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学习整式乘法时,老师拿出三种型号的卡片,如图1,A型卡片是边长为a的正方形,B型卡片是边长为b的正方形,C型卡片是长和宽分别为a,b的长方形.
活动1:选取1张A型卡片,2张C型卡片,1张B型卡片,在纸上按照图2的方式拼成一个边长为$(a+b)$的大正方形,通过用不同方式表示大正方形的面积,可得到乘法公式
活动2:若要拼出一个面积为$(a+2b)(a+b)$的矩形,则需要A型卡片多少张? B型卡片多少张? C型卡片多少张?
活动3:图3是由若干张A,B,C三种卡片拼成的一个长方形,观察图形,可得多项式$a^2+5ab+6b^2=$
活动4:应用图1中的卡片,请拼出一个面积是$2a^2+3ab+b^2$的几何图形.
活动5:选取1张A型卡片,4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内,已知NP的长度固定不变,MN的长度可以变化,图中两阴影部分(长方形)的面积分别表示为$S_1,S_2$,若$Q=S_1-S_2$,且Q为定值,则a与b有什么关系?请说明理由.
活动1:选取1张A型卡片,2张C型卡片,1张B型卡片,在纸上按照图2的方式拼成一个边长为$(a+b)$的大正方形,通过用不同方式表示大正方形的面积,可得到乘法公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
.活动2:若要拼出一个面积为$(a+2b)(a+b)$的矩形,则需要A型卡片多少张? B型卡片多少张? C型卡片多少张?
活动3:图3是由若干张A,B,C三种卡片拼成的一个长方形,观察图形,可得多项式$a^2+5ab+6b^2=$
$(a+3b)(a+2b)$
.活动4:应用图1中的卡片,请拼出一个面积是$2a^2+3ab+b^2$的几何图形.
活动5:选取1张A型卡片,4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内,已知NP的长度固定不变,MN的长度可以变化,图中两阴影部分(长方形)的面积分别表示为$S_1,S_2$,若$Q=S_1-S_2$,且Q为定值,则a与b有什么关系?请说明理由.
答案
1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. 解:$(a+2b)(a+b)=a^2+ab+2ab+2b^2=a^2+3ab+2b^2$,
∴需要A型卡片1张,B型卡片2张,C型卡片3张.
3. $(a+3b)(a+2b)$
4. 拼图如下:
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline b & ab & ab & b^2 \\\hline a & a^2 & a^2 & ab \\\hline & a & a & b \\\hline\end{array}$
5. 解:设MN长为x.$\because S_1=a[x-(a+b)]=ax-a^2-ab,S_2=3b(x-a)=3bx-3ab,\therefore Q=S_1-S_2=(a-3b)x-a^2+2ab$,由题意得,若Q为定值,则Q将不随x的变化而变化,可知当$a-3b=0$时,即$a=3b$时,$Q=-a^2+2ab$为定值.
2. 解:$(a+2b)(a+b)=a^2+ab+2ab+2b^2=a^2+3ab+2b^2$,
∴需要A型卡片1张,B型卡片2张,C型卡片3张.
3. $(a+3b)(a+2b)$
4. 拼图如下:
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline b & ab & ab & b^2 \\\hline a & a^2 & a^2 & ab \\\hline & a & a & b \\\hline\end{array}$
5. 解:设MN长为x.$\because S_1=a[x-(a+b)]=ax-a^2-ab,S_2=3b(x-a)=3bx-3ab,\therefore Q=S_1-S_2=(a-3b)x-a^2+2ab$,由题意得,若Q为定值,则Q将不随x的变化而变化,可知当$a-3b=0$时,即$a=3b$时,$Q=-a^2+2ab$为定值.
解析
【分析】
本题通过卡片拼图的形式，将整式运算与几何面积计算结合，运用数形结合思想解题。①活动1：分别用“边长平方计算大正方形面积”和“各小卡片面积之和计算大正方形面积”，两个表达式相等即可得到乘法公式；②活动2：先将矩形面积的多项式乘积展开，根据$a^2$对应A型卡片、$b^2$对应B型卡片、$ab$对应C型卡片，各项系数就是对应卡片的数量；③活动3：将多项式因式分解，得到的两个一次式就是拼成的长方形的长和宽，即可得到分解结果；④活动4：先将多项式因式分解得到长方形的长和宽，再对应卡片类型摆放即可；⑤活动5：设MN的长度为x，分别用含x、a、b的式子表示出两个阴影部分的面积$S_1$、$S_2$，计算$Q=S_1-S_2$，要让Q为定值即Q与x无关，只需x的系数为0，即可求出a、b的关系。
【解析】
活动1
大正方形的边长为$(a+b)$，面积可表示为$(a+b)^2$；
同时大正方形由1张A型、2张C型、1张B型卡片拼成，面积也可表示为$a^2 + 2ab + b^2$，
因此可得对应乘法公式。
活动2
先展开矩形面积的表达式：
$(a+2b)(a+b) = a^2 + ab + 2ab + 2b^2 = a^2 + 3ab + 2b^2$，
其中$a^2$的系数为1，对应A型卡片1张；$b^2$的系数为2，对应B型卡片2张；$ab$的系数为3，对应C型卡片3张。
活动3
观察长方形面积为$a^2+5ab+6b^2$，将其因式分解即可得到两个一次式的乘积形式。
活动4
先对多项式因式分解：$2a^2+3ab+b^2=(2a+b)(a+b)$，即拼成的长方形长为$(2a+b)$、宽为$(a+b)$，拼图方式如下（答案不唯一，合理即可）：
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline b & ab & ab & b^2 \\\hline a & a^2 & a^2 & ab \\\hline & a & a & b \\\hline\end{array}$
活动5
设MN的长度为x。
观察图形可得：上方阴影长方形的长为$(x-(a+b))$，宽为a，因此$S_1=a(x-(a+b))=ax - a^2 - ab$；
下方阴影长方形的长为$(x-a)$，宽为3b，因此$S_2=3b(x-a)=3bx - 3ab$；
计算$Q=S_1-S_2$：
$\begin{aligned}Q&=(ax - a^2 - ab) - (3bx - 3ab)\\&=(a - 3b)x - a^2 + 2ab\end{aligned}$
若Q为定值，则Q的值不随x的变化而变化，因此x的系数需为0，即$a-3b=0$，整理得$a=3b$。
【答案】
1. $\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
2. A型卡片1张，B型卡片2张，C型卡片3张
3. $\boldsymbol{(a+3b)(a+2b)}$
4. 拼图见解析（合理即可）
5. $\boldsymbol{a=3b}$，理由见解析
【知识点】
完全平方公式；多项式乘法；因式分解
【点评】
本题以拼图为载体，将代数运算与几何面积相结合，重点考查数形结合思想的应用，能够帮助学生直观理解整式乘法和因式分解的几何意义，注重知识的迁移和应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
本题通过卡片拼图的形式，将整式运算与几何面积计算结合，运用数形结合思想解题。①活动1：分别用“边长平方计算大正方形面积”和“各小卡片面积之和计算大正方形面积”，两个表达式相等即可得到乘法公式；②活动2：先将矩形面积的多项式乘积展开，根据$a^2$对应A型卡片、$b^2$对应B型卡片、$ab$对应C型卡片，各项系数就是对应卡片的数量；③活动3：将多项式因式分解，得到的两个一次式就是拼成的长方形的长和宽，即可得到分解结果；④活动4：先将多项式因式分解得到长方形的长和宽，再对应卡片类型摆放即可；⑤活动5：设MN的长度为x，分别用含x、a、b的式子表示出两个阴影部分的面积$S_1$、$S_2$，计算$Q=S_1-S_2$，要让Q为定值即Q与x无关，只需x的系数为0，即可求出a、b的关系。
【解析】
活动1
大正方形的边长为$(a+b)$，面积可表示为$(a+b)^2$；
同时大正方形由1张A型、2张C型、1张B型卡片拼成，面积也可表示为$a^2 + 2ab + b^2$，
因此可得对应乘法公式。
活动2
先展开矩形面积的表达式：
$(a+2b)(a+b) = a^2 + ab + 2ab + 2b^2 = a^2 + 3ab + 2b^2$，
其中$a^2$的系数为1，对应A型卡片1张；$b^2$的系数为2，对应B型卡片2张；$ab$的系数为3，对应C型卡片3张。
活动3
观察长方形面积为$a^2+5ab+6b^2$，将其因式分解即可得到两个一次式的乘积形式。
活动4
先对多项式因式分解：$2a^2+3ab+b^2=(2a+b)(a+b)$，即拼成的长方形长为$(2a+b)$、宽为$(a+b)$，拼图方式如下（答案不唯一，合理即可）：
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline b & ab & ab & b^2 \\\hline a & a^2 & a^2 & ab \\\hline & a & a & b \\\hline\end{array}$
活动5
设MN的长度为x。
观察图形可得：上方阴影长方形的长为$(x-(a+b))$，宽为a，因此$S_1=a(x-(a+b))=ax - a^2 - ab$；
下方阴影长方形的长为$(x-a)$，宽为3b，因此$S_2=3b(x-a)=3bx - 3ab$；
计算$Q=S_1-S_2$：
$\begin{aligned}Q&=(ax - a^2 - ab) - (3bx - 3ab)\\&=(a - 3b)x - a^2 + 2ab\end{aligned}$
若Q为定值，则Q的值不随x的变化而变化，因此x的系数需为0，即$a-3b=0$，整理得$a=3b$。
【答案】
1. $\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
2. A型卡片1张，B型卡片2张，C型卡片3张
3. $\boldsymbol{(a+3b)(a+2b)}$
4. 拼图见解析（合理即可）
5. $\boldsymbol{a=3b}$，理由见解析
【知识点】
完全平方公式；多项式乘法；因式分解
【点评】
本题以拼图为载体，将代数运算与几何面积相结合，重点考查数形结合思想的应用，能够帮助学生直观理解整式乘法和因式分解的几何意义，注重知识的迁移和应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
活动6:【拓展】正方形ABCD,AEFG如图5摆放,边长分别为x,y.若$x^2 + y^2 = 34$,BE=2,求图中两个阴影三角形面积和. 
图5
图5答案
6. 解:由题意,得$x-y=DG=BE=2,x^2+y^2=34$,则$(x-y)^2=4=x^2+y^2-2xy$.化简得$2xy=30$.$\therefore (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=34+30=64$.$\therefore x+y=8$(负值舍去).图中阴影部分面积为:$\frac{1}{2}×2y+\frac{1}{2}x(x-y)=y+\frac{1}{2}x×2=y+x=8$.
解析
【分析】
解题时首先结合正方形边长的关系，得出边长差$x-y=BE=2$；接着观察阴影部分图形，分别表示两个阴影三角形的面积并求和，化简后可知面积和为$x+y$；再利用已知的$x^2+y^2=34$，结合完全平方公式的变形求出$xy$的值，进一步计算$(x+y)^2$，开方取正数值即可得到阴影部分的面积和。
【解析】
解：由题意得，正方形$ABCD$边长为$x$，正方形$AEFG$边长为$y$，
∴$AB=x$，$AE=y$，则$BE=AB-AE=x-y=2$，
已知$x^2+y^2=34$，
将$x-y=2$两边平方得：$(x-y)^2=4$，
由完全平方公式展开得：$x^2-2xy+y^2=4$，
代入$x^2+y^2=34$得：$34-2xy=4$，解得$2xy=30$，
再由完全平方公式可得：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=34+30=64$，
∵$x$、$y$为正方形边长，均为正数，
∴$x+y=8$（负值舍去），
计算阴影面积：上方阴影三角形底为$x$，高为$x-y$，面积为$\frac{1}{2}x(x-y)$；下方阴影三角形底为$2$，高为$y$，面积为$\frac{1}{2}×2y=y$，
∴阴影总面积$S=\frac{1}{2}x(x-y)+y$，代入$x-y=2$得：
$S=\frac{1}{2}x×2 + y = x+y=8$。
【答案】
8
【知识点】
完全平方公式，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将几何图形性质与代数公式结合考查，解题核心是先梳理出两个正方形边长的数量关系，再将阴影面积化简后借助完全平方公式的变形求解，渗透了数形结合的思想，能有效考查对乘法公式几何意义的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合正方形边长的关系，得出边长差$x-y=BE=2$；接着观察阴影部分图形，分别表示两个阴影三角形的面积并求和，化简后可知面积和为$x+y$；再利用已知的$x^2+y^2=34$，结合完全平方公式的变形求出$xy$的值，进一步计算$(x+y)^2$，开方取正数值即可得到阴影部分的面积和。
【解析】
解：由题意得，正方形$ABCD$边长为$x$，正方形$AEFG$边长为$y$，
∴$AB=x$，$AE=y$，则$BE=AB-AE=x-y=2$，
已知$x^2+y^2=34$，
将$x-y=2$两边平方得：$(x-y)^2=4$，
由完全平方公式展开得：$x^2-2xy+y^2=4$，
代入$x^2+y^2=34$得：$34-2xy=4$，解得$2xy=30$，
再由完全平方公式可得：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=34+30=64$，
∵$x$、$y$为正方形边长，均为正数，
∴$x+y=8$（负值舍去），
计算阴影面积：上方阴影三角形底为$x$，高为$x-y$，面积为$\frac{1}{2}x(x-y)$；下方阴影三角形底为$2$，高为$y$，面积为$\frac{1}{2}×2y=y$，
∴阴影总面积$S=\frac{1}{2}x(x-y)+y$，代入$x-y=2$得：
$S=\frac{1}{2}x×2 + y = x+y=8$。
【答案】
8
【知识点】
完全平方公式，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将几何图形性质与代数公式结合考查，解题核心是先梳理出两个正方形边长的数量关系，再将阴影面积化简后借助完全平方公式的变形求解，渗透了数形结合的思想，能有效考查对乘法公式几何意义的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6
