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三、解答题(共58分)
15. (16分)用指定方法解方程：
(1)$3x^2 -6x +1=0$(配方法)；
(2)$x^2 +5x +3=0$(公式法)；
(3)(2024·安徽)$x^2 -2x=3$(公式法)；
(4)$(x-2)^2=4(x+1)^2$(因式分解法)。
15. (16分)用指定方法解方程：
(1)$3x^2 -6x +1=0$(配方法)；
(2)$x^2 +5x +3=0$(公式法)；
(3)(2024·安徽)$x^2 -2x=3$(公式法)；
(4)$(x-2)^2=4(x+1)^2$(因式分解法)。
答案
解：
(1) 移项，得 $3x^2 - 6x = -1$，
二次项系数化为1，得 $x^2 - 2x = -\frac{1}{3}$，
配方，得 $x^2 - 2x + 1 = -\frac{1}{3} + 1$，
即 $(x-1)^2 = \frac{2}{3}$，
两边开平方，得 $x-1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得 $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$。
(2) 在 $x^2 + 5x + 3 = 0$ 中，$a=1$，$b=5$，$c=3$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4×1×3 = 13 ＞ 0$，
由求根公式得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$，
解得 $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}$。
(3) 将方程化为一般形式：$x^2 - 2x - 3 = 0$，
其中 $a=1$，$b=-2$，$c=-3$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3) = 16 ＞ 0$，
由求根公式得 $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2×1} = \frac{2 \pm 4}{2}$，
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
(4) 移项，得 $(x-2)^2 - 4(x+1)^2 = 0$，
由平方差公式因式分解，得 $[(x-2)+2(x+1)][(x-2)-2(x+1)] = 0$，
化简得 $3x(-x - 4) = 0$，
即 $3x = 0$ 或 $-x - 4 = 0$，
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = -4$。
(1) 移项，得 $3x^2 - 6x = -1$，
二次项系数化为1，得 $x^2 - 2x = -\frac{1}{3}$，
配方，得 $x^2 - 2x + 1 = -\frac{1}{3} + 1$，
即 $(x-1)^2 = \frac{2}{3}$，
两边开平方，得 $x-1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得 $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$。
(2) 在 $x^2 + 5x + 3 = 0$ 中，$a=1$，$b=5$，$c=3$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4×1×3 = 13 ＞ 0$，
由求根公式得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$，
解得 $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}$。
(3) 将方程化为一般形式：$x^2 - 2x - 3 = 0$，
其中 $a=1$，$b=-2$，$c=-3$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3) = 16 ＞ 0$，
由求根公式得 $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2×1} = \frac{2 \pm 4}{2}$，
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
(4) 移项，得 $(x-2)^2 - 4(x+1)^2 = 0$，
由平方差公式因式分解，得 $[(x-2)+2(x+1)][(x-2)-2(x+1)] = 0$，
化简得 $3x(-x - 4) = 0$，
即 $3x = 0$ 或 $-x - 4 = 0$，
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = -4$。
解析
【分析】
本题要求用指定方法求解一元二次方程，各小题的解题思路如下：(1)配方法：先移项将常数项移到等号右侧，再把二次项系数化为1，接着在等号两边同时加上一次项系数一半的平方完成配方，最后开平方求解即可；(2)公式法：先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式$\Delta = b^2-4ac$判断是否有实根，若有则代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算；(3)公式法：先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再按照公式法的固定步骤求解；(4)因式分解法：先移项使等号右侧为0，再利用平方差公式将左侧因式分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0，解得到的两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 移项，得 $3x^2 - 6x = -1$，
二次项系数化为1，得 $x^2 - 2x = -\frac{1}{3}$，
配方，得 $x^2 - 2x + 1 = -\frac{1}{3} + 1$，
即 $(x-1)^2 = \frac{2}{3}$，
两边开平方，得 $x-1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得 $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$。
(2) 在 $x^2 + 5x + 3 = 0$ 中，$a=1$，$b=5$，$c=3$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4×1×3 = 13 ＞ 0$，
由求根公式得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$，
解得 $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}$。
(3) 将方程化为一般形式：$x^2 - 2x - 3 = 0$，
其中 $a=1$，$b=-2$，$c=-3$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3) = 16 ＞ 0$，
由求根公式得 $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2×1} = \frac{2 \pm 4}{2}$，
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
(4) 移项，得 $(x-2)^2 - 4(x+1)^2 = 0$，
由平方差公式因式分解，得 $[(x-2)+2(x+1)][(x-2)-2(x+1)] = 0$，
化简得 $3x(-x - 4) = 0$，
即 $3x = 0$ 或 $-x - 4 = 0$，
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = -4$。
【答案】
(1)$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$；
(2)$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}$；
(3)$x_1 = 3$，$x_2 = -1$；
(4)$x_1 = 0$，$x_2 = -4$。
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查，需要熟练掌握不同指定解法的操作步骤，解题时注意系数符号、配方时常数项的添加、因式分解公式的正确运用，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
本题要求用指定方法求解一元二次方程，各小题的解题思路如下：(1)配方法：先移项将常数项移到等号右侧，再把二次项系数化为1，接着在等号两边同时加上一次项系数一半的平方完成配方，最后开平方求解即可；(2)公式法：先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式$\Delta = b^2-4ac$判断是否有实根，若有则代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算；(3)公式法：先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再按照公式法的固定步骤求解；(4)因式分解法：先移项使等号右侧为0，再利用平方差公式将左侧因式分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0，解得到的两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 移项，得 $3x^2 - 6x = -1$，
二次项系数化为1，得 $x^2 - 2x = -\frac{1}{3}$，
配方，得 $x^2 - 2x + 1 = -\frac{1}{3} + 1$，
即 $(x-1)^2 = \frac{2}{3}$，
两边开平方，得 $x-1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得 $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$。
(2) 在 $x^2 + 5x + 3 = 0$ 中，$a=1$，$b=5$，$c=3$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4×1×3 = 13 ＞ 0$，
由求根公式得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$，
解得 $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}$。
(3) 将方程化为一般形式：$x^2 - 2x - 3 = 0$，
其中 $a=1$，$b=-2$，$c=-3$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3) = 16 ＞ 0$，
由求根公式得 $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2×1} = \frac{2 \pm 4}{2}$，
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
(4) 移项，得 $(x-2)^2 - 4(x+1)^2 = 0$，
由平方差公式因式分解，得 $[(x-2)+2(x+1)][(x-2)-2(x+1)] = 0$，
化简得 $3x(-x - 4) = 0$，
即 $3x = 0$ 或 $-x - 4 = 0$，
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = -4$。
【答案】
(1)$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$；
(2)$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}$；
(3)$x_1 = 3$，$x_2 = -1$；
(4)$x_1 = 0$，$x_2 = -4$。
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查，需要熟练掌握不同指定解法的操作步骤，解题时注意系数符号、配方时常数项的添加、因式分解公式的正确运用，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
