元二次方程的所有判定条件，符合要求；
B. 先化简方程：左边展开得$x(x-1)=x^2-x$，原方程整理为$x^2-x=x^2$，移项合并同类项后得$-x=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合；
C. 方程中同时含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程“仅含1个未知数”的要求，不符合；
D. 展开方程左边得$(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1$，原方程整理为$x^4-2x^2=0$，未知数$x$的最高次数为4，属于一元四次方程，不符合。
综上，只有A选项是一元二次方程。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；整式的化简
【点评】
本题属于基础概念类题目，解题核心是准确把握一元二次方程的判定规则，注意要先把方程整理为最简形式再判断，不要仅根据原式的表面结构误判。
【难度系数】
0.9
2. 已知$2+\sqrt{3}$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +m=0$的一个实数根，则实数$m$的值是（）
A.0
B.1
C.-3
D.-1
A.0
B.1
C.-3
D.-1
答案
B
解析
【分析】
已知一个实数根是一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，根代入方程后等式左右两边相等，因此我们可以将$2+\sqrt{3}$代入原方程，得到只含m的方程，求解即可得到m的值；也可以利用韦达定理，通过两根之和先求出另一根，再由两根之积求出m。
【解析】
方法一：代入法
∵$2+\sqrt{3}$是方程$x^2-4x+m=0$的实数根
∴将$x=2+\sqrt{3}$代入方程得：
$(2+\sqrt{3})^2 -4×(2+\sqrt{3}) +m =0$
展开计算：
$4 + 4\sqrt{3} +3 - 8 -4\sqrt{3} +m =0$
合并同类项后得：
$-1 +m =0$
解得$m=1$
方法二：韦达定理法
设方程的另一根为$x_2$，对于一元二次方程$x^2-4x+m=0$，由韦达定理得：
两根之和：$2+\sqrt{3} +x_2 =4$，解得$x_2=2-\sqrt{3}$
两根之积：$m=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，二次根式运算，韦达定理
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查方程根的性质，无论是直接代入计算还是用韦达定理求解，都需要熟练掌握整式和二次根式的运算规则，计算时注意同类项的合并，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
已知一个实数根是一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，根代入方程后等式左右两边相等，因此我们可以将$2+\sqrt{3}$代入原方程，得到只含m的方程，求解即可得到m的值；也可以利用韦达定理，通过两根之和先求出另一根，再由两根之积求出m。
【解析】
方法一：代入法
∵$2+\sqrt{3}$是方程$x^2-4x+m=0$的实数根
∴将$x=2+\sqrt{3}$代入方程得：
$(2+\sqrt{3})^2 -4×(2+\sqrt{3}) +m =0$
展开计算：
$4 + 4\sqrt{3} +3 - 8 -4\sqrt{3} +m =0$
合并同类项后得：
$-1 +m =0$
解得$m=1$
方法二：韦达定理法
设方程的另一根为$x_2$，对于一元二次方程$x^2-4x+m=0$，由韦达定理得：
两根之和：$2+\sqrt{3} +x_2 =4$，解得$x_2=2-\sqrt{3}$
两根之积：$m=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，二次根式运算，韦达定理
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查方程根的性质，无论是直接代入计算还是用韦达定理求解，都需要熟练掌握整式和二次根式的运算规则，计算时注意同类项的合并，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
3. 用配方法解一元二次方程$x^2 -6x +8=0$，配方后得到的方程是（）
A.$(x+6)^2=28$
B.$(x-6)^2=28$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x-3)^2=1$
A.$(x+6)^2=28$
B.$(x-6)^2=28$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x-3)^2=1$
答案
D
解析
【分析】
要解这道题，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤思考：首先把方程中的常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧凑成完全平方式，整理后即可得到配方后的方程，对照选项就能选出正确答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x +8=0$按配方法步骤变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 -6x = -8$
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\dfrac{-6}{2})^2=9$，给方程左右两边同时加9：
$x^2 -6x +9 = -8 +9$
3. 左侧整理为完全平方形式，右侧计算结果：
$(x-3)^2=1$
因此配方后得到的方程为$(x-3)^2=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作流程，熟练掌握移项、凑完全平方的操作规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解这道题，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤思考：首先把方程中的常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧凑成完全平方式，整理后即可得到配方后的方程，对照选项就能选出正确答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x +8=0$按配方法步骤变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 -6x = -8$
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\dfrac{-6}{2})^2=9$，给方程左右两边同时加9：
$x^2 -6x +9 = -8 +9$
3. 左侧整理为完全平方形式，右侧计算结果：
$(x-3)^2=1$
因此配方后得到的方程为$(x-3)^2=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作流程，熟练掌握移项、凑完全平方的操作规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
4. (2025·河北)若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于 ()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$m$与两根之积$n$，最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2+2x-3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
第二步：根据根与系数的关系求$m$、$n$：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
因此两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
第三步：判断点$(m,n)$所在象限：
点的坐标为$(-2,-3)$，横坐标和纵坐标均为负数，符合第三象限的坐标特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系象限判定
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查韦达定理的应用和象限的坐标特征，解题时需注意先将方程化为一般形式再代入公式计算，避免因符号记错导致错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$m$与两根之积$n$，最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2+2x-3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
第二步：根据根与系数的关系求$m$、$n$：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
因此两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
第三步：判断点$(m,n)$所在象限：
点的坐标为$(-2,-3)$，横坐标和纵坐标均为负数，符合第三象限的坐标特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系象限判定
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查韦达定理的应用和象限的坐标特征，解题时需注意先将方程化为一般形式再代入公式计算，避免因符号记错导致错误。
【难度系数】
0.8
5. (2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人次，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为 ()
A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
答案
B
解析
【分析】
这是典型的连续增长率问题，属于一元二次方程的常见应用题型。解题思路如下：第一步，设年平均增长率为未知数x；第二步，牢记增长率通用公式：增长n次后的总量=初始总量×(1+增长率)ⁿ，本题初始量是2022年的25万人次，增长次数为2次，最终总量是2024年的36万人次，将对应数值代入公式列出方程；第三步，求解方程后结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的根，即可得到答案。
【解析】
解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x。
根据题意可列方程：
$25(1+x)^2=36$
方程两边同时除以25，得：
$(1+x)^2=\frac{36}{25}$
开平方得：
$1+x=\pm\frac{6}{5}$
①当$1+x=\frac{6}{5}$时，解得$x=\frac{1}{5}=20\%$，符合实际意义；
②当$1+x=-\frac{6}{5}$时，解得$x=-\frac{11}{5}$，增长率不能为负，不符合题意，舍去。
因此年平均增长率为20%。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题侧重考查基础应用能力，解题核心是熟练掌握增长率的计算公式，求解后注意结合实际场景对根进行取舍，排除不符合要求的解即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这是典型的连续增长率问题，属于一元二次方程的常见应用题型。解题思路如下：第一步，设年平均增长率为未知数x；第二步，牢记增长率通用公式：增长n次后的总量=初始总量×(1+增长率)ⁿ，本题初始量是2022年的25万人次，增长次数为2次，最终总量是2024年的36万人次，将对应数值代入公式列出方程；第三步，求解方程后结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的根，即可得到答案。
【解析】
解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x。
根据题意可列方程：
$25(1+x)^2=36$
方程两边同时除以25，得：
$(1+x)^2=\frac{36}{25}$
开平方得：
$1+x=\pm\frac{6}{5}$
①当$1+x=\frac{6}{5}$时，解得$x=\frac{1}{5}=20\%$，符合实际意义；
②当$1+x=-\frac{6}{5}$时，解得$x=-\frac{11}{5}$，增长率不能为负，不符合题意，舍去。
因此年平均增长率为20%。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题侧重考查基础应用能力，解题核心是熟练掌握增长率的计算公式，求解后注意结合实际场景对根进行取舍，排除不符合要求的解即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
6. (2025·台湾改编)已知甲方程式为$(x-4)^2=9$，乙方程式为$(x+9)^2=-4$。关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述正确的是（）
A.甲有两个相异的解，乙无解
B.甲有两个相异的解，乙有两个相异的解
C.甲有两个相同的解，乙无解
D.甲有两个相同的解，乙有两个相异的解
A.甲有两个相异的解，乙无解
B.甲有两个相异的解，乙有两个相异的解
C.甲有两个相同的解，乙无解
D.甲有两个相同的解，乙有两个相异的解
答案
A
解析
【分析】
拿到本题首先观察两个方程的形式，均为“完全平方式=常数”的结构，可结合平方的非负性和直接开平方法解一元二次方程的规则判断根的情况：若完全平方式等于的常数为正，方程有两个相异实根；等于0时有两个相等实根；小于0时无实根。先判断甲方程右侧9＞0，可得根的情况，再判断乙方程右侧-4＜0，可得根的情况，对应选项即可。
【解析】
解：① 求解甲方程$(x-4)^2=9$：
两边同时开平方得：$x-4=\pm3$，
即$x-4=3$或$x-4=-3$，
解得$x_1=7$，$x_2=1$，因此甲有两个相异的解。
② 判断乙方程$(x+9)^2=-4$的解的情况：
根据平方的性质，任意实数的平方都是非负数，即对任意实数$x$，都满足$(x+9)^2≥0$，而方程右侧为$-4＜0$，因此不存在实数$x$满足该方程，乙无解。
综上，甲有两个相异的解，乙无解，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
【点评】
本题是判断一元二次方程根的情况的基础题，解题核心是熟练掌握完全平方式的非负性，结合直接开平方法的规则即可快速得出结论，易错点是忽略平方数非负的性质，误判乙方程有解。
【难度系数】
0.85
拿到本题首先观察两个方程的形式，均为“完全平方式=常数”的结构，可结合平方的非负性和直接开平方法解一元二次方程的规则判断根的情况：若完全平方式等于的常数为正，方程有两个相异实根；等于0时有两个相等实根；小于0时无实根。先判断甲方程右侧9＞0，可得根的情况，再判断乙方程右侧-4＜0，可得根的情况，对应选项即可。
【解析】
解：① 求解甲方程$(x-4)^2=9$：
两边同时开平方得：$x-4=\pm3$，
即$x-4=3$或$x-4=-3$，
解得$x_1=7$，$x_2=1$，因此甲有两个相异的解。
② 判断乙方程$(x+9)^2=-4$的解的情况：
根据平方的性质，任意实数的平方都是非负数，即对任意实数$x$，都满足$(x+9)^2≥0$，而方程右侧为$-4＜0$，因此不存在实数$x$满足该方程，乙无解。
综上，甲有两个相异的解，乙无解，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
【点评】
本题是判断一元二次方程根的情况的基础题，解题核心是熟练掌握完全平方式的非负性，结合直接开平方法的规则即可快速得出结论，易错点是忽略平方数非负的性质，误判乙方程有解。
【难度系数】
0.85
7. (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程$x^2 -10x +21=0$的两个根,则这个三角形的周长为 ()
A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13
A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13
答案
C
解析
【分析】
解题需分三步进行：第一步先求解一元二次方程，得到两根即为等腰三角形的两条边长；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的取值；第三步利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -10x +21=0$因式分解，得$(x-3)(x-7)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=7$，即等腰三角形的两边长为3和7。
2. 分情况讨论并验证：
① 若腰长为3，底边长为7：
此时三边长为3、3、7，$\because 3+3=6＜7$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况；
② 若腰长为7，底边长为3：
此时三边长为7、7、3，$\because 3+7＞7$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
3. 计算周长：
周长为$7+7+3=17$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是忽略三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长误选A，遇到等腰三角形边长相关问题时，一定要先验证三边是否能构成三角形，再计算对应周长。
【难度系数】
0.7
解题需分三步进行：第一步先求解一元二次方程，得到两根即为等腰三角形的两条边长；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的取值；第三步利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -10x +21=0$因式分解，得$(x-3)(x-7)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=7$，即等腰三角形的两边长为3和7。
2. 分情况讨论并验证：
① 若腰长为3，底边长为7：
此时三边长为3、3、7，$\because 3+3=6＜7$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况；
② 若腰长为7，底边长为3：
此时三边长为7、7、3，$\because 3+7＞7$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
3. 计算周长：
周长为$7+7+3=17$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是忽略三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长误选A，遇到等腰三角形边长相关问题时，一定要先验证三边是否能构成三角形，再计算对应周长。
【难度系数】
0.7
8.(2024·绥化)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5。则原来的方程是 ()
A.$x^2+6x+5=0$
B.$x^2-7x+10=0$
C.$x^2-5x+2=0$
D.$x^2-6x-10=0$
A.$x^2+6x+5=0$
B.$x^2-7x+10=0$
C.$x^2-5x+2=0$
D.$x^2-6x-10=0$
答案
B
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：1. 明确小影仅写错常数项，说明她求解得到的两根之和是正确的，因为一次项系数未出错，两根之和仅和一次项、二次项系数有关；2. 明确小冬仅写错一次项系数，说明他求解得到的两根之积是正确的，因为常数项未出错，两根之积仅和常数项、二次项系数有关；3. 结合选项二次项系数均为1的特点，分别计算正确的一次项系数和常数项，即可得到原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（二次项系数为1，符合选项形式），根据韦达定理：若方程两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。
① 小影仅写错常数项，一次项系数正确，因此她得到的两根之和等于原方程两根之和：
$6+1=7=-b$，解得$b=-7$；
② 小冬仅写错一次项系数，常数项正确，因此他得到的两根之积等于原方程两根之积：
$(-2)×(-5)=10=c$；
综上，原方程为$x^2-7x+10=0$。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理；一元二次方程的解
【点评】
本题属于韦达定理的基础应用题型，解题的核心是准确判断写错不同系数时，根的哪项运算结果仍然有效，熟练掌握根与系数的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：1. 明确小影仅写错常数项，说明她求解得到的两根之和是正确的，因为一次项系数未出错，两根之和仅和一次项、二次项系数有关；2. 明确小冬仅写错一次项系数，说明他求解得到的两根之积是正确的，因为常数项未出错，两根之积仅和常数项、二次项系数有关；3. 结合选项二次项系数均为1的特点，分别计算正确的一次项系数和常数项，即可得到原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（二次项系数为1，符合选项形式），根据韦达定理：若方程两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。
① 小影仅写错常数项，一次项系数正确，因此她得到的两根之和等于原方程两根之和：
$6+1=7=-b$，解得$b=-7$；
② 小冬仅写错一次项系数，常数项正确，因此他得到的两根之积等于原方程两根之积：
$(-2)×(-5)=10=c$；
综上，原方程为$x^2-7x+10=0$。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理；一元二次方程的解
【点评】
本题属于韦达定理的基础应用题型，解题的核心是准确判断写错不同系数时，根的哪项运算结果仍然有效，熟练掌握根与系数的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
