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8. 如图1，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8 m，若梯子的顶端下滑1 m，底端水平滑动x m，则x满足方程$(x+6)^2 +7^2 =10^2$。在估算一元二次方程$(x+6)^2 +7^2 =10^2$的根时，小欣列表如下：
由此可估算方程$(x+6)^2 +7^2 =10^2$的一个根x的范围是 （）
A.$1＜x＜1.1$
B.$1.1＜x＜1.2$
C.$1.2＜x＜1.3$
D.$1.3＜x＜1.4$
由此可估算方程$(x+6)^2 +7^2 =10^2$的一个根x的范围是 （）A.$1＜x＜1.1$
B.$1.1＜x＜1.2$
C.$1.2＜x＜1.3$
D.$1.3＜x＜1.4$
答案
B
解析
【分析】
要估算一元二次方程的根的范围，我们采用夹逼法：先计算方程右侧的固定值为$10^2=100$，再分别代入不同的x值计算方程左侧代数式$(x+6)^2 +7^2$的结果，当左侧结果分别小于和大于100时，对应的两个x值之间就存在方程的一个根。
【解析】
首先计算方程右边的值：$10^2=100$。
分别计算不同x对应的左侧代数式的值：
当$x=1.1$时，$x+6=7.1$，左侧=$(7.1)^2 + 7^2=50.41+49=99.41$，可得$99.41＜100$；
当$x=1.2$时，$x+6=7.2$，左侧=$(7.2)^2 + 7^2=51.84+49=100.84$，可得$100.84＞100$；
根据夹逼法可知，当左侧等于100时，对应的x值在1.1和1.2之间，即方程的一个根的范围是$1.1＜x＜1.2$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的估算；代数式求值；夹逼法求近似根
【点评】
本题考查一元二次方程近似根的估算方法，核心是通过代入不同x值计算代数式的结果，对比方程两边的大小关系确定根的区间，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
要估算一元二次方程的根的范围，我们采用夹逼法：先计算方程右侧的固定值为$10^2=100$，再分别代入不同的x值计算方程左侧代数式$(x+6)^2 +7^2$的结果，当左侧结果分别小于和大于100时，对应的两个x值之间就存在方程的一个根。
【解析】
首先计算方程右边的值：$10^2=100$。
分别计算不同x对应的左侧代数式的值：
当$x=1.1$时，$x+6=7.1$，左侧=$(7.1)^2 + 7^2=50.41+49=99.41$，可得$99.41＜100$；
当$x=1.2$时，$x+6=7.2$，左侧=$(7.2)^2 + 7^2=51.84+49=100.84$，可得$100.84＞100$；
根据夹逼法可知，当左侧等于100时，对应的x值在1.1和1.2之间，即方程的一个根的范围是$1.1＜x＜1.2$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的估算；代数式求值；夹逼法求近似根
【点评】
本题考查一元二次方程近似根的估算方法，核心是通过代入不同x值计算代数式的结果，对比方程两边的大小关系确定根的区间，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共18分)
9.(2024·深圳)一元二次方程$x^2 -4x +a=0$的一个解为$x=1$,则$a=$。
9.(2024·深圳)一元二次方程$x^2 -4x +a=0$的一个解为$x=1$,则$a=$。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
根据一元二次方程解的定义，能让方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=1是给定一元二次方程的解，我们只需将x=1代入原方程，就能得到只含参数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2 -4x +a=0$的解
∴将$x=1$代入方程，可得：
$1^2 - 4×1 + a = 0$
计算得：$1-4+a=0$
移项解得：$a=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程的解、代入求参数
【点评】
本题属于基础常考题，核心是对一元二次方程解的概念的理解和应用，掌握代入法求未知参数是解题的关键，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
根据一元二次方程解的定义，能让方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=1是给定一元二次方程的解，我们只需将x=1代入原方程，就能得到只含参数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2 -4x +a=0$的解
∴将$x=1$代入方程，可得：
$1^2 - 4×1 + a = 0$
计算得：$1-4+a=0$
移项解得：$a=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程的解、代入求参数
【点评】
本题属于基础常考题，核心是对一元二次方程解的概念的理解和应用，掌握代入法求未知参数是解题的关键，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
10. 已知关于x的一元二次方程$ax^2 +6x +1=0$没有实数根，那么a的取值范围是。
答案
解：
∵ 方程$ax^2 +6x +1=0$是一元二次方程，
∴ $a ≠ 0$。
又∵ 该方程没有实数根，
∴ 判别式$\Delta = 6^2 - 4 · a · 1 ＜ 0$，
即 $36 - 4a ＜ 0$，
解得 $a ＞ 9$。
∴ a的取值范围是$\boldsymbol{a＞9}$。
∵ 方程$ax^2 +6x +1=0$是一元二次方程，
∴ $a ≠ 0$。
又∵ 该方程没有实数根，
∴ 判别式$\Delta = 6^2 - 4 · a · 1 ＜ 0$，
即 $36 - 4a ＜ 0$，
解得 $a ＞ 9$。
∴ a的取值范围是$\boldsymbol{a＞9}$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个核心条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程没有实数根，对应一元二次方程根的判别式Δ＜0。解题时先根据一元二次方程的定义确定a≠0，再代入判别式列出不等式，解不等式时注意不等号方向变化，最后结合a≠0的条件得到最终取值范围即可。
【解析】
∵ 方程$ax^2 +6x +1=0$是一元二次方程，
∴ $a ≠ 0$。
又
∵ 该方程没有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac = 6^2 - 4 · a · 1 ＜ 0$，
即 $36 - 4a ＜ 0$，
移项得$-4a ＜ -36$，
两边同时除以-4，不等号方向改变，解得 $a ＞ 9$。
$a＞9$已经满足$a≠0$的前提条件，因此无需额外限制。
【答案】
$a＞9$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础考察题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，本题中最终解出的范围已自动满足该前提，因此不影响结果，但做同类题目时一定要优先确认二次项系数的限制条件，避免出现疏漏。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确两个核心条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程没有实数根，对应一元二次方程根的判别式Δ＜0。解题时先根据一元二次方程的定义确定a≠0，再代入判别式列出不等式，解不等式时注意不等号方向变化，最后结合a≠0的条件得到最终取值范围即可。
【解析】
∵ 方程$ax^2 +6x +1=0$是一元二次方程，
∴ $a ≠ 0$。
又
∵ 该方程没有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac = 6^2 - 4 · a · 1 ＜ 0$，
即 $36 - 4a ＜ 0$，
移项得$-4a ＜ -36$，
两边同时除以-4，不等号方向改变，解得 $a ＞ 9$。
$a＞9$已经满足$a≠0$的前提条件，因此无需额外限制。
【答案】
$a＞9$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础考察题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，本题中最终解出的范围已自动满足该前提，因此不影响结果，但做同类题目时一定要优先确认二次项系数的限制条件，避免出现疏漏。
【难度系数】
0.8
11.若实数$a,b$分别满足$a^2 - 4a + 3 = 0, b^2 - 4b + 3 = 0$,且$a≠b$,则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值为。
答案
$\frac{4}{3}$
解析
【分析】
首先观察到a、b满足的方程形式完全相同，且$a≠b$，因此可将a、b看作一元二次方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的两个不相等的实数根；接下来利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$的值；最后将所求代数式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分变形为含$a+b$和$ab$的形式，代入数值计算即可。
【解析】
∵ 实数$a,b$分别满足$a^2 - 4a + 3 = 0, b^2 - 4b + 3 = 0$，且$a≠b$
∴ $a、b$是一元二次方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的两个不相等的实数根
根据根与系数的关系可得：
$a+b = 4$，$ab = 3$
对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分化简得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab}$
将$a+b=4$，$ab=3$代入上式得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 根与系数的关系 3. 分式化简求值
【点评】
本题无需分别求解a、b的具体值，核心是通过观察两个方程的共性，结合根与系数的关系用整体代入的思想简化计算，是对代数式变形和一元二次方程基础性质的综合考查，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
首先观察到a、b满足的方程形式完全相同，且$a≠b$，因此可将a、b看作一元二次方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的两个不相等的实数根；接下来利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$的值；最后将所求代数式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分变形为含$a+b$和$ab$的形式，代入数值计算即可。
【解析】
∵ 实数$a,b$分别满足$a^2 - 4a + 3 = 0, b^2 - 4b + 3 = 0$，且$a≠b$
∴ $a、b$是一元二次方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的两个不相等的实数根
根据根与系数的关系可得：
$a+b = 4$，$ab = 3$
对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分化简得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab}$
将$a+b=4$，$ab=3$代入上式得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 根与系数的关系 3. 分式化简求值
【点评】
本题无需分别求解a、b的具体值，核心是通过观察两个方程的共性，结合根与系数的关系用整体代入的思想简化计算，是对代数式变形和一元二次方程基础性质的综合考查，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
12. (2024·广州)定义新运算：$a\otimes b=\begin{cases}a^2 - b & (a≤0), \\ -a + b & (a＞0)\end{cases}$，例如：$-2\otimes4=(-2)^2 -4=0$，$2\otimes3=-2+3=1$。若$x\otimes1=-\dfrac{3}{4}$，则$x$的值为 ______ 。
答案
解：分两种情况讨论：
① 当$x ≤ 0$时，根据新运算定义得：
$x^2 - 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$x^2 = \dfrac{1}{4}$
解得$x_1 = -\dfrac{1}{2}$，$x_2 = \dfrac{1}{2}$，
$\because x ≤ 0$，$\therefore x = \dfrac{1}{2}$不符合条件，舍去，得$x=-\dfrac{1}{2}$。
② 当$x ＞ 0$时，根据新运算定义得：
$-x + 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$-x = -\dfrac{7}{4}$
解得$x = \dfrac{7}{4}$，符合$x＞0$的条件。
综上，$x$的值为$\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$或$\boldsymbol{\dfrac{7}{4}}$。
① 当$x ≤ 0$时，根据新运算定义得：
$x^2 - 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$x^2 = \dfrac{1}{4}$
解得$x_1 = -\dfrac{1}{2}$，$x_2 = \dfrac{1}{2}$，
$\because x ≤ 0$，$\therefore x = \dfrac{1}{2}$不符合条件，舍去，得$x=-\dfrac{1}{2}$。
② 当$x ＞ 0$时，根据新运算定义得：
$-x + 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$-x = -\dfrac{7}{4}$
解得$x = \dfrac{7}{4}$，符合$x＞0$的条件。
综上，$x$的值为$\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$或$\boldsymbol{\dfrac{7}{4}}$。
解析
【分析】
本题为分段定义的新运算题型，解题需结合新运算的分段规则分类讨论：首先判断x与0的大小关系，对应选择合适的运算公式列方程，解方程后需检验解是否符合对应分段的取值范围，舍去不符合条件的解，最终得到正确结果。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$x ≤ 0$时，根据新运算定义得：
$x^2 - 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$x^2 = \dfrac{1}{4}$
解得$x_1 = -\dfrac{1}{2}$，$x_2 = \dfrac{1}{2}$，
$\because x ≤ 0$，$\therefore x = \dfrac{1}{2}$不符合条件，舍去，得$x=-\dfrac{1}{2}$。
② 当$x ＞ 0$时，根据新运算定义得：
$-x + 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$-x = -\dfrac{7}{4}$
解得$x = \dfrac{7}{4}$，符合$x＞0$的条件。
综上，$x$的值为$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$
【知识点】
定义新运算、解一元二次方程、分类讨论思想
【点评】
本题是新运算与方程结合的典型题型，解题关键是准确理解分段新运算的规则，分类列方程后务必校验解是否符合对应分段的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题为分段定义的新运算题型，解题需结合新运算的分段规则分类讨论：首先判断x与0的大小关系，对应选择合适的运算公式列方程，解方程后需检验解是否符合对应分段的取值范围，舍去不符合条件的解，最终得到正确结果。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$x ≤ 0$时，根据新运算定义得：
$x^2 - 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$x^2 = \dfrac{1}{4}$
解得$x_1 = -\dfrac{1}{2}$，$x_2 = \dfrac{1}{2}$，
$\because x ≤ 0$，$\therefore x = \dfrac{1}{2}$不符合条件，舍去，得$x=-\dfrac{1}{2}$。
② 当$x ＞ 0$时，根据新运算定义得：
$-x + 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$-x = -\dfrac{7}{4}$
解得$x = \dfrac{7}{4}$，符合$x＞0$的条件。
综上，$x$的值为$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$
【知识点】
定义新运算、解一元二次方程、分类讨论思想
【点评】
本题是新运算与方程结合的典型题型，解题关键是准确理解分段新运算的规则，分类列方程后务必校验解是否符合对应分段的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
13. (2025·泸州)若一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的两根为$α,β$,则$2α^2 - 3α + 3β$的值为。
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
本题可通过两步推导求解：① 已知α是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将α代入方程可得到2α²的表达式，实现降次，将待求式中α的二次项替换为一次项；② 化简后代数式出现α+β的结构，利用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和，整体代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，简化计算。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的根
∴ 将α代入方程得：$2α^2 - 6α - 1 = 0$，整理得$2α^2 = 6α + 1$
将$2α^2 = 6α + 1$代入$2α^2 - 3α + 3β$可得：
$\begin{aligned}2α^2 - 3α + 3β&= 6α + 1 - 3α + 3β \\&= 3α + 3β + 1 \\&= 3(α + β) + 1\end{aligned}$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$α+β=-\frac{b}{a}$
在方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$中，$a=2$，$b=-6$，因此$α+β = -\frac{-6}{2} = 3$
将$α+β=3$代入$3(α + β) + 1$得：$3×3 + 1 = 10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 代数式降次化简
【点评】
本题是一元二次方程根相关的典型常考题，解题关键是灵活运用根的定义降次，结合韦达定理整体代入求值，规避了直接求根的繁琐计算，考察了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
本题可通过两步推导求解：① 已知α是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将α代入方程可得到2α²的表达式，实现降次，将待求式中α的二次项替换为一次项；② 化简后代数式出现α+β的结构，利用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和，整体代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，简化计算。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的根
∴ 将α代入方程得：$2α^2 - 6α - 1 = 0$，整理得$2α^2 = 6α + 1$
将$2α^2 = 6α + 1$代入$2α^2 - 3α + 3β$可得：
$\begin{aligned}2α^2 - 3α + 3β&= 6α + 1 - 3α + 3β \\&= 3α + 3β + 1 \\&= 3(α + β) + 1\end{aligned}$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$α+β=-\frac{b}{a}$
在方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$中，$a=2$，$b=-6$，因此$α+β = -\frac{-6}{2} = 3$
将$α+β=3$代入$3(α + β) + 1$得：$3×3 + 1 = 10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 代数式降次化简
【点评】
本题是一元二次方程根相关的典型常考题，解题关键是灵活运用根的定义降次，结合韦达定理整体代入求值，规避了直接求根的繁琐计算，考察了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
14. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步?”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,它的宽比长少12步,问它的长与宽各多少步?若设宽为x步,依题意,可列方程为,求得矩形长、宽分别为。
答案
$x(x+12)=864$；36步、24步。
解析
【分析】
首先从设元出发，已知设宽为x步，由“宽比长少12步”可得长为(x+12)步。再回忆矩形面积的核心等量关系：矩形面积=长×宽，结合题目给出的面积为864平方步，代入对应量即可列出方程。解方程时注意步长为正数，需舍去不符合实际意义的负根，再根据宽的值计算长即可。
【解析】
解：设矩形的宽为x步，则长为$(x+12)$步。
根据矩形面积公式列方程：
$\boldsymbol{x(x+12)=864}$
整理方程得：$x^2+12x-864=0$
因式分解得：$(x+36)(x-24)=0$
解得：$x_1=24$，$x_2=-36$
∵矩形的宽为正数，
∴$x=-36$不符合实际意义，舍去
∴宽为24步，长为$24+12=36$步。
【答案】
$x(x+12)=864$；36步、24步
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题以中国古代数学记载为命题背景，既考查了一元二次方程在实际问题中的应用，也能让学生感受传统数学文化的魅力，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际场景取舍方程的根。
【难度系数】
0.8
首先从设元出发，已知设宽为x步，由“宽比长少12步”可得长为(x+12)步。再回忆矩形面积的核心等量关系：矩形面积=长×宽，结合题目给出的面积为864平方步，代入对应量即可列出方程。解方程时注意步长为正数，需舍去不符合实际意义的负根，再根据宽的值计算长即可。
【解析】
解：设矩形的宽为x步，则长为$(x+12)$步。
根据矩形面积公式列方程：
$\boldsymbol{x(x+12)=864}$
整理方程得：$x^2+12x-864=0$
因式分解得：$(x+36)(x-24)=0$
解得：$x_1=24$，$x_2=-36$
∵矩形的宽为正数，
∴$x=-36$不符合实际意义，舍去
∴宽为24步，长为$24+12=36$步。
【答案】
$x(x+12)=864$；36步、24步
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题以中国古代数学记载为命题背景，既考查了一元二次方程在实际问题中的应用，也能让学生感受传统数学文化的魅力，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际场景取舍方程的根。
【难度系数】
0.8
