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6.如图,在正方形ABCD中,AD=BC=CD,∠BAD=∠ADC=90°,以正方形ABCD的边AD作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是
150°
。答案
6. 150°
解析
【分析】
解题时先结合正方形和等边三角形的性质，得到边的等量关系，推导出△ABE和△DCE为等腰三角形；再计算出两个等腰三角形的顶角角度，进而求出底角∠AEB、∠DEC的度数；最后利用周角为360°，减去已知的三个角的度数，即可得到∠BEC的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴AB=AE，DC=DE，∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°-60°=30°，∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°，
在等腰△ABE中，∠AEB=(180°-∠BAE)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
同理可得，∠DEC=75°，
∴∠BEC=360°-∠AEB-∠AED-∠DEC=360°-75°-60°-75°=150°。
【答案】
150°
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊图形性质的综合应用题，解题核心是利用正方形和等边三角形共边的特点得到等腰三角形，再通过角度的和差运算求解，属于几何基础题，需要熟练掌握各类特殊图形的边角性质。
【难度系数】
0.7
解题时先结合正方形和等边三角形的性质，得到边的等量关系，推导出△ABE和△DCE为等腰三角形；再计算出两个等腰三角形的顶角角度，进而求出底角∠AEB、∠DEC的度数；最后利用周角为360°，减去已知的三个角的度数，即可得到∠BEC的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴AB=AE，DC=DE，∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°-60°=30°，∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°，
在等腰△ABE中，∠AEB=(180°-∠BAE)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
同理可得，∠DEC=75°，
∴∠BEC=360°-∠AEB-∠AED-∠DEC=360°-75°-60°-75°=150°。
【答案】
150°
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊图形性质的综合应用题，解题核心是利用正方形和等边三角形共边的特点得到等腰三角形，再通过角度的和差运算求解，属于几何基础题，需要熟练掌握各类特殊图形的边角性质。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的点,连接BE,BF,EF,且∠ABE=∠CBF。求证:∠BEF=∠BFE。
答案
证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠A=∠C。
在△ABE和△CBF中,
$\begin{cases}∠A=∠C,\\AB=BC,\\∠ABE=∠CBF,\end{cases}$
∴△ABE≌△CBF(ASA),
∴BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE。
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠A=∠C。
在△ABE和△CBF中,
$\begin{cases}∠A=∠C,\\AB=BC,\\∠ABE=∠CBF,\end{cases}$
∴△ABE≌△CBF(ASA),
∴BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE。
解析
【分析】
要证明∠BEF=∠BFE，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，只需证明BE=BF即可。结合已知条件∠ABE=∠CBF，可通过证明△ABE和△CBF全等来得到BE=BF：首先利用菱形的性质得到AB=BC、∠A=∠C，再结合已知的角相等条件，用ASA判定两个三角形全等，最后由全等性质得到边相等，即可推导出待证结论。
【解析】
证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠A=∠C。
在△ABE和△CBF中,
$\begin{cases}∠A=∠C,\\AB=BC,\\∠ABE=∠CBF,\end{cases}$
∴△ABE≌△CBF(ASA),
∴BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE。
【答案】
证明过程如上，可证得∠BEF=∠BFE。
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合菱形的性质找到全等三角形的判定条件，再通过等腰三角形的性质完成求证，思路清晰直接，是特殊平行四边形章节的常见题型。
【难度系数】
0.75
要证明∠BEF=∠BFE，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，只需证明BE=BF即可。结合已知条件∠ABE=∠CBF，可通过证明△ABE和△CBF全等来得到BE=BF：首先利用菱形的性质得到AB=BC、∠A=∠C，再结合已知的角相等条件，用ASA判定两个三角形全等，最后由全等性质得到边相等，即可推导出待证结论。
【解析】
证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠A=∠C。
在△ABE和△CBF中,
$\begin{cases}∠A=∠C,\\AB=BC,\\∠ABE=∠CBF,\end{cases}$
∴△ABE≌△CBF(ASA),
∴BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE。
【答案】
证明过程如上，可证得∠BEF=∠BFE。
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合菱形的性质找到全等三角形的判定条件，再通过等腰三角形的性质完成求证，思路清晰直接，是特殊平行四边形章节的常见题型。
【难度系数】
0.75
8.(2025·湖南)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周长为(
A.6
B.9
C.12
D.18
C
)。A.6
B.9
C.12
D.18
答案
8.C
解析
【分析】
首先从题目给出的“对角线AC与BD互相垂直平分”这一核心条件出发，回忆特殊四边形的判定定理，可判断出该四边形是菱形；再结合菱形四条边长度相等的性质，已知边长AB的长度，用边长乘4即可求出四边形的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA=3，
∴四边形ABCD的周长为：4×AB=4×3=12。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定、菱形的性质、周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握对角线互相垂直平分的四边形是菱形，以及菱形四条边相等的性质，熟练掌握相关基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先从题目给出的“对角线AC与BD互相垂直平分”这一核心条件出发，回忆特殊四边形的判定定理，可判断出该四边形是菱形；再结合菱形四条边长度相等的性质，已知边长AB的长度，用边长乘4即可求出四边形的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA=3，
∴四边形ABCD的周长为：4×AB=4×3=12。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定、菱形的性质、周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握对角线互相垂直平分的四边形是菱形，以及菱形四条边相等的性质，熟练掌握相关基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
9.(2024·河北)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”。如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是(
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
B
)A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
9.B
解析
【分析】首先明确“特征值”的定义：点的纵坐标与横坐标的比值，即特征值$=\frac{\mathrm{纵坐标}}{\mathrm{横坐标}}$。已知矩形ABCD的边与坐标轴平行，因此矩形横向对边的纵坐标相等，纵向对边的横坐标相等，我们可以通过设出四个顶点的坐标，分别计算各点的特征值后比较大小，即可得到结果。
【解析】设第一象限内点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
∵矩形ABCD的四条边分别与坐标轴平行，
∴点B的横坐标大于A、纵坐标与A相等，即$B(c,b)$（$c＞a＞0$）；
点D的横坐标与A相等、纵坐标大于A，即$D(a,d)$（$d＞b＞0$）；
点C的横坐标与B相等、纵坐标与D相等，即$C(c,d)$。
根据“特征值”的定义，计算四个顶点的特征值：
点A的特征值：$\frac{b}{a}$；
点B的特征值：$\frac{b}{c}$；
点C的特征值：$\frac{d}{c}$；
点D的特征值：$\frac{d}{a}$。
比较大小：
∵$c＞a＞0$，分子相同时分母越大分式值越小，
∴$\frac{b}{c}＜\frac{b}{a}$；
∵$d＞b＞0$，分母相同时分子越小分式值越小，
∴$\frac{b}{c}＜\frac{d}{c}$；
又$\frac{d}{a}＞\frac{b}{a}$，因此$\frac{b}{c}$是四个值中最小的，即点B的特征值最小。
【答案】B
【知识点】新定义理解；矩形的性质；分式大小比较
【点评】本题结合新定义考查基础几何性质和代数式大小比较，解题关键是准确理解新定义的含义，结合矩形边与坐标轴平行的坐标特征分析，整体逻辑清晰，侧重对概念理解能力的考查。
【难度系数】0.7
【解析】设第一象限内点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
∵矩形ABCD的四条边分别与坐标轴平行，
∴点B的横坐标大于A、纵坐标与A相等，即$B(c,b)$（$c＞a＞0$）；
点D的横坐标与A相等、纵坐标大于A，即$D(a,d)$（$d＞b＞0$）；
点C的横坐标与B相等、纵坐标与D相等，即$C(c,d)$。
根据“特征值”的定义，计算四个顶点的特征值：
点A的特征值：$\frac{b}{a}$；
点B的特征值：$\frac{b}{c}$；
点C的特征值：$\frac{d}{c}$；
点D的特征值：$\frac{d}{a}$。
比较大小：
∵$c＞a＞0$，分子相同时分母越大分式值越小，
∴$\frac{b}{c}＜\frac{b}{a}$；
∵$d＞b＞0$，分母相同时分子越小分式值越小，
∴$\frac{b}{c}＜\frac{d}{c}$；
又$\frac{d}{a}＞\frac{b}{a}$，因此$\frac{b}{c}$是四个值中最小的，即点B的特征值最小。
【答案】B
【知识点】新定义理解；矩形的性质；分式大小比较
【点评】本题结合新定义考查基础几何性质和代数式大小比较，解题关键是准确理解新定义的含义，结合矩形边与坐标轴平行的坐标特征分析，整体逻辑清晰，侧重对概念理解能力的考查。
【难度系数】0.7
10.“美丽乡村”建设使某市农村住宅旧貌变新颜，如图所示的为一农村住宅侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB=AC，侧面四边形BDEC为矩形。若测得∠FBD=55°，则∠A=
110°
。答案
10. 110°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先四边形BDEC是矩形，根据矩形性质可得内角为直角，可先得到∠DBC的度数；再结合F、B、A三点共线构成平角，可求出等腰△ABC的底角∠ABC的度数；最后利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，即可计算出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵四边形BDEC是矩形，
∴∠DBC=90°，
∵点F、B、A在同一直线上，构成平角为180°，
∴∠FBD+∠DBC+∠ABC=180°，
将∠FBD=55°代入得：
55°+90°+∠ABC=180°，
解得∠ABC=35°，
又
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，∠ACB=∠ABC=35°，
根据三角形内角和为180°可得：
∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-35°-35°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将矩形、等腰三角形的性质结合考查，解题关键是找准角之间的和差关系，求出等腰三角形的底角度数即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先四边形BDEC是矩形，根据矩形性质可得内角为直角，可先得到∠DBC的度数；再结合F、B、A三点共线构成平角，可求出等腰△ABC的底角∠ABC的度数；最后利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，即可计算出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵四边形BDEC是矩形，
∴∠DBC=90°，
∵点F、B、A在同一直线上，构成平角为180°，
∴∠FBD+∠DBC+∠ABC=180°，
将∠FBD=55°代入得：
55°+90°+∠ABC=180°，
解得∠ABC=35°，
又
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，∠ACB=∠ABC=35°，
根据三角形内角和为180°可得：
∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-35°-35°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将矩形、等腰三角形的性质结合考查，解题关键是找准角之间的和差关系，求出等腰三角形的底角度数即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
11.如图,在矩形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AB=4,AD=6。在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为
$2\sqrt{5}$
。答案
11. $2\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质出发：矩形对边相等，可得BC=AD=6，结合已知BE=BC得到BE的长度；再由矩形对边平行推出内错角∠AEB=∠FBC，结合∠A和∠BFC都是直角、BE=BC的条件，可证△ABE和△FCB全等，由此得到BF=AE，最后在Rt△ABE中用勾股定理计算AE的长度，即可得到BF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，AD//BC，∠A=90°，
∴∠AEB=∠FBC，
∵BE=BC，
∴BE=6，
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°=∠A，
在△ABE和△FCB中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ BFC\\ ∠ AEB=∠ FBC\\ BE=BC\end{array} $
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴BF=AE，
在Rt△ABE中，AB=4，BE=6，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{BE^2-AB^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴BF=2√5。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形的基础综合题，解题核心是利用矩形的边角性质找到全等三角形，将所求线段转化为直角三角形的边，再用勾股定理计算，解题时注意全等对应边不要找错。
【难度系数】
0.7
解题时先从矩形的性质出发：矩形对边相等，可得BC=AD=6，结合已知BE=BC得到BE的长度；再由矩形对边平行推出内错角∠AEB=∠FBC，结合∠A和∠BFC都是直角、BE=BC的条件，可证△ABE和△FCB全等，由此得到BF=AE，最后在Rt△ABE中用勾股定理计算AE的长度，即可得到BF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，AD//BC，∠A=90°，
∴∠AEB=∠FBC，
∵BE=BC，
∴BE=6，
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°=∠A，
在△ABE和△FCB中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ BFC\\ ∠ AEB=∠ FBC\\ BE=BC\end{array} $
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴BF=AE，
在Rt△ABE中，AB=4，BE=6，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{BE^2-AB^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴BF=2√5。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形的基础综合题，解题核心是利用矩形的边角性质找到全等三角形，将所求线段转化为直角三角形的边，再用勾股定理计算，解题时注意全等对应边不要找错。
【难度系数】
0.7
12.如图,在边长为2的正方形ABCD中,∠B=90°,E,F分别是线段BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为
$\sqrt{2}$
。答案
12. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先观察点M、N的位置，二者分别是EF、AF的中点，可联想到三角形中位线定理，由此推出MN与AE的数量关系，将求MN的最大值转化为求AE的最大值；再结合E是BC上的动点，分析得到AE取最大值时E的位置，代入计算即可得到结果。
【解析】
连接AE，
∵N是AF的中点，M是EF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}AE$，
因此要求MN的最大值，即求AE的最大值。
∵E是线段BC上的动点，在正方形ABCD中，当点E与点C重合时，AE的长度最大，此时AE为正方形的对角线。
已知正方形边长为2，由勾股定理得：
$AE=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴MN的最大值为$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，正方形的性质，线段最值求解
【点评】
本题将中位线定理和动点最值问题结合考查，解题的核心是通过中位线性质把未知线段的最值转化为易求的线段最值，需要掌握动点在边界时取到最值的规律，是几何综合的常见题型。
【难度系数】
0.7
首先观察点M、N的位置，二者分别是EF、AF的中点，可联想到三角形中位线定理，由此推出MN与AE的数量关系，将求MN的最大值转化为求AE的最大值；再结合E是BC上的动点，分析得到AE取最大值时E的位置，代入计算即可得到结果。
【解析】
连接AE，
∵N是AF的中点，M是EF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}AE$，
因此要求MN的最大值，即求AE的最大值。
∵E是线段BC上的动点，在正方形ABCD中，当点E与点C重合时，AE的长度最大，此时AE为正方形的对角线。
已知正方形边长为2，由勾股定理得：
$AE=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴MN的最大值为$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，正方形的性质，线段最值求解
【点评】
本题将中位线定理和动点最值问题结合考查，解题的核心是通过中位线性质把未知线段的最值转化为易求的线段最值，需要掌握动点在边界时取到最值的规律，是几何综合的常见题型。
【难度系数】
0.7
