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【例1】(1)计算：$(-a^2)^3 + (-a^3)^2 - (2a^3)^2 + a^2 · a^4 - 2a^9 ÷ a^3$。
(2)若$2^m = a, 2^n = b, m, n$是正整数，则$2^{2m+n}$的值是
(2)若$2^m = a, 2^n = b, m, n$是正整数，则$2^{2m+n}$的值是
$a^2b$
。答案
(1) 解:原式=$-a^6+a^6-4a^6+a^6-2a^6=-5a^6$
(2) $a^2b$
(2) $a^2b$
解析
【分析】
(1) 本题是整式的幂运算混合计算题，解题思路为：先遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，分别利用幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法则计算每一项，最后合并同类项得到结果，计算时要重点注意负号的处理。
(2) 本题是幂的公式逆用题，解题思路为：先将所求指数$2m+n$拆分为$2m$和$n$的和，逆用同底数幂的乘法法则将原式变形为$2^{2m}·2^n$，再逆用幂的乘方法则将$2^{2m}$变形为$(2^m)^2$，最后代入已知的$2^m=a$、$2^n=b$计算即可。
【解析】
(1) 分别计算每一项：
① 计算乘方项：$(-a^2)^3=(-1)^3·(a^2)^3=-a^6$，$(-a^3)^2=(-1)^2·(a^3)^2=a^6$，$(2a^3)^2=2^2·(a^3)^2=4a^6$；
② 计算乘除项：$a^2· a^4=a^{2+4}=a^6$，$2a^9÷ a^3=2a^{9-3}=2a^6$；
③ 合并同类项：
原式$=-a^6 + a^6 - 4a^6 + a^6 - 2a^6$
$=(-1+1-4+1-2)a^6$
$=-5a^6$
(2) 逆用幂的运算法则变形：
$2^{2m+n}=2^{2m}·2^n=(2^m)^2·2^n$
将$2^m=a$，$2^n=b$代入得：
原式$=a^2· b=a^2b$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5a^6}$；(2) $\boldsymbol{a^2b}$
【知识点】
幂的运算法则，整式混合运算，幂的公式逆用
【点评】
本题侧重考察幂的基本运算规则的正向应用与逆向变形，属于基础常考题型，解题时需要注意带负号的乘方运算的符号判断，熟练掌握各类幂运算的法则是避免出错的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是整式的幂运算混合计算题，解题思路为：先遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，分别利用幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法则计算每一项，最后合并同类项得到结果，计算时要重点注意负号的处理。
(2) 本题是幂的公式逆用题，解题思路为：先将所求指数$2m+n$拆分为$2m$和$n$的和，逆用同底数幂的乘法法则将原式变形为$2^{2m}·2^n$，再逆用幂的乘方法则将$2^{2m}$变形为$(2^m)^2$，最后代入已知的$2^m=a$、$2^n=b$计算即可。
【解析】
(1) 分别计算每一项：
① 计算乘方项：$(-a^2)^3=(-1)^3·(a^2)^3=-a^6$，$(-a^3)^2=(-1)^2·(a^3)^2=a^6$，$(2a^3)^2=2^2·(a^3)^2=4a^6$；
② 计算乘除项：$a^2· a^4=a^{2+4}=a^6$，$2a^9÷ a^3=2a^{9-3}=2a^6$；
③ 合并同类项：
原式$=-a^6 + a^6 - 4a^6 + a^6 - 2a^6$
$=(-1+1-4+1-2)a^6$
$=-5a^6$
(2) 逆用幂的运算法则变形：
$2^{2m+n}=2^{2m}·2^n=(2^m)^2·2^n$
将$2^m=a$，$2^n=b$代入得：
原式$=a^2· b=a^2b$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5a^6}$；(2) $\boldsymbol{a^2b}$
【知识点】
幂的运算法则，整式混合运算，幂的公式逆用
【点评】
本题侧重考察幂的基本运算规则的正向应用与逆向变形，属于基础常考题型，解题时需要注意带负号的乘方运算的符号判断，熟练掌握各类幂运算的法则是避免出错的核心。
【难度系数】
0.8
【例2】下面是小文同学进行整式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解:$(3x+2)(3x-2)-(3x-1)^2$
$=(3x)^2-2^2-[(3x)^2-6x+1]$……第一步
$=9x^2-4-(9x^2-6x+1)$……第二步
$=9x^2-4-9x^2-6x-1$…………第三步
$=-6x-5.$…………………………第四步
任务一:
(1)以上解题过程中,用到的乘法公式有
(2)从第
任务二:请写出该整式化简正确的解答过程.
解:$(3x+2)(3x-2)-(3x-1)^2$
$=(3x)^2-2^2-[(3x)^2-6x+1]$……第一步
$=9x^2-4-(9x^2-6x+1)$……第二步
$=9x^2-4-9x^2-6x-1$…………第三步
$=-6x-5.$…………………………第四步
任务一:
(1)以上解题过程中,用到的乘法公式有
平方差公式(答案不唯一)
(写出一个即可);(2)从第
三
步开始出现错误,错误的原因是去括号时-6x未变号
.任务二:请写出该整式化简正确的解答过程.
答案
任务一:
(1) 平方差公式(答案不唯一)
(2) 三 去括号时-6x未变号
任务二: 解:原式=$(3x)^2-2^2-[(3x)^2-6x+1]=9x^2-4-(9x^2-6x+1)=9x^2-4-9x^2+6x-1=6x-5.$
(1) 平方差公式(答案不唯一)
(2) 三 去括号时-6x未变号
任务二: 解:原式=$(3x)^2-2^2-[(3x)^2-6x+1]=9x^2-4-(9x^2-6x+1)=9x^2-4-9x^2+6x-1=6x-5.$
解析
【分析】
解决本题先从任务一入手：(1)观察化简过程的第一步，两个乘法运算分别对应平方差公式和完全平方公式，任选其一即可；(2)逐步骤核对运算规则，去括号时若括号前是负号，括号内所有项都要变号，对比发现第三步去括号时-6x没有变号，由此确定错误步骤和原因。任务二则需先正确套用乘法公式展开，再严格按照去括号法则处理括号，最后合并同类项得到正确结果。
【解析】
任务一：
(1) 第一步中计算$(3x+2)(3x-2)$使用了平方差公式，计算$(3x-1)^2$使用了完全平方公式，任选一个作答即可。
(2) 第三步去括号时，括号前是负号，括号内的$-6x$应变号为$+6x$，但原式未变号，因此从第三步开始出错，错误原因为去括号时$-6x$未变号。
任务二：
正确化简过程如下：
$\begin{aligned}原式&=(3x)^2-2^2-[(3x)^2-6x+1]\\&=9x^2-4-(9x^2-6x+1)\\&=9x^2-4-9x^2+6x-1\\&=6x-5\end{aligned}$
【答案】
任务一:(1) 平方差公式(答案不唯一)
(2) 三 去括号时-6x未变号
任务二: 原式=$(3x)^2-2^2-[(3x)^2-6x+1]=9x^2-4-(9x^2-6x+1)=9x^2-4-9x^2+6x-1=6x-5$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、去括号法则
【点评】
本题侧重考查整式化简的基础运算，乘法公式的正确套用和去括号的符号处理是解题关键，其中括号前为负号时的变号规则是高频易错点，运算时要养成逐次核对符号的习惯。
【难度系数】
0.7
解决本题先从任务一入手：(1)观察化简过程的第一步，两个乘法运算分别对应平方差公式和完全平方公式，任选其一即可；(2)逐步骤核对运算规则，去括号时若括号前是负号，括号内所有项都要变号，对比发现第三步去括号时-6x没有变号，由此确定错误步骤和原因。任务二则需先正确套用乘法公式展开，再严格按照去括号法则处理括号，最后合并同类项得到正确结果。
【解析】
任务一：
(1) 第一步中计算$(3x+2)(3x-2)$使用了平方差公式，计算$(3x-1)^2$使用了完全平方公式，任选一个作答即可。
(2) 第三步去括号时，括号前是负号，括号内的$-6x$应变号为$+6x$，但原式未变号，因此从第三步开始出错，错误原因为去括号时$-6x$未变号。
任务二：
正确化简过程如下：
$\begin{aligned}原式&=(3x)^2-2^2-[(3x)^2-6x+1]\\&=9x^2-4-(9x^2-6x+1)\\&=9x^2-4-9x^2+6x-1\\&=6x-5\end{aligned}$
【答案】
任务一:(1) 平方差公式(答案不唯一)
(2) 三 去括号时-6x未变号
任务二: 原式=$(3x)^2-2^2-[(3x)^2-6x+1]=9x^2-4-(9x^2-6x+1)=9x^2-4-9x^2+6x-1=6x-5$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、去括号法则
【点评】
本题侧重考查整式化简的基础运算，乘法公式的正确套用和去括号的符号处理是解题关键，其中括号前为负号时的变号规则是高频易错点，运算时要养成逐次核对符号的习惯。
【难度系数】
0.7
1.(2025·六盘水模拟)下列计算正确的是 (
A.$ a^6 ÷ a^3 = a^2 $
B.$ (a^2b)^5 = a^7b^5 $
C.$ 4a^3 · 3a^2 = 12a^6 $
D.$ (2x)^2 · 3x = 12x^3 $
D
)A.$ a^6 ÷ a^3 = a^2 $
B.$ (a^2b)^5 = a^7b^5 $
C.$ 4a^3 · 3a^2 = 12a^6 $
D.$ (2x)^2 · 3x = 12x^3 $
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查整式乘除相关运算的正误判断，解题思路是逐一分析每个选项，结合对应的整式运算法则计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据整式运算法则逐个判断选项：
选项A：同底数幂相除，底数不变，指数相减。$a^6÷ a^3 = a^{6-3}=a^3≠ a^2$，故A错误。
选项B：积的乘方等于把积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘。$(a^2b)^5=(a^2)^5· b^5 = a^{2×5}b^5=a^{10}b^5≠ a^7b^5$，故B错误。
选项C：单项式乘单项式，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘，底数不变指数相加。$4a^3·3a^2=(4×3)· a^{3+2}=12a^5≠12a^6$，故C错误。
选项D：先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式：$(2x)^2·3x=4x^2·3x=(4×3)· x^{2+1}=12x^3$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘除；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是对各类整式运算法则的准确记忆和应用，解题时需注意区分不同运算中指数的计算规则，避免因混淆法则导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘除相关运算的正误判断，解题思路是逐一分析每个选项，结合对应的整式运算法则计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据整式运算法则逐个判断选项：
选项A：同底数幂相除，底数不变，指数相减。$a^6÷ a^3 = a^{6-3}=a^3≠ a^2$，故A错误。
选项B：积的乘方等于把积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘。$(a^2b)^5=(a^2)^5· b^5 = a^{2×5}b^5=a^{10}b^5≠ a^7b^5$，故B错误。
选项C：单项式乘单项式，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘，底数不变指数相加。$4a^3·3a^2=(4×3)· a^{3+2}=12a^5≠12a^6$，故C错误。
选项D：先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式：$(2x)^2·3x=4x^2·3x=(4×3)· x^{2+1}=12x^3$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘除；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是对各类整式运算法则的准确记忆和应用，解题时需注意区分不同运算中指数的计算规则，避免因混淆法则导致错误。
【难度系数】
0.8
2.计算：$(-1)^2 + (\frac{1}{3})^0 =$
2
.答案
2. 2
解析
【分析】
这道题是有理数混合运算类基础题，解题思路分为三步：第一步先计算$(-1)^2$的值，根据乘方的运算规则，负数的偶次幂为正数，可算出该式结果；第二步计算$(\frac{1}{3})^0$的值，根据零指数幂的性质，非零数的0次幂等于1，可算出该式结果；第三步将两个结果相加，即可得到最终答案。
【解析】
解：分别计算两个幂的值后求和：
1. 计算$(-1)^2$：
$(-1)^2 = (-1) × (-1) = 1$
2. 计算$(\frac{1}{3})^0$：
∵ 底数$\frac{1}{3} ≠ 0$，根据零指数幂的性质可得$(\frac{1}{3})^0 = 1$
3. 求和：
$(-1)^2 + (\frac{1}{3})^0 = 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
乘方运算，零指数幂的性质
【点评】
本题是运算类基础题，主要考查乘方运算规则和零指数幂性质的应用，属于代数运算中的常见考点，熟练掌握基础运算性质即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
这道题是有理数混合运算类基础题，解题思路分为三步：第一步先计算$(-1)^2$的值，根据乘方的运算规则，负数的偶次幂为正数，可算出该式结果；第二步计算$(\frac{1}{3})^0$的值，根据零指数幂的性质，非零数的0次幂等于1，可算出该式结果；第三步将两个结果相加，即可得到最终答案。
【解析】
解：分别计算两个幂的值后求和：
1. 计算$(-1)^2$：
$(-1)^2 = (-1) × (-1) = 1$
2. 计算$(\frac{1}{3})^0$：
∵ 底数$\frac{1}{3} ≠ 0$，根据零指数幂的性质可得$(\frac{1}{3})^0 = 1$
3. 求和：
$(-1)^2 + (\frac{1}{3})^0 = 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
乘方运算，零指数幂的性质
【点评】
本题是运算类基础题，主要考查乘方运算规则和零指数幂性质的应用，属于代数运算中的常见考点，熟练掌握基础运算性质即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3. 计算：
(1)若$ a^m = 8, a^{m+n} = 4 $，则$ a^n = $
(2)(2025·玉林模拟)若$ m,n $满足$ x - y - 2 = 0 $，则$ 2^x ÷ 2^y $的值是
(3)$ 4^{2024} × (-0.25)^{2025} = $
(1)若$ a^m = 8, a^{m+n} = 4 $，则$ a^n = $
$\frac{1}{2}$
；(2)(2025·玉林模拟)若$ m,n $满足$ x - y - 2 = 0 $，则$ 2^x ÷ 2^y $的值是
4
；(3)$ 4^{2024} × (-0.25)^{2025} = $
-0.25
。答案
3. (1) $\frac{1}{2}$ (2) 4 (3) $-0.25$
解析
【分析】
我们依次梳理每道小题的解题思路：(1) 已知条件给出$a^m$和$a^{m+n}$，可联想到同底数幂的乘法公式$a^{m+n}=a^m· a^n$，逆用该公式即可用已知幂表示$a^n$，代入数值就能计算；(2) 所求为同底数幂的除法，根据同底数幂除法法则，$2^x÷2^y=2^{x-y}$，再从已知等式求出$x-y$的值，代入即可得结果；(3) 观察到两个幂的底数乘积为特殊值，且指数接近，可逆用积的乘方公式，把指数相同的部分先结合计算，再计算剩余部分即可，注意不要漏看符号。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法的逆运算：$a^{m+n}=a^m· a^n$，
变形得$a^n=a^{m+n}÷ a^m$，
代入$a^m=8$，$a^{m+n}=4$，得$a^n=4÷8=\frac{1}{2}$。
(2) 根据同底数幂的除法法则：$2^x÷2^y=2^{x-y}$，
由已知$x-y-2=0$，得$x-y=2$，
代入得$2^{x-y}=2^2=4$。
(3) 先将$(-0.25)^{2025}$拆分为$(-0.25)^{2024}×(-0.25)$，
逆用积的乘方公式计算：
$4^{2024}×(-0.25)^{2025}=4^{2024}×(-0.25)^{2024}×(-0.25)$
$=[4×(-0.25)]^{2024}×(-0.25)$
$=(-1)^{2024}×(-0.25)$
$=1×(-0.25)=-0.25$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $4$；(3) $-0.25$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方
【点评】
这三道题围绕幂的运算性质命题，重点考查公式的逆用能力，解题时要注意观察式子的结构特征，灵活选用运算性质变形，计算过程中需留意指数奇偶性对符号的影响，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
我们依次梳理每道小题的解题思路：(1) 已知条件给出$a^m$和$a^{m+n}$，可联想到同底数幂的乘法公式$a^{m+n}=a^m· a^n$，逆用该公式即可用已知幂表示$a^n$，代入数值就能计算；(2) 所求为同底数幂的除法，根据同底数幂除法法则，$2^x÷2^y=2^{x-y}$，再从已知等式求出$x-y$的值，代入即可得结果；(3) 观察到两个幂的底数乘积为特殊值，且指数接近，可逆用积的乘方公式，把指数相同的部分先结合计算，再计算剩余部分即可，注意不要漏看符号。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法的逆运算：$a^{m+n}=a^m· a^n$，
变形得$a^n=a^{m+n}÷ a^m$，
代入$a^m=8$，$a^{m+n}=4$，得$a^n=4÷8=\frac{1}{2}$。
(2) 根据同底数幂的除法法则：$2^x÷2^y=2^{x-y}$，
由已知$x-y-2=0$，得$x-y=2$，
代入得$2^{x-y}=2^2=4$。
(3) 先将$(-0.25)^{2025}$拆分为$(-0.25)^{2024}×(-0.25)$，
逆用积的乘方公式计算：
$4^{2024}×(-0.25)^{2025}=4^{2024}×(-0.25)^{2024}×(-0.25)$
$=[4×(-0.25)]^{2024}×(-0.25)$
$=(-1)^{2024}×(-0.25)$
$=1×(-0.25)=-0.25$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $4$；(3) $-0.25$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方
【点评】
这三道题围绕幂的运算性质命题，重点考查公式的逆用能力，解题时要注意观察式子的结构特征，灵活选用运算性质变形，计算过程中需留意指数奇偶性对符号的影响，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
4.计算：$x^4 · x^8 + x^6 · (-x^3)^2 + (2x^4)^3$
答案
解:原式=$x^{12}+x^{12}+8x^{12}=10x^{12}$。
解析
【分析】
本题属于整式的混合运算题，解题需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序，结合幂的运算法则逐步计算即可：首先分别计算三个项，第一项直接用同底数幂的乘法法则计算；第二项先计算幂的乘方部分，注意负数的偶次幂为正，再计算同底数幂的乘法；第三项用积的乘方法则计算；最后将三个项的结果合并同类项得到最终答案。
【解析】
解：根据幂的运算法则逐步计算：
1. 计算第一项：$x^4 · x^8 = x^{4+8}=x^{12}$
2. 计算第二项：先算乘方$(-x^3)^2=(-1)^2·(x^3)^2=x^{6}$，再算乘法$x^6 · x^6 =x^{6+6}=x^{12}$
3. 计算第三项：$(2x^4)^3=2^3·(x^4)^3=8x^{12}$
4. 合并同类项：$x^{12}+x^{12}+8x^{12}=(1+1+8)x^{12}=10x^{12}$
即原式=$x^{12}+x^{12}+8x^{12}=10x^{12}$
【答案】
$10x^{12}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查幂的相关运算法则的应用，计算时需注意符号判断、指数运算规则，避免出现指数运算混淆、符号错误等常见问题，熟练掌握基础法则是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的混合运算题，解题需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序，结合幂的运算法则逐步计算即可：首先分别计算三个项，第一项直接用同底数幂的乘法法则计算；第二项先计算幂的乘方部分，注意负数的偶次幂为正，再计算同底数幂的乘法；第三项用积的乘方法则计算；最后将三个项的结果合并同类项得到最终答案。
【解析】
解：根据幂的运算法则逐步计算：
1. 计算第一项：$x^4 · x^8 = x^{4+8}=x^{12}$
2. 计算第二项：先算乘方$(-x^3)^2=(-1)^2·(x^3)^2=x^{6}$，再算乘法$x^6 · x^6 =x^{6+6}=x^{12}$
3. 计算第三项：$(2x^4)^3=2^3·(x^4)^3=8x^{12}$
4. 合并同类项：$x^{12}+x^{12}+8x^{12}=(1+1+8)x^{12}=10x^{12}$
即原式=$x^{12}+x^{12}+8x^{12}=10x^{12}$
【答案】
$10x^{12}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查幂的相关运算法则的应用，计算时需注意符号判断、指数运算规则，避免出现指数运算混淆、符号错误等常见问题，熟练掌握基础法则是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
5.若$xy· (\ )=-x^3y^2$，则括号内应填的式子是（
A.$xy$
B.$-xy$
C.$-x^2y$
D.$-y$
C
）A.$xy$
B.$-xy$
C.$-x^2y$
D.$-y$
答案
5. C
解析
【分析】
本题已知两个因式的乘积和其中一个因式，求另一个因式，可利用乘法与除法的互逆关系求解：要求括号内的式子，只需用乘积除以已知的因式$xy$，再根据单项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果，计算时注意不要漏掉负号。
【解析】
根据乘除互逆关系，括号内应填的式子为：
$\begin{aligned}(-x^3y^2)÷(xy)&=(-1÷1)·(x^3÷ x)·(y^2÷ y)\\&=-1· x^{3-1}· y^{2-1}\\&=-x^2y\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 单项式除法运算
2. 同底数幂的除法
3. 乘除互逆关系
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查整式乘除的运算法则，解题关键是熟练掌握单项式除法的计算规则，注意运算过程中符号的处理，避免因漏看负号出现错误。
【难度系数】
0.8
本题已知两个因式的乘积和其中一个因式，求另一个因式，可利用乘法与除法的互逆关系求解：要求括号内的式子，只需用乘积除以已知的因式$xy$，再根据单项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果，计算时注意不要漏掉负号。
【解析】
根据乘除互逆关系，括号内应填的式子为：
$\begin{aligned}(-x^3y^2)÷(xy)&=(-1÷1)·(x^3÷ x)·(y^2÷ y)\\&=-1· x^{3-1}· y^{2-1}\\&=-x^2y\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 单项式除法运算
2. 同底数幂的除法
3. 乘除互逆关系
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查整式乘除的运算法则，解题关键是熟练掌握单项式除法的计算规则，注意运算过程中符号的处理，避免因漏看负号出现错误。
【难度系数】
0.8
6.数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：
$-7xy(2y - x - 3) = -14xy^2 +7x^2y□$，$□$的地方被墨水弄污了，则$□$内应填写（
A.$+21xy$
B.$-21xy$
C.$-3$
D.$-10xy$
$-7xy(2y - x - 3) = -14xy^2 +7x^2y□$，$□$的地方被墨水弄污了，则$□$内应填写（
A
）A.$+21xy$
B.$-21xy$
C.$-3$
D.$-10xy$
答案
6. A
解析
【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路为：首先回忆单项式乘多项式的运算法则，即单项式与多项式相乘，需用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，运算时要注意每一项的符号。我们只需将等号左侧的式子完整展开，再与右侧已给出的项做对比，即可求出被墨水污染的部分。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则展开左侧式子：
$\begin{aligned}-7xy(2y - x - 3) &= -7xy · 2y + (-7xy) · (-x) + (-7xy) · (-3) \\&= -14xy^2 + 7x^2y + 21xy\end{aligned}$
将展开结果与等号右侧的$-14xy^2 +7x^2y□$对比，可知$□$内应填写$+21xy$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的易错点是符号处理，计算时要注意单项式与多项式中负项相乘时符号的变化，熟练掌握运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路为：首先回忆单项式乘多项式的运算法则，即单项式与多项式相乘，需用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，运算时要注意每一项的符号。我们只需将等号左侧的式子完整展开，再与右侧已给出的项做对比，即可求出被墨水污染的部分。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则展开左侧式子：
$\begin{aligned}-7xy(2y - x - 3) &= -7xy · 2y + (-7xy) · (-x) + (-7xy) · (-3) \\&= -14xy^2 + 7x^2y + 21xy\end{aligned}$
将展开结果与等号右侧的$-14xy^2 +7x^2y□$对比，可知$□$内应填写$+21xy$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的易错点是符号处理，计算时要注意单项式与多项式中负项相乘时符号的变化，熟练掌握运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
7.我市某小区为了方便居民购物，计划在小区外的一块长方形空地上建一个大型超市.已知长方形空地的面积为$(6y^2 + y)\mathrm{m}^2$，宽为$y$m，则这块空地的长为（
A.$6xy$ m
B.$(6y+1)$ m
C.$(6y+y)$ m
D.$(6xy^3 + y^2)$ m
B
）A.$6xy$ m
B.$(6y+1)$ m
C.$(6y+y)$ m
D.$(6xy^3 + y^2)$ m
答案
7. B
解析
【分析】
解题首先回忆长方形的面积计算公式，长方形面积=长×宽，已知面积和宽，求长就用面积除以宽。接下来需要用到多项式除以单项式的运算法则，把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，就能算出长的表达式。
【解析】
根据长方形的面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得$\mathrm{长}=\mathrm{面积}÷\mathrm{宽}$。
已知面积为$(6y^2 + y)\mathrm{m}^2$，宽为$y\mathrm{m}$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{长}&=(6y^2 + y)÷ y\\&=6y^2÷ y + y÷ y\\&=6y + 1\end{aligned}$
所以这块空地的长为$(6y+1)\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算；多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算结合几何公式的基础应用题，核心是先通过几何公式列出运算式，再按照整式除法法则计算即可，解题时注意不要漏除多项式的每一项。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆长方形的面积计算公式，长方形面积=长×宽，已知面积和宽，求长就用面积除以宽。接下来需要用到多项式除以单项式的运算法则，把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，就能算出长的表达式。
【解析】
根据长方形的面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得$\mathrm{长}=\mathrm{面积}÷\mathrm{宽}$。
已知面积为$(6y^2 + y)\mathrm{m}^2$，宽为$y\mathrm{m}$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{长}&=(6y^2 + y)÷ y\\&=6y^2÷ y + y÷ y\\&=6y + 1\end{aligned}$
所以这块空地的长为$(6y+1)\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算；多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算结合几何公式的基础应用题，核心是先通过几何公式列出运算式，再按照整式除法法则计算即可，解题时注意不要漏除多项式的每一项。
【难度系数】
0.8
8.(中考·嘉兴)已知$a^2 + 3ab = 5$，则$(a+b)(a+2b)-2b^2$的值是
5
.答案
8. 5
解析
【分析】
本题已知含a、b的代数式$a^2+3ab$的值，要求另一个代数式的值，解题思路是先将待求的代数式展开、合并同类项进行化简，观察化简后的结果是否与已知代数式相关，再通过整体代入已知数值即可求出结果，不需要单独求解a、b的具体值。
【解析】
首先展开并化简待求式：
$\begin{aligned}(a+b)(a+2b)-2b^2&=a^2+2ab+ab+2b^2-2b^2\\&=a^2+(2ab+ab)+(2b^2-2b^2)\\&=a^2+3ab\end{aligned}$
已知$a^2 + 3ab = 5$，将其整体代入化简后的式子，可得原式的值为5。
【答案】
5
【知识点】
多项式乘多项式；整式的加减；整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的常见题型，解题核心是先化简目标代数式，再利用整体代入思想代入已知条件求解，避免了求解未知数的复杂计算，简化了解题过程。
【难度系数】
0.8
本题已知含a、b的代数式$a^2+3ab$的值，要求另一个代数式的值，解题思路是先将待求的代数式展开、合并同类项进行化简，观察化简后的结果是否与已知代数式相关，再通过整体代入已知数值即可求出结果，不需要单独求解a、b的具体值。
【解析】
首先展开并化简待求式：
$\begin{aligned}(a+b)(a+2b)-2b^2&=a^2+2ab+ab+2b^2-2b^2\\&=a^2+(2ab+ab)+(2b^2-2b^2)\\&=a^2+3ab\end{aligned}$
已知$a^2 + 3ab = 5$，将其整体代入化简后的式子，可得原式的值为5。
【答案】
5
【知识点】
多项式乘多项式；整式的加减；整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的常见题型，解题核心是先化简目标代数式，再利用整体代入思想代入已知条件求解，避免了求解未知数的复杂计算，简化了解题过程。
【难度系数】
0.8
9.计算:$5x(2x+1)-(2x+3)(5x-1).$
答案
解:原式=$10x^2+5x-10x^2+2x-15x+3=-8x+3$。
解析
【分析】
本题属于整式的混合运算，解题遵循“先乘除，后加减”的运算顺序：第一步先分别计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，需注意后面的多项式乘积整体前是减号，展开后要给括号内每一项都变号；第二步将展开后的式子合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：先分别计算两部分乘法：
1. 计算单项式乘多项式：$5x(2x+1)=5x·2x + 5x·1 = 10x^2 + 5x$
2. 计算多项式乘多项式：$(2x+3)(5x-1)=2x·5x + 2x·(-1) + 3·5x + 3·(-1) = 10x^2 - 2x + 15x - 3$
将上述结果代入原式，注意减号要作用于整个多项式乘积的结果，去括号时符号变化：
$\begin{aligned}原式&=10x^2 + 5x - (10x^2 - 2x + 15x - 3)\\&=10x^2 + 5x - 10x^2 + 2x - 15x + 3\\&=-8x + 3\end{aligned}$
【答案】
$-8x+3$
【知识点】
单项式乘多项式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，核心易错点是括号前为负号时的去括号符号变化，计算时牢记运算规则，细心处理符号、准确合并同类项即可得分。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的混合运算，解题遵循“先乘除，后加减”的运算顺序：第一步先分别计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，需注意后面的多项式乘积整体前是减号，展开后要给括号内每一项都变号；第二步将展开后的式子合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：先分别计算两部分乘法：
1. 计算单项式乘多项式：$5x(2x+1)=5x·2x + 5x·1 = 10x^2 + 5x$
2. 计算多项式乘多项式：$(2x+3)(5x-1)=2x·5x + 2x·(-1) + 3·5x + 3·(-1) = 10x^2 - 2x + 15x - 3$
将上述结果代入原式，注意减号要作用于整个多项式乘积的结果，去括号时符号变化：
$\begin{aligned}原式&=10x^2 + 5x - (10x^2 - 2x + 15x - 3)\\&=10x^2 + 5x - 10x^2 + 2x - 15x + 3\\&=-8x + 3\end{aligned}$
【答案】
$-8x+3$
【知识点】
单项式乘多项式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，核心易错点是括号前为负号时的去括号符号变化，计算时牢记运算规则，细心处理符号、准确合并同类项即可得分。
【难度系数】
0.8
