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2 菱形的性质与判定(第1课时)
课堂精要·梳理内容
1.菱形的定义
有一组
2.菱形的性质
文字语言：
①菱形是特殊的
②菱形的四条边
③菱形的对角线
图形及符号语言：
④∵四边形ABCD是菱形，
∴
⑤菱形既是
3.菱形的周长等于
课堂精要·梳理内容
1.菱形的定义
有一组
邻边相等
的平行四边形叫作菱形。2.菱形的性质
文字语言：
①菱形是特殊的
平行四边形
；②菱形的四条边
相等
；③菱形的对角线
互相垂直
，并且互相平分
。图形及符号语言：
④∵四边形ABCD是菱形，
∴
AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,∠CAB=∠CAD=∠ACB=∠ACD,∠CDB=∠ADB=∠CBD=∠ABD
。⑤菱形既是
轴
对称图形，也是中心
对称图形，对称轴是每条对角线所在的直线
，共有2
条。3.菱形的周长等于
边长的四倍
，菱形的面积等于对角线长的乘积的一半
。答案
1. 邻边相等
2. ①平行四边形 ②相等 ③互相垂直 互相平分 ④AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,∠CAB=∠CAD=∠ACB=∠ACD,∠CDB=∠ADB=∠CBD=∠ABD ⑤轴 中心 每条对角线所在的直线 2
3. 边长的四倍 对角线长的乘积的一半
2. ①平行四边形 ②相等 ③互相垂直 互相平分 ④AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,∠CAB=∠CAD=∠ACB=∠ACD,∠CDB=∠ADB=∠CBD=∠ABD ⑤轴 中心 每条对角线所在的直线 2
3. 边长的四倍 对角线长的乘积的一半
解析
【分析】
本题是对菱形基础概念的考查，属于识记类基础题，解题时结合教材中菱形的定义、性质、周长及面积公式的相关内容逐一对应填空即可：首先明确菱形是在平行四边形的基础上定义的特殊图形，先回忆其定义特征，再梳理它区别于普通平行四边形的特有性质，最后结合性质推导周长、面积公式，就能完成所有填空。
【解析】
1. 菱形的定义：在平行四边形的范畴中，有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形，因此第一空填邻边相等。
2. 菱形的性质：
① 菱形是满足特殊条件的平行四边形，因此它是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质；
② 菱形的特有性质之一是四条边都相等；
③ 菱形的对角线除了具有普通平行四边形对角线互相平分的性质外，还互相垂直，因此依次填互相垂直、互相平分；
④ 结合菱形的边、对角线、内角的性质，对应的符号语言为：四条边相等AB=BC=CD=AD，对角线互相垂直AC⊥BD，对角线平分对应内角∠CAB=∠CAD=∠ACB=∠ACD，∠CDB=∠ADB=∠CBD=∠ABD；
⑤ 菱形沿对角线所在的直线折叠，直线两侧的部分可以完全重合，因此是轴对称图形；菱形绕对角线交点旋转180°后可以和自身重合，因此也是中心对称图形，它的对称轴是每条对角线所在的直线，共有2条。
3. 菱形四条边长度相等，因此周长等于边长的四倍；菱形可以被两条对角线分割为4个全等的直角三角形，通过面积求和可推导得出菱形的面积等于对角线长的乘积的一半。
【答案】
1. 邻边相等
2. ①平行四边形 ②相等 ③互相垂直 互相平分 ④AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,∠CAB=∠CAD=∠ACB=∠ACD,∠CDB=∠ADB=∠CBD=∠ABD ⑤轴 中心 每条对角线所在的直线 2
3. 边长的四倍 对角线长的乘积的一半
【知识点】
菱形的定义；菱形的性质；菱形的周长与面积计算
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查菱形的相关基础概念，熟练掌握这些内容是后续解决菱形的证明、计算类综合题的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题是对菱形基础概念的考查，属于识记类基础题，解题时结合教材中菱形的定义、性质、周长及面积公式的相关内容逐一对应填空即可：首先明确菱形是在平行四边形的基础上定义的特殊图形，先回忆其定义特征，再梳理它区别于普通平行四边形的特有性质，最后结合性质推导周长、面积公式，就能完成所有填空。
【解析】
1. 菱形的定义：在平行四边形的范畴中，有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形，因此第一空填邻边相等。
2. 菱形的性质：
① 菱形是满足特殊条件的平行四边形，因此它是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质；
② 菱形的特有性质之一是四条边都相等；
③ 菱形的对角线除了具有普通平行四边形对角线互相平分的性质外，还互相垂直，因此依次填互相垂直、互相平分；
④ 结合菱形的边、对角线、内角的性质，对应的符号语言为：四条边相等AB=BC=CD=AD，对角线互相垂直AC⊥BD，对角线平分对应内角∠CAB=∠CAD=∠ACB=∠ACD，∠CDB=∠ADB=∠CBD=∠ABD；
⑤ 菱形沿对角线所在的直线折叠，直线两侧的部分可以完全重合，因此是轴对称图形；菱形绕对角线交点旋转180°后可以和自身重合，因此也是中心对称图形，它的对称轴是每条对角线所在的直线，共有2条。
3. 菱形四条边长度相等，因此周长等于边长的四倍；菱形可以被两条对角线分割为4个全等的直角三角形，通过面积求和可推导得出菱形的面积等于对角线长的乘积的一半。
【答案】
1. 邻边相等
2. ①平行四边形 ②相等 ③互相垂直 互相平分 ④AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,∠CAB=∠CAD=∠ACB=∠ACD,∠CDB=∠ADB=∠CBD=∠ABD ⑤轴 中心 每条对角线所在的直线 2
3. 边长的四倍 对角线长的乘积的一半
【知识点】
菱形的定义；菱形的性质；菱形的周长与面积计算
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查菱形的相关基础概念，熟练掌握这些内容是后续解决菱形的证明、计算类综合题的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. 如图，在菱形$ABCD$中，$∠ A=40°$，则$∠ ADB$的度数是（
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
D
）。A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先结合已知图形和条件，明确考查菱形的性质相关计算：首先回忆菱形的核心性质，菱形四条边长度相等，可得AD=AB，即△ADB为等腰三角形，等腰三角形两底角相等，再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠A的度数，即可求出底角∠ADB的度数。也可通过菱形邻角互补、对角线平分内角的性质求解，思路一致。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AD = AB（菱形的四条边都相等）
∴△ADB为等腰三角形，∠ADB = ∠ABD
根据三角形内角和定理，在△ADB中：
∠A + ∠ADB + ∠ABD = 180°
已知∠A = 40°，代入得：
2∠ADB = 180° - 40° = 140°
∴∠ADB = 70°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，将菱形的边的性质与等腰三角形角度计算结合考查，难度较低，掌握基础几何图形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时先结合已知图形和条件，明确考查菱形的性质相关计算：首先回忆菱形的核心性质，菱形四条边长度相等，可得AD=AB，即△ADB为等腰三角形，等腰三角形两底角相等，再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠A的度数，即可求出底角∠ADB的度数。也可通过菱形邻角互补、对角线平分内角的性质求解，思路一致。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AD = AB（菱形的四条边都相等）
∴△ADB为等腰三角形，∠ADB = ∠ABD
根据三角形内角和定理，在△ADB中：
∠A + ∠ADB + ∠ABD = 180°
已知∠A = 40°，代入得：
2∠ADB = 180° - 40° = 140°
∴∠ADB = 70°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，将菱形的边的性质与等腰三角形角度计算结合考查，难度较低，掌握基础几何图形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
2.已知一个菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是$2\sqrt{3}$ cm，则另一条对角线的长是(
A.4 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.2 cm
D.$2\sqrt{3}$ cm
C
)。A.4 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.2 cm
D.$2\sqrt{3}$ cm
答案
2.C
解析
【分析】
解决本题的核心是利用菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半与菱形的边长可构成直角三角形，已知边长和其中一条对角线的长度，我们可以先求出已知对角线的一半，再通过勾股定理求出另一条对角线的一半，最后乘2即可得到另一条对角线的总长度。
【解析】
解：
∵菱形的对角线互相垂直且平分
∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，其中菱形边长为斜边
已知一条对角线长为$2\sqrt{3}$cm，则它的一半为：$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$cm
设另一条对角线的一半长为$x$cm，根据勾股定理可得：
$x^2 + (\sqrt{3})^2 = 2^2$
$x^2 + 3 = 4$
$x^2 = 1$
∵长度为正数，
∴$x=1$
则另一条对角线的全长为$2x=2×1=2$cm
故选：C
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，需要熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的特点，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半与菱形的边长可构成直角三角形，已知边长和其中一条对角线的长度，我们可以先求出已知对角线的一半，再通过勾股定理求出另一条对角线的一半，最后乘2即可得到另一条对角线的总长度。
【解析】
解：
∵菱形的对角线互相垂直且平分
∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，其中菱形边长为斜边
已知一条对角线长为$2\sqrt{3}$cm，则它的一半为：$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$cm
设另一条对角线的一半长为$x$cm，根据勾股定理可得：
$x^2 + (\sqrt{3})^2 = 2^2$
$x^2 + 3 = 4$
$x^2 = 1$
∵长度为正数，
∴$x=1$
则另一条对角线的全长为$2x=2×1=2$cm
故选：C
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，需要熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的特点，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。已知AB=5 cm，AO=4 cm，则BD的长为
6 cm
。答案
3. 6 cm
解析
【分析】
解题首先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，因此可得对角线AC⊥BD，点O是BD的中点，△AOB为直角三角形。接下来在Rt△AOB中，已知斜边AB和直角边AO的长度，可通过勾股定理求出另一条直角边OB的长度，最后根据BD=2OB即可算出BD的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O
∴AC⊥BD，OB=OD（菱形的对角线互相垂直平分）
即△AOB为直角三角形，∠AOB=90°
在Rt△AOB中，AB=5 cm，AO=4 cm，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$
∵BD=2OB
∴BD=2×3=6 cm
【答案】
6 cm
【知识点】
菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础题，重点考查菱形对角线相关性质的应用，解题关键是借助菱形对角线垂直的性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，因此可得对角线AC⊥BD，点O是BD的中点，△AOB为直角三角形。接下来在Rt△AOB中，已知斜边AB和直角边AO的长度，可通过勾股定理求出另一条直角边OB的长度，最后根据BD=2OB即可算出BD的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O
∴AC⊥BD，OB=OD（菱形的对角线互相垂直平分）
即△AOB为直角三角形，∠AOB=90°
在Rt△AOB中，AB=5 cm，AO=4 cm，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$
∵BD=2OB
∴BD=2×3=6 cm
【答案】
6 cm
【知识点】
菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础题，重点考查菱形对角线相关性质的应用，解题关键是借助菱形对角线垂直的性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.已知一个菱形的周长为16，高为2，则该菱形的面积为
8
。答案
4. 8
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的基本性质：菱形四条边长度相等，因此可通过周长先求出菱形的边长；菱形属于特殊的平行四边形，面积可以用“底×高”计算，求出的边长可作为面积公式中的底，结合已知的高即可算出最终面积。
【解析】
解：
∵菱形的四条边长度相等，已知其周长为16
∴菱形的边长为：$16÷4=4$
又
∵菱形的面积公式为$S=\mathrm{底}×\mathrm{高}$，此处底取菱形边长4，高为已知的2
∴该菱形的面积为：$4×2=8$
【答案】
8
【知识点】
1. 菱形的性质 2. 菱形的面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查菱形的基础性质和面积公式的应用，只要熟记相关知识点就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆菱形的基本性质：菱形四条边长度相等，因此可通过周长先求出菱形的边长；菱形属于特殊的平行四边形，面积可以用“底×高”计算，求出的边长可作为面积公式中的底，结合已知的高即可算出最终面积。
【解析】
解：
∵菱形的四条边长度相等，已知其周长为16
∴菱形的边长为：$16÷4=4$
又
∵菱形的面积公式为$S=\mathrm{底}×\mathrm{高}$，此处底取菱形边长4，高为已知的2
∴该菱形的面积为：$4×2=8$
【答案】
8
【知识点】
1. 菱形的性质 2. 菱形的面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查菱形的基础性质和面积公式的应用，只要熟记相关知识点就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5.已知一个菱形的面积为80 cm²，高为8 cm，
则该菱形的周长为
则该菱形的周长为
40 cm
。答案
5. 40 cm
解析
【分析】
菱形是特殊的平行四边形，因此可沿用平行四边形的面积公式“面积=底×高”解题。解题思路分两步：第一步，结合已知的菱形面积和高，反推求出菱形的底边长，也就是菱形的边长；第二步，利用菱形四条边长度相等的性质，用边长乘4即可求出周长。
【解析】
解：
∵菱形是特殊的平行四边形，其面积计算公式为$S = 底×高$
设菱形的边长为$a\mathrm{cm}$，已知面积$S=80\mathrm{cm}^2$，高为$8\mathrm{cm}$，代入公式得：
$80 = 8a$
解得：$a = 10$
又
∵菱形的四条边长度相等
∴菱形的周长$C = 4a = 4×10 = 40(\mathrm{cm})$
【答案】
40 cm
【知识点】
菱形的性质；菱形的面积计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查对菱形基本性质和面积公式的掌握，只要熟记菱形的边的性质以及面积计算方法，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
菱形是特殊的平行四边形，因此可沿用平行四边形的面积公式“面积=底×高”解题。解题思路分两步：第一步，结合已知的菱形面积和高，反推求出菱形的底边长，也就是菱形的边长；第二步，利用菱形四条边长度相等的性质，用边长乘4即可求出周长。
【解析】
解：
∵菱形是特殊的平行四边形，其面积计算公式为$S = 底×高$
设菱形的边长为$a\mathrm{cm}$，已知面积$S=80\mathrm{cm}^2$，高为$8\mathrm{cm}$，代入公式得：
$80 = 8a$
解得：$a = 10$
又
∵菱形的四条边长度相等
∴菱形的周长$C = 4a = 4×10 = 40(\mathrm{cm})$
【答案】
40 cm
【知识点】
菱形的性质；菱形的面积计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查对菱形基本性质和面积公式的掌握，只要熟记菱形的边的性质以及面积计算方法，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6.如图,在菱形ABCD中,过点B分别作BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F。求证:AE=CF。
答案
证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC,∠A=∠C。
∵BE⊥AD,BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°。
在△ABE和△CBF中，
$\begin{cases}∠BEA=∠BFC=90°,\\∠A=∠C,\\BA=BC,\end{cases}$
∴△ABE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF。
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC,∠A=∠C。
∵BE⊥AD,BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°。
在△ABE和△CBF中，
$\begin{cases}∠BEA=∠BFC=90°,\\∠A=∠C,\\BA=BC,\end{cases}$
∴△ABE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF。
解析
【分析】
要证明AE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先观察图形可知AE、CF分别在△ABE和△CBF中，因此只需证明△ABE≌△CBF即可。结合菱形的性质可得到全等所需的边、角条件：菱形的邻边相等可得BA=BC，菱形的对角相等可得∠A=∠C；再结合BE⊥AD、BF⊥CD的条件，可得两个三角形的对应直角相等，即可用AAS判定△ABE≌△CBF，最后由全等三角形对应边相等即可得到AE=CF。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠A=∠C。
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°。
在△ABE和△CBF中，
$\begin{cases}∠BEA=∠BFC=90°,\\∠A=∠C,\\BA=BC,\end{cases}$
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴AE=CF。
【答案】
AE=CF
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是利用菱形的性质得到全等三角形的判定条件，解题时要先明确待证线段所属的三角形，再结合图形性质推导全等所需的要素，掌握基础图形性质和全等判定定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要证明AE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先观察图形可知AE、CF分别在△ABE和△CBF中，因此只需证明△ABE≌△CBF即可。结合菱形的性质可得到全等所需的边、角条件：菱形的邻边相等可得BA=BC，菱形的对角相等可得∠A=∠C；再结合BE⊥AD、BF⊥CD的条件，可得两个三角形的对应直角相等，即可用AAS判定△ABE≌△CBF，最后由全等三角形对应边相等即可得到AE=CF。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠A=∠C。
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°。
在△ABE和△CBF中，
$\begin{cases}∠BEA=∠BFC=90°,\\∠A=∠C,\\BA=BC,\end{cases}$
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴AE=CF。
【答案】
AE=CF
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是利用菱形的性质得到全等三角形的判定条件，解题时要先明确待证线段所属的三角形，再结合图形性质推导全等所需的要素，掌握基础图形性质和全等判定定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
7.(2025·山丹县校级三模)如图,在△ABC中,AB=BC,线段AC,BD互相平分,交点为O,连接AD。求证:∠DAB=2∠C。
答案
证明:如图,连接CD。
∵线段AC,BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA。
∵AD//BC,
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAB=2∠BCA。
解析
【分析】
要证明∠DAB=2∠C，可按以下思路推导：首先观察已知条件中“AC、BD互相平分”，根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此需先连接CD补全四边形，先判定四边形ABCD为平行四边形；再结合AB=BC的条件，可得△ABC是等腰三角形，推出∠BAC=∠C；最后利用平行四边形对边平行的性质，得到AD//BC，进而推出内错角∠DAC=∠C，此时∠DAB由∠BAC和∠DAC组成，即可推出角的倍数关系。
【解析】
证明：如图，连接CD。
∵线段AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA。
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=2∠BCA，即∠DAB=2∠C。
【答案】
证明:如图,连接CD。
∵线段AC,BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA。
∵AD//BC,
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAB=2∠BCA。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查基础几何定理的综合应用，解题的关键是合理添加辅助线构造平行四边形，通过角的等量代换完成证明，有助于巩固学生对平行四边形、等腰三角形相关性质的掌握。
【难度系数】
0.7
要证明∠DAB=2∠C，可按以下思路推导：首先观察已知条件中“AC、BD互相平分”，根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此需先连接CD补全四边形，先判定四边形ABCD为平行四边形；再结合AB=BC的条件，可得△ABC是等腰三角形，推出∠BAC=∠C；最后利用平行四边形对边平行的性质，得到AD//BC，进而推出内错角∠DAC=∠C，此时∠DAB由∠BAC和∠DAC组成，即可推出角的倍数关系。
【解析】
证明：如图，连接CD。
∵线段AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA。
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=2∠BCA，即∠DAB=2∠C。
【答案】
证明:如图,连接CD。
∵线段AC,BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA。
∵AD//BC,
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAB=2∠BCA。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查基础几何定理的综合应用，解题的关键是合理添加辅助线构造平行四边形，通过角的等量代换完成证明，有助于巩固学生对平行四边形、等腰三角形相关性质的掌握。
【难度系数】
0.7
