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7. (2025·吉林)一个正方体的展开图如图3所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为 ()
A.我
B.中
C.国
D.梦
A.我
B.中
C.国
D.梦
答案
C
解析
【分析】
本题是正方体展开图相对面的判定题型，解题思路如下：第一步先回忆正方体展开图相对面的判定规律：相对的面在展开图中不相邻，满足“相间、Z端是对面”的规则，即同一行/列中相隔1个面的两个面互为相对面，呈“Z”字形分布的两个端点处的面互为相对面；第二步用该规则对应展开图中的文字，找到和“的”字符合相对面规则的文字即可得到答案。
【解析】
根据正方体展开图相对面的判定规则：同一行或同一列中，中间间隔1个正方形的两个面是相对面。
观察本题的展开图可得：
“我”与“中”在同一行中间隔1个面，互为相对面；
“的”与“国”在同一行/列中间隔1个面，互为相对面；
剩余的“梦”与其余面互为相对面。
因此有“的”字一面的相对面上的字是“国”。
【答案】
C
【知识点】
正方体展开图相对面判定
【点评】
本题是空间几何类的基础常考题，重点考查对正方体展开图规律的掌握情况，牢记“相间、Z端是对面”的判定口诀即可快速准确作答，对培养空间想象能力有重要作用。
【难度系数】
0.8
本题是正方体展开图相对面的判定题型，解题思路如下：第一步先回忆正方体展开图相对面的判定规律：相对的面在展开图中不相邻，满足“相间、Z端是对面”的规则，即同一行/列中相隔1个面的两个面互为相对面，呈“Z”字形分布的两个端点处的面互为相对面；第二步用该规则对应展开图中的文字，找到和“的”字符合相对面规则的文字即可得到答案。
【解析】
根据正方体展开图相对面的判定规则：同一行或同一列中，中间间隔1个正方形的两个面是相对面。
观察本题的展开图可得：
“我”与“中”在同一行中间隔1个面，互为相对面；
“的”与“国”在同一行/列中间隔1个面，互为相对面；
剩余的“梦”与其余面互为相对面。
因此有“的”字一面的相对面上的字是“国”。
【答案】
C
【知识点】
正方体展开图相对面判定
【点评】
本题是空间几何类的基础常考题，重点考查对正方体展开图规律的掌握情况，牢记“相间、Z端是对面”的判定口诀即可快速准确作答，对培养空间想象能力有重要作用。
【难度系数】
0.8
8. 如图4,已知A,B是线段EF上两点,EA:AB:BF=1:2:3,M,N分别为EA,BF的中点,且MN=8 cm,则EF长 ()
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
D
解析
【分析】
遇到线段长度成比例的问题，我们可以采用设参数的方法简化计算：首先根据已知的线段比例设出每份的长度，再结合线段中点的性质表示出相关线段的长度，接着根据MN的组成关系列出方程求出参数，最后计算EF的总长度即可。
【解析】
解：设EA的长度为$x\ \mathrm{cm}$，由$EA:AB:BF=1:2:3$可得：$AB=2x\ \mathrm{cm}$，$BF=3x\ \mathrm{cm}$。
∵M是EA的中点，
∴$MA=\frac{1}{2}EA=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
∵N是BF的中点，
∴$BN=\frac{1}{2}BF=\frac{3}{2}x\ \mathrm{cm}$。
观察图形可知$MN=MA+AB+BN$，代入$MN=8\ \mathrm{cm}$得：
$\frac{1}{2}x + 2x + \frac{3}{2}x = 8$
合并同类项得$4x=8$，解得$x=2$。
$EF=EA+AB+BF=x+2x+3x=6x$，将$x=2$代入得$EF=6×2=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的典型题型，通过设参数将比例关系转化为具体的线段表达式，结合线段中点和和差关系列方程求解，是解决这类问题的通用思路，熟练掌握该方法可提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.7
遇到线段长度成比例的问题，我们可以采用设参数的方法简化计算：首先根据已知的线段比例设出每份的长度，再结合线段中点的性质表示出相关线段的长度，接着根据MN的组成关系列出方程求出参数，最后计算EF的总长度即可。
【解析】
解：设EA的长度为$x\ \mathrm{cm}$，由$EA:AB:BF=1:2:3$可得：$AB=2x\ \mathrm{cm}$，$BF=3x\ \mathrm{cm}$。
∵M是EA的中点，
∴$MA=\frac{1}{2}EA=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
∵N是BF的中点，
∴$BN=\frac{1}{2}BF=\frac{3}{2}x\ \mathrm{cm}$。
观察图形可知$MN=MA+AB+BN$，代入$MN=8\ \mathrm{cm}$得：
$\frac{1}{2}x + 2x + \frac{3}{2}x = 8$
合并同类项得$4x=8$，解得$x=2$。
$EF=EA+AB+BF=x+2x+3x=6x$，将$x=2$代入得$EF=6×2=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的典型题型，通过设参数将比例关系转化为具体的线段表达式，结合线段中点和和差关系列方程求解，是解决这类问题的通用思路，熟练掌握该方法可提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.7
9. 一副三角板按如图5所示的方式摆放,且∠1的度数是∠2的3倍,则∠2的度数为 ()
A.$20°$
B.$22.5°$
C.$25°$
D.$67.5°$
A.$20°$
B.$22.5°$
C.$25°$
D.$67.5°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：三角板的直角与∠1、∠2共同组成一个平角，结合平角度数为180°，可先推出∠1与∠2的和为90°；再根据题目给出的∠1是∠2的3倍的数量关系，代入计算即可求出∠2的度数。
【解析】
由图可知，∠1、∠2与三角板的直角共同组成平角，根据平角的定义可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 90° = 180°$
因此$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
已知$∠ 1 = 3∠ 2$，代入上式得：
$3∠ 2 + ∠ 2 = 90°$
$4∠ 2 = 90°$
解得$∠ 2 = 22.5°$
【答案】
B
【知识点】
平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，需要结合图形挖掘出隐藏的角的和差关系，再结合已知的倍数条件求解，只要掌握平角的特征和角的基本运算就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：三角板的直角与∠1、∠2共同组成一个平角，结合平角度数为180°，可先推出∠1与∠2的和为90°；再根据题目给出的∠1是∠2的3倍的数量关系，代入计算即可求出∠2的度数。
【解析】
由图可知，∠1、∠2与三角板的直角共同组成平角，根据平角的定义可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 90° = 180°$
因此$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
已知$∠ 1 = 3∠ 2$，代入上式得：
$3∠ 2 + ∠ 2 = 90°$
$4∠ 2 = 90°$
解得$∠ 2 = 22.5°$
【答案】
B
【知识点】
平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，需要结合图形挖掘出隐藏的角的和差关系，再结合已知的倍数条件求解，只要掌握平角的特征和角的基本运算就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
10. 借助一副三角尺不能画出的角是 （） 图5
A.$95°$
B.$105°$
C.$120°$
D.$135°$
A.$95°$
B.$105°$
C.$120°$
D.$135°$
答案
A
解析
【分析】
首先明确一副三角尺的固定角度为30°、45°、60°、90°，除了这几个角度可以直接画出外，还能通过角度的和、差画出其他角度。解题时只需逐个判断选项中的角度是否能由上述4个角度相加或相减得到，无法得到的就是不能画出的角。
【解析】
一副三角尺的角度分别为30°、45°、60°、90°，对各选项逐一验证：
A. 95°：无法通过30°、45°、60°、90°的和或差运算得到，不能画出；
B. 105°：由60°+45°=105°，可以画出；
C. 120°：由30°+90°=120°，可以画出；
D. 135°：由45°+90°=135°，可以画出。
综上，不能画出的角是95°。
【答案】
A
【知识点】
三角尺的角度认识；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是熟记三角尺的固有角度，通过逐一验证各选项能否由这些角度的和差组合得到即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确一副三角尺的固定角度为30°、45°、60°、90°，除了这几个角度可以直接画出外，还能通过角度的和、差画出其他角度。解题时只需逐个判断选项中的角度是否能由上述4个角度相加或相减得到，无法得到的就是不能画出的角。
【解析】
一副三角尺的角度分别为30°、45°、60°、90°，对各选项逐一验证：
A. 95°：无法通过30°、45°、60°、90°的和或差运算得到，不能画出；
B. 105°：由60°+45°=105°，可以画出；
C. 120°：由30°+90°=120°，可以画出；
D. 135°：由45°+90°=135°，可以画出。
综上，不能画出的角是95°。
【答案】
A
【知识点】
三角尺的角度认识；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是熟记三角尺的固有角度，通过逐一验证各选项能否由这些角度的和差组合得到即可快速解题。
【难度系数】
0.8
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 计算:$109°28'-70°31'=$.
11. 计算:$109°28'-70°31'=$.
答案
$\boldsymbol{38°57'}$
解析
【分析】
度和分的换算进率是60，即$1°=60'$，计算角度减法时，先对比分位上的数值：本题中被减数的分位是$28'$，小于减数的分位$31'$，因此需要先从被减数的度位借$1°$转化为$60'$，再分别对度、分两个单位的数值做减法运算即可。
【解析】
因为$28'＜31'$，所以先将$109°28'$借位换算：
$109°28'=108°+(60'+28')=108°88'$
再分别计算度、分的差值：
度：$108°-70°=38°$
分：$88'-31'=57'$
合并结果得$38°57'$。
【答案】
$38°57'$
【知识点】
1.度分秒的换算
2.度分秒的减法运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心考点是度分秒的60进制规则，解题时注意借位换算的进率，不要误按10进制计算即可。
【难度系数】
0.8
度和分的换算进率是60，即$1°=60'$，计算角度减法时，先对比分位上的数值：本题中被减数的分位是$28'$，小于减数的分位$31'$，因此需要先从被减数的度位借$1°$转化为$60'$，再分别对度、分两个单位的数值做减法运算即可。
【解析】
因为$28'＜31'$，所以先将$109°28'$借位换算：
$109°28'=108°+(60'+28')=108°88'$
再分别计算度、分的差值：
度：$108°-70°=38°$
分：$88'-31'=57'$
合并结果得$38°57'$。
【答案】
$38°57'$
【知识点】
1.度分秒的换算
2.度分秒的减法运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心考点是度分秒的60进制规则，解题时注意借位换算的进率，不要误按10进制计算即可。
【难度系数】
0.8
12. 如果甲地在乙地北偏西 $35°$的方向,那么乙地在甲地的方向.
答案
南偏东35°
解析
【分析】
拿到这道题首先要回忆相对位置的规律：两个地点的相对位置是相互的，描述对方位置时，方向相反、角度大小相等、距离相等。已知甲地相对于乙地的方向是北偏西35°，我们只需要把原方向的两个方位分别换成相反方向，角度保持不变，就能得到乙地相对于甲地的方向。
【解析】
根据相对位置的性质：两个地点的相对位置方向相反、角度相等。
已知甲地在乙地北偏西35°方向，其中“北”的相反方向是“南”，“西”的相反方向是“东”，角度35°保持不变，因此乙地在甲地的南偏东35°方向。
【答案】
南偏东35°
【知识点】
方向与位置；位置的相对性
【点评】
本题是方向判断的基础题型，核心考查相对位置的方向变化规律，解题时注意不要搞反方位的对应关系，牢记“方向相反、角度相等”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先要回忆相对位置的规律：两个地点的相对位置是相互的，描述对方位置时，方向相反、角度大小相等、距离相等。已知甲地相对于乙地的方向是北偏西35°，我们只需要把原方向的两个方位分别换成相反方向，角度保持不变，就能得到乙地相对于甲地的方向。
【解析】
根据相对位置的性质：两个地点的相对位置方向相反、角度相等。
已知甲地在乙地北偏西35°方向，其中“北”的相反方向是“南”，“西”的相反方向是“东”，角度35°保持不变，因此乙地在甲地的南偏东35°方向。
【答案】
南偏东35°
【知识点】
方向与位置；位置的相对性
【点评】
本题是方向判断的基础题型，核心考查相对位置的方向变化规律，解题时注意不要搞反方位的对应关系，牢记“方向相反、角度相等”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13. 如图6,C是线段AB上一点,D是线段BC的中点,AD=10 cm,AC=7 cm,则线段BD的长为cm.
答案
3
解析
【分析】
解题时先梳理图中线段的数量关系：首先已知AD和AC的长度，可通过线段的减法运算求出CD的长度；再结合D是BC中点的性质，可知BD与CD长度相等，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵点C在线段AD上，
∴$CD = AD - AC$，
已知$AD=10\ \mathrm{cm}$，$AC=7\ \mathrm{cm}$，代入得：
$CD = 10 - 7 = 3\ \mathrm{cm}$，
又
∵D是线段BC的中点，
∴$BD = CD = 3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查线段相关性质的简单应用，解题的核心是准确找到各线段之间的和差关系，结合中点性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理图中线段的数量关系：首先已知AD和AC的长度，可通过线段的减法运算求出CD的长度；再结合D是BC中点的性质，可知BD与CD长度相等，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵点C在线段AD上，
∴$CD = AD - AC$，
已知$AD=10\ \mathrm{cm}$，$AC=7\ \mathrm{cm}$，代入得：
$CD = 10 - 7 = 3\ \mathrm{cm}$，
又
∵D是线段BC的中点，
∴$BD = CD = 3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查线段相关性质的简单应用，解题的核心是准确找到各线段之间的和差关系，结合中点性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14. (2025·淄博)如图7，∠AOC=∠BOD=90°，∠COD=44°，则∠AOB=°.
答案
$\boldsymbol{136}$
解析
【分析】
解题时先观察图形中各角的位置关系，结合已知条件：∠BOD是直角为90°，已知∠COD=44°，可以先求出∠BOC的度数；再结合∠AOC是直角为90°，利用角的和的关系即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵ ∠BOD=90°，∠COD=44°，
∴ ∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 90° - 44° = 46°，
又
∵ ∠AOC=90°，
∴ ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 90° + 46° = 136°。
【答案】
136
【知识点】
1. 角的和差计算
2. 直角的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对角的和差关系的理解与运用，解题的核心是结合图形准确梳理各角之间的数量关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形中各角的位置关系，结合已知条件：∠BOD是直角为90°，已知∠COD=44°，可以先求出∠BOC的度数；再结合∠AOC是直角为90°，利用角的和的关系即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵ ∠BOD=90°，∠COD=44°，
∴ ∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 90° - 44° = 46°，
又
∵ ∠AOC=90°，
∴ ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 90° + 46° = 136°。
【答案】
136
【知识点】
1. 角的和差计算
2. 直角的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对角的和差关系的理解与运用，解题的核心是结合图形准确梳理各角之间的数量关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
15. 如图8，将直角三角板的直角顶点O落在直线AB上，射线OE平分∠BOC，∠AOC=α°，将三角板绕点O旋转(旋转过程中∠AOC与∠BOC均指大于0°且小于180°的角)一周，∠EOD的度数为(用含α的代数式表示)。
答案
解：
∵ OE平分∠BOC，
∴ $∠ COE = \frac{1}{2}∠ BOC$。
∵ 点O在直线AB上，$∠ AOC + ∠ BOC = 180°$，$∠ AOC = α°$，
∴ $∠ BOC = 180° - α°$，
∴ $∠ COE = \frac{1}{2}(180° - α°) = 90° - \frac{α°}{2}$。
由三角板为直角三角板得$∠ COD = 90°$，分两种情况：
1. 当OD落在$∠ BOC$内部时：
$∠ EOD = ∠ COD - ∠ COE = 90° - (90° - \frac{α°}{2}) = \frac{α°}{2}$；
2. 当OD不在$∠ BOC$内部时：
$∠ EOD = ∠ COE + ∠ COD = (90° - \frac{α°}{2}) + 90° = 180° - \frac{α°}{2}$。
综上，$∠ EOD$的度数为$\boldsymbol{\frac{α}{2}°}$或$\boldsymbol{(180-\frac{α}{2})°}$。
∵ OE平分∠BOC，
∴ $∠ COE = \frac{1}{2}∠ BOC$。
∵ 点O在直线AB上，$∠ AOC + ∠ BOC = 180°$，$∠ AOC = α°$，
∴ $∠ BOC = 180° - α°$，
∴ $∠ COE = \frac{1}{2}(180° - α°) = 90° - \frac{α°}{2}$。
由三角板为直角三角板得$∠ COD = 90°$，分两种情况：
1. 当OD落在$∠ BOC$内部时：
$∠ EOD = ∠ COD - ∠ COE = 90° - (90° - \frac{α°}{2}) = \frac{α°}{2}$；
2. 当OD不在$∠ BOC$内部时：
$∠ EOD = ∠ COE + ∠ COD = (90° - \frac{α°}{2}) + 90° = 180° - \frac{α°}{2}$。
综上，$∠ EOD$的度数为$\boldsymbol{\frac{α}{2}°}$或$\boldsymbol{(180-\frac{α}{2})°}$。
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件，先利用平角的性质求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠COE的度数；由于三角板绕点O旋转时，OD的位置存在两种情况：在∠BOC内部和不在∠BOC内部，所以需要分类讨论，结合直角三角板的直角为90°，通过角的和差关系分别计算两种情况下∠EOD的度数即可。
【解析】
解：
∵ OE平分∠BOC，
∴ $∠COE = \frac{1}{2}∠BOC$。
∵ 点O在直线AB上，$∠AOC + ∠BOC = 180°$，$∠AOC = α°$，
∴ $∠BOC = 180° - α°$，
∴ $∠COE = \frac{1}{2}(180° - α°) = 90° - \frac{α°}{2}$。
由三角板为直角三角板可知$∠COD = 90°$，分两种情况讨论：
1. 当OD落在$∠BOC$内部时：
$∠EOD = ∠COD - ∠COE = 90° - (90° - \frac{α°}{2}) = \frac{α°}{2}$；
2. 当OD不在$∠BOC$内部时：
$∠EOD = ∠COE + ∠COD = (90° - \frac{α°}{2}) + 90° = 180° - \frac{α°}{2}$。
【答案】
$\frac{α}{2}°$或$(180-\frac{α}{2})°$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角的和差计算
【点评】
本题考查角的相关计算，解题的关键是明确旋转过程中图形的位置存在多种可能，需要结合图形分类讨论，避免因漏解导致答案不完整。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合已知条件，先利用平角的性质求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠COE的度数；由于三角板绕点O旋转时，OD的位置存在两种情况：在∠BOC内部和不在∠BOC内部，所以需要分类讨论，结合直角三角板的直角为90°，通过角的和差关系分别计算两种情况下∠EOD的度数即可。
【解析】
解：
∵ OE平分∠BOC，
∴ $∠COE = \frac{1}{2}∠BOC$。
∵ 点O在直线AB上，$∠AOC + ∠BOC = 180°$，$∠AOC = α°$，
∴ $∠BOC = 180° - α°$，
∴ $∠COE = \frac{1}{2}(180° - α°) = 90° - \frac{α°}{2}$。
由三角板为直角三角板可知$∠COD = 90°$，分两种情况讨论：
1. 当OD落在$∠BOC$内部时：
$∠EOD = ∠COD - ∠COE = 90° - (90° - \frac{α°}{2}) = \frac{α°}{2}$；
2. 当OD不在$∠BOC$内部时：
$∠EOD = ∠COE + ∠COD = (90° - \frac{α°}{2}) + 90° = 180° - \frac{α°}{2}$。
【答案】
$\frac{α}{2}°$或$(180-\frac{α}{2})°$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角的和差计算
【点评】
本题考查角的相关计算，解题的关键是明确旋转过程中图形的位置存在多种可能，需要结合图形分类讨论，避免因漏解导致答案不完整。
【难度系数】
0.6
