登录
19. (12分)综合与实践
“山西三日游”的调研分析
背景：随着“跟着悟空游山西”主题线路的发布，山西成为近期热度最高的旅游目的地之一。某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对活动的定价和报名人数进行调研。
素材1：活动推出后，9月份报名参加“山西三日游”的人数为1 500人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份的报名人数将达到2 160人。
素材2：该旅行社“山西三日游”活动
初步方案为：30人起组团，每人的团费为900元。经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元。
问题解决
任务1：求从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率。
任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为32 000元，求下调后每人的团费。
请完成“问题解决”中的任务1和任务2。
“山西三日游”的调研分析
背景：随着“跟着悟空游山西”主题线路的发布，山西成为近期热度最高的旅游目的地之一。某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对活动的定价和报名人数进行调研。
素材1：活动推出后，9月份报名参加“山西三日游”的人数为1 500人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份的报名人数将达到2 160人。
素材2：该旅行社“山西三日游”活动
初步方案为：30人起组团，每人的团费为900元。经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元。问题解决
任务1：求从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率。
任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为32 000元，求下调后每人的团费。
请完成“问题解决”中的任务1和任务2。
答案
解：
任务1：设从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为x，
根据题意列方程：
$1500(1+x)^2=2160$
整理得：$(1+x)^2=1.44$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合实际意义，舍去）。
任务2：设每人团费下调了$10x$元，则下调后每人的团费为$(900-10x)$元，此时平均每个团的报名人数为$(30+x)$人。
由每人团费不低于750元，得：$900-10x\ge750$，即$x\le15$。
根据总团费为32000元列方程：
$(900-10x)(30+x)=32000$
整理得：$x^2-60x+500=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=50$。
∵$x\le15$，
∴$x=50$不符合题意，舍去。
则下调后每人的团费为$900-10×10=800$元。
答：从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为20%，下调后每人的团费为800元。
任务1：设从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为x，
根据题意列方程：
$1500(1+x)^2=2160$
整理得：$(1+x)^2=1.44$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合实际意义，舍去）。
任务2：设每人团费下调了$10x$元，则下调后每人的团费为$(900-10x)$元，此时平均每个团的报名人数为$(30+x)$人。
由每人团费不低于750元，得：$900-10x\ge750$，即$x\le15$。
根据总团费为32000元列方程：
$(900-10x)(30+x)=32000$
整理得：$x^2-60x+500=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=50$。
∵$x\le15$，
∴$x=50$不符合题意，舍去。
则下调后每人的团费为$900-10×10=800$元。
答：从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为20%，下调后每人的团费为800元。
解析
【分析】
任务1属于平均增长率类应用题，解题时先设月平均增长率为x，9月份报名人数为初始量1500人，经过2个月增长到11月份的2160人，按照平均增长率的通用公式“初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量”列方程即可求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
任务2属于收费类实际应用问题，根据“每降低10元，报名人数增加1人”的条件，可设每人团费下调了10x元，依次表示出下调后的每人团费和对应报名人数，再根据“总团费=每人团费×报名人数”的等量关系列方程，同时要结合题目中“每人团费不低于750元”的限制，对解得的结果进行筛选，得到符合要求的团费。
【解析】
任务1求解：
设从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为x，
根据题意列方程：
$1500(1+x)^2=2160$
整理得：$(1+x)^2=1.44$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$，增长率不能为负，不符合实际意义，舍去。
任务2求解：
设每人团费下调了$10x$元，则下调后每人的团费为$(900-10x)$元，此时平均每个团的报名人数为$(30+x)$人。
由每人团费不低于750元，得：$900-10x\ge750$，解得$x\le15$。
根据总团费为32000元列方程：
$(900-10x)(30+x)=32000$
整理得：$x^2-60x+500=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=50$。
∵$x\le15$，
∴$x=50$不符合题意，舍去。
则下调后每人的团费为$900-10×10=800$元。
【答案】
从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为20%，下调后每人的团费为800元。
【知识点】
一元二次方程应用；平均增长率计算；实际问题解的取舍
【点评】
本题结合热门旅游的真实场景，考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题时需要准确提取题干中的数量关系列方程，同时要结合实际限制条件对解进行筛选，贴合生活实际，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
任务1属于平均增长率类应用题，解题时先设月平均增长率为x，9月份报名人数为初始量1500人，经过2个月增长到11月份的2160人，按照平均增长率的通用公式“初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量”列方程即可求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
任务2属于收费类实际应用问题，根据“每降低10元，报名人数增加1人”的条件，可设每人团费下调了10x元，依次表示出下调后的每人团费和对应报名人数，再根据“总团费=每人团费×报名人数”的等量关系列方程，同时要结合题目中“每人团费不低于750元”的限制，对解得的结果进行筛选，得到符合要求的团费。
【解析】
任务1求解：
设从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为x，
根据题意列方程：
$1500(1+x)^2=2160$
整理得：$(1+x)^2=1.44$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$，增长率不能为负，不符合实际意义，舍去。
任务2求解：
设每人团费下调了$10x$元，则下调后每人的团费为$(900-10x)$元，此时平均每个团的报名人数为$(30+x)$人。
由每人团费不低于750元，得：$900-10x\ge750$，解得$x\le15$。
根据总团费为32000元列方程：
$(900-10x)(30+x)=32000$
整理得：$x^2-60x+500=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=50$。
∵$x\le15$，
∴$x=50$不符合题意，舍去。
则下调后每人的团费为$900-10×10=800$元。
【答案】
从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为20%，下调后每人的团费为800元。
【知识点】
一元二次方程应用；平均增长率计算；实际问题解的取舍
【点评】
本题结合热门旅游的真实场景，考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题时需要准确提取题干中的数量关系列方程，同时要结合实际限制条件对解进行筛选，贴合生活实际，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
