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17. (10分)建设美丽城市,改造老旧小区。某市2023年投入资金1 000万元,2025年投入资金1 440万元,现假定每年投入资金的增长率相同。
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率。
(2)2025年老旧小区改造的平均费用为每个80万元。2026年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加15%。如果投入资金年增长率保持不变,求该市在2026年最多可以改造多少个老旧小区。
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率。
(2)2025年老旧小区改造的平均费用为每个80万元。2026年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加15%。如果投入资金年增长率保持不变,求该市在2026年最多可以改造多少个老旧小区。
答案
解：
(1) 设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
根据题意列方程得：
$1000(1+x)^2 = 1440$
整理得：$(1+x)^2 = 1.44$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2) 设该市在2026年可以改造$a$个老旧小区，
2026年的投入资金为：$1440×(1+20\%)=1728$万元，
2026年每个小区的改造费用为：$80×(1+15\%)=92$万元，
根据题意列不等式得：
$92a ≤ 1728$
解得：$a ≤ \frac{1728}{92} \approx 18.78$
∵$a$为正整数，
∴$a$的最大取值为18。
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%，2026年最多可以改造18个老旧小区。
(1) 设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
根据题意列方程得：
$1000(1+x)^2 = 1440$
整理得：$(1+x)^2 = 1.44$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2) 设该市在2026年可以改造$a$个老旧小区，
2026年的投入资金为：$1440×(1+20\%)=1728$万元，
2026年每个小区的改造费用为：$80×(1+15\%)=92$万元，
根据题意列不等式得：
$92a ≤ 1728$
解得：$a ≤ \frac{1728}{92} \approx 18.78$
∵$a$为正整数，
∴$a$的最大取值为18。
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%，2026年最多可以改造18个老旧小区。
解析
【分析】
本题分为两小问，(1)是典型的增长率问题，解题思路如下：首先明确增长率问题的等量关系：初始投入资金×(1+年平均增长率)^增长年数=最终投入资金，2023年到2025年间隔2年，设年平均增长率为x，代入已知数据列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根；(2)是不等式的实际应用，首先根据(1)求出的增长率计算2026年的总投入资金，再计算2026年每个小区的改造费用，设改造小区数量为a，根据“总改造费用≤总投入资金”列不等式求解，注意小区数量为正整数，结果需取最大的符合条件的正整数。
【解析】
(1) 设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
根据题意列方程得：
$1000(1+x)^2 = 1440$
整理得：$(1+x)^2 = 1.44$
开方得：$1+x = ±1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
(2) 设该市在2026年可以改造$a$个老旧小区，
首先计算2026年的投入资金：$1440×(1+20\%)=1728$（万元）
再计算2026年每个小区的改造费用：$80×(1+15\%)=92$（万元）
根据总改造费用不超过总投入资金，列不等式得：
$92a ≤ 1728$
解得：$a ≤ \frac{1728}{92} \approx 18.78$
∵$a$为正整数，
∴$a$的最大取值为18。
【答案】
(1) 该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%；(2) 2026年最多可以改造18个老旧小区。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合老旧小区改造的实际场景，考查了方程与不等式的实际应用，解题时需注意结合实际意义对计算结果进行取舍，易错点为忽略增长率的取值范围未舍去负根，以及求小区数量时未按实际情况取整。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，(1)是典型的增长率问题，解题思路如下：首先明确增长率问题的等量关系：初始投入资金×(1+年平均增长率)^增长年数=最终投入资金，2023年到2025年间隔2年，设年平均增长率为x，代入已知数据列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根；(2)是不等式的实际应用，首先根据(1)求出的增长率计算2026年的总投入资金，再计算2026年每个小区的改造费用，设改造小区数量为a，根据“总改造费用≤总投入资金”列不等式求解，注意小区数量为正整数，结果需取最大的符合条件的正整数。
【解析】
(1) 设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
根据题意列方程得：
$1000(1+x)^2 = 1440$
整理得：$(1+x)^2 = 1.44$
开方得：$1+x = ±1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
(2) 设该市在2026年可以改造$a$个老旧小区，
首先计算2026年的投入资金：$1440×(1+20\%)=1728$（万元）
再计算2026年每个小区的改造费用：$80×(1+15\%)=92$（万元）
根据总改造费用不超过总投入资金，列不等式得：
$92a ≤ 1728$
解得：$a ≤ \frac{1728}{92} \approx 18.78$
∵$a$为正整数，
∴$a$的最大取值为18。
【答案】
(1) 该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%；(2) 2026年最多可以改造18个老旧小区。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合老旧小区改造的实际场景，考查了方程与不等式的实际应用，解题时需注意结合实际意义对计算结果进行取舍，易错点为忽略增长率的取值范围未舍去负根，以及求小区数量时未按实际情况取整。
【难度系数】
0.7
18. (11分)已知关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2+2bx+a-c=0$，其中$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长。
(1)如果$x=-1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(3)如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。
(1)如果$x=-1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(3)如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。
答案
解：
(1) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because x=-1$是方程的根，
$\therefore$ 将$x=-1$代入方程$(a+c)x^2+2bx+a-c=0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + a - c = 0$，
整理得：$2a - 2b = 0$，即$a = b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $△ ABC$是直角三角形，理由如下：
$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore$ 一元二次方程的判别式$\Delta=0$，即：
$(2b)^2 - 4(a+c)(a-c) = 0$，
整理得：$4b^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0$，
化简得：$b^2 + c^2 = a^2$，
由勾股定理逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形。
(3) 当$△ ABC$是等边三角形时，$a = b = c ＞ 0$，
将$a=b=c$代入原方程，得：
$2ax^2 + 2ax = 0$，
$\because a＞0$，方程两边同时除以$2a$，得：
$x^2 + x = 0$，
因式分解得：$x(x+1)=0$，
解得：$x_1=0$，$x_2=-1$。
(1) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because x=-1$是方程的根，
$\therefore$ 将$x=-1$代入方程$(a+c)x^2+2bx+a-c=0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + a - c = 0$，
整理得：$2a - 2b = 0$，即$a = b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $△ ABC$是直角三角形，理由如下：
$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore$ 一元二次方程的判别式$\Delta=0$，即：
$(2b)^2 - 4(a+c)(a-c) = 0$，
整理得：$4b^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0$，
化简得：$b^2 + c^2 = a^2$，
由勾股定理逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形。
(3) 当$△ ABC$是等边三角形时，$a = b = c ＞ 0$，
将$a=b=c$代入原方程，得：
$2ax^2 + 2ax = 0$，
$\because a＞0$，方程两边同时除以$2a$，得：
$x^2 + x = 0$，
因式分解得：$x(x+1)=0$，
解得：$x_1=0$，$x_2=-1$。
解析
【分析】
本题为一元二次方程与三角形性质结合的综合基础题，各小问解题思路清晰：
(1) 若x是方程的根，则代入方程可使等式成立，因此将x=-1代入原方程，化简后得到a、b的等量关系，即可判断△ABC的形状；
(2) 一元二次方程有两个相等实数根等价于判别式Δ=0，因此计算对应判别式并令其为0，整理得到三边的数量关系，结合勾股定理逆定理即可判断三角形形状；
(3) 等边三角形三边相等，即a=b=c，将该关系代入原方程化简，结合三角形边长为正的条件求解一元二次方程即可得到根。
【解析】
(1) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because x=-1$是方程的根，
$\therefore$ 将$x=-1$代入方程$(a+c)x^2+2bx+a-c=0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + a - c = 0$，
整理得：$2a - 2b = 0$，即$a = b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $△ ABC$是直角三角形，理由如下：
$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore$ 一元二次方程的判别式$\Delta=0$，即：
$(2b)^2 - 4(a+c)(a-c) = 0$，
整理得：$4b^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0$，
化简得：$b^2 + c^2 = a^2$，
由勾股定理逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形。
(3) 当$△ ABC$是等边三角形时，$a = b = c ＞ 0$，
将$a=b=c$代入原方程，得：
$2ax^2 + 2ax = 0$，
$\because a＞0$，方程两边同时除以$2a$，得：
$x^2 + x = 0$，
因式分解得：$x(x+1)=0$，
解得：$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) 等腰三角形；(2) 直角三角形；(3) $x_1=0$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，勾股定理逆定理
【点评】
本题结合代数、几何两个模块的基础知识点命题，考察内容难度不高，重点要求学生熟练掌握一元二次方程的相关性质以及特殊三角形的边长关系，能够有效检验学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
本题为一元二次方程与三角形性质结合的综合基础题，各小问解题思路清晰：
(1) 若x是方程的根，则代入方程可使等式成立，因此将x=-1代入原方程，化简后得到a、b的等量关系，即可判断△ABC的形状；
(2) 一元二次方程有两个相等实数根等价于判别式Δ=0，因此计算对应判别式并令其为0，整理得到三边的数量关系，结合勾股定理逆定理即可判断三角形形状；
(3) 等边三角形三边相等，即a=b=c，将该关系代入原方程化简，结合三角形边长为正的条件求解一元二次方程即可得到根。
【解析】
(1) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because x=-1$是方程的根，
$\therefore$ 将$x=-1$代入方程$(a+c)x^2+2bx+a-c=0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + a - c = 0$，
整理得：$2a - 2b = 0$，即$a = b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $△ ABC$是直角三角形，理由如下：
$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore$ 一元二次方程的判别式$\Delta=0$，即：
$(2b)^2 - 4(a+c)(a-c) = 0$，
整理得：$4b^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0$，
化简得：$b^2 + c^2 = a^2$，
由勾股定理逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形。
(3) 当$△ ABC$是等边三角形时，$a = b = c ＞ 0$，
将$a=b=c$代入原方程，得：
$2ax^2 + 2ax = 0$，
$\because a＞0$，方程两边同时除以$2a$，得：
$x^2 + x = 0$，
因式分解得：$x(x+1)=0$，
解得：$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) 等腰三角形；(2) 直角三角形；(3) $x_1=0$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，勾股定理逆定理
【点评】
本题结合代数、几何两个模块的基础知识点命题，考察内容难度不高，重点要求学生熟练掌握一元二次方程的相关性质以及特殊三角形的边长关系，能够有效检验学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
