16. (9分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m - 2)x + \frac{m^2}{4} - m = 0$。
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根都是正整数,求$m$的最小值。

(1) 证明：
在一元二次方程$x^2 - (m - 2)x + \frac{m^2}{4} - m = 0$中，
$a=1$，$b=-(m-2)$，$c=\frac{m^2}{4}-m$，
判别式
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= [-(m-2)]^2 - 4×1×(\frac{m^2}{4} - m) \\&= m^2 -4m +4 - m^2 +4m \\&=4\end{aligned}$
$\because \Delta=4＞0$，
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由求根公式得：
$x = \frac{(m-2)\pm\sqrt{\Delta}}{2} = \frac{(m-2)\pm2}{2}$
因此两个根分别为：
$x_1 = \frac{m-2+2}{2} = \frac{m}{2}$，$x_2 = \frac{m-2-2}{2} = \frac{m-4}{2}$。
$\because$ 方程的两个根都是正整数，
$\therefore \frac{m}{2}＞0$且$\frac{m-4}{2}＞0$，即$m＞4$，且$\frac{m}{2}$为正整数。
满足条件的最小正整数$\frac{m}{2}=3$，对应$m=6$。
答：$m$的最小值为6。

【分析】
(1)要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是验证根的判别式Δ恒大于0：先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入Δ=b²-4ac化简计算，再判断化简结果的符号即可完成证明。
(2)先利用求根公式求出两个用含m的代数式表示的实根，再根据“两个根都是正整数”的条件，列出关于m的不等式，结合整数的取值要求，即可找到满足条件的最小m值。
【解析】
(1) 证明：
在一元二次方程$x^2 - (m - 2)x + \frac{m^2}{4} - m = 0$中，
$a=1$，$b=-(m-2)$，$c=\frac{m^2}{4}-m$，
判别式
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= [-(m-2)]^2 - 4×1×(\frac{m^2}{4} - m) \\&= m^2 -4m +4 - m^2 +4m \\&=4\end{aligned}$
$\because \Delta=4＞0$，
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由求根公式得：
$x = \frac{(m-2)\pm\sqrt{\Delta}}{2} = \frac{(m-2)\pm2}{2}$
因此两个根分别为：
$x_1 = \frac{m-2+2}{2} = \frac{m}{2}$，$x_2 = \frac{m-2-2}{2} = \frac{m-4}{2}$。
$\because$ 方程的两个根都是正整数，
$\therefore \frac{m}{2}＞0$且$\frac{m-4}{2}＞0$，即$m＞4$，且$\frac{m}{2}$为正整数。
满足条件的最小正整数$\frac{m}{2}=3$，对应$m=6$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $m$的最小值为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
根的判别式，求根公式，整数根求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的相关性质，第一问是判别式的基础应用，第二问需要结合根的属性列不等式求解参数最值，考察内容基础，计算量小，熟练掌握一元二次方程的核心公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.75