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8.如图，已知菱形ABCD的边AB长5 cm，一条对角线AC长6 cm，求这个菱形的周长和面积。
答案
解:设BD与AC交于点O。
∵四边形ABCD是菱形,AB=5 cm,AC=6 cm，
∴AO=3 cm,AC⊥BD,
∴∠AOB=90°，
∴$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{cm})$，
∴BD=8 cm，
∴这个菱形的周长为5×4=20(cm),面积为$\frac{6×8}{2}=24(\mathrm{cm}^2)$。
∵四边形ABCD是菱形,AB=5 cm,AC=6 cm，
∴AO=3 cm,AC⊥BD,
∴∠AOB=90°，
∴$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{cm})$，
∴BD=8 cm，
∴这个菱形的周长为5×4=20(cm),面积为$\frac{6×8}{2}=24(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
解题可分两步进行：①求周长：回忆菱形的性质，菱形四条边长度相等，已知边长AB=5cm，直接用边长乘4即可得到周长；②求面积：菱形面积等于两条对角线乘积的一半，已知对角线AC=6cm，只需求出另一条对角线BD的长度即可。根据菱形对角线互相垂直平分的性质，AC与BD的交点O将AC分为长度相等的两段，即AO=3cm，且AC⊥BD，因此△AOB是直角三角形，已知斜边AB和直角边AO的长度，用勾股定理可求出BO的长度，将BO乘2得到BD的长度，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
设BD与AC交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，AB=5 cm，AC=6 cm，
∴菱形四条边相等，且对角线互相垂直平分，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=3 cm，AC⊥BD，即∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{cm})$，
∴BD=2BO=8 cm，
∴菱形的周长为：$4×AB=4×5=20(\mathrm{cm})$，
菱形的面积为：$\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{6×8}{2}=24(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
菱形的周长为$\boxed{20\mathrm{cm}}$，面积为$\boxed{24\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1.菱形的性质
2.勾股定理
3.菱形的面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练运用菱形边、对角线的相关性质，结合勾股定理求解未知对角线的长度，计算过程中要注意菱形对角线是互相平分的，求出半条对角线长度后不要忘记乘2得到整条对角线的长度。
【难度系数】
0.8
解题可分两步进行：①求周长：回忆菱形的性质，菱形四条边长度相等，已知边长AB=5cm，直接用边长乘4即可得到周长；②求面积：菱形面积等于两条对角线乘积的一半，已知对角线AC=6cm，只需求出另一条对角线BD的长度即可。根据菱形对角线互相垂直平分的性质，AC与BD的交点O将AC分为长度相等的两段，即AO=3cm，且AC⊥BD，因此△AOB是直角三角形，已知斜边AB和直角边AO的长度，用勾股定理可求出BO的长度，将BO乘2得到BD的长度，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
设BD与AC交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，AB=5 cm，AC=6 cm，
∴菱形四条边相等，且对角线互相垂直平分，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=3 cm，AC⊥BD，即∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{cm})$，
∴BD=2BO=8 cm，
∴菱形的周长为：$4×AB=4×5=20(\mathrm{cm})$，
菱形的面积为：$\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{6×8}{2}=24(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
菱形的周长为$\boxed{20\mathrm{cm}}$，面积为$\boxed{24\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1.菱形的性质
2.勾股定理
3.菱形的面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练运用菱形边、对角线的相关性质，结合勾股定理求解未知对角线的长度，计算过程中要注意菱形对角线是互相平分的，求出半条对角线长度后不要忘记乘2得到整条对角线的长度。
【难度系数】
0.8
9.将两个完全相同的菱形按如图所示的方式放置，若$∠ BAD=α$，$∠ CBE=β$，则$β=$（
A.$45°+\frac{1}{2}α$
B.$45°+\frac{3}{2}α$
C.$90°-\frac{1}{2}α$
D.$90°-\frac{3}{2}α$
（第9题）（第10题）
D
）。A.$45°+\frac{1}{2}α$
B.$45°+\frac{3}{2}α$
C.$90°-\frac{1}{2}α$
D.$90°-\frac{3}{2}α$
（第9题）（第10题）
答案
9.D
解析
【分析】
解题时需结合菱形相关性质推导角度关系：第一步，利用菱形邻边相等的性质，可知△ABD是等腰三角形，已知顶角∠BAD=α，可计算出底角∠ADB的度数；第二步，根据菱形对边平行的性质，由AD//BC可得内错角∠DBC=∠ADB；第三步，两个完全相同的菱形对应内角相等，可得∠DBE=α；最后观察图形的角的和差关系，代入数值计算即可得到β的表达式。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=AD，AD//BC，
∴ △ABD为等腰三角形，且∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等），
在△ABD中，∠BAD=α，
∴ $∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{1}{2}α$，
∴ $∠ DBC=90°-\frac{1}{2}α$，
∵ 两个菱形完全相同，对应内角相等，
∴ $∠ DBE=∠ BAD=α$，
由图可知$∠ DBC=∠ DBE+β$，
∴ $β=∠ DBC-∠ DBE=(90°-\frac{1}{2}α)-α=90°-\frac{3}{2}α$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题综合考查菱形的基础性质，需要结合等腰三角形、平行线的角度性质推导，解题的关键是准确识别图形中角的和差关系以及两个菱形的对应内角关系。
【难度系数】
0.6
解题时需结合菱形相关性质推导角度关系：第一步，利用菱形邻边相等的性质，可知△ABD是等腰三角形，已知顶角∠BAD=α，可计算出底角∠ADB的度数；第二步，根据菱形对边平行的性质，由AD//BC可得内错角∠DBC=∠ADB；第三步，两个完全相同的菱形对应内角相等，可得∠DBE=α；最后观察图形的角的和差关系，代入数值计算即可得到β的表达式。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=AD，AD//BC，
∴ △ABD为等腰三角形，且∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等），
在△ABD中，∠BAD=α，
∴ $∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{1}{2}α$，
∴ $∠ DBC=90°-\frac{1}{2}α$，
∵ 两个菱形完全相同，对应内角相等，
∴ $∠ DBE=∠ BAD=α$，
由图可知$∠ DBC=∠ DBE+β$，
∴ $β=∠ DBC-∠ DBE=(90°-\frac{1}{2}α)-α=90°-\frac{3}{2}α$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题综合考查菱形的基础性质，需要结合等腰三角形、平行线的角度性质推导，解题的关键是准确识别图形中角的和差关系以及两个菱形的对应内角关系。
【难度系数】
0.6
10.如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3,4)，则顶点A的坐标为（
A.$(-4,2)$
B.$(-\sqrt{3},4)$
C.$(-2,4)$
D.$(-4,\sqrt{3})$
C
）。A.$(-4,2)$
B.$(-\sqrt{3},4)$
C.$(-2,4)$
D.$(-4,\sqrt{3})$
答案
10.C
解析
【分析】
解题时先结合菱形的性质思考：首先菱形对边平行且四条边长度相等，观察图形可知AC与x轴上的OB平行，因此点A和点C的纵坐标相同，可先确定A的纵坐标；再利用勾股定理计算菱形的边长OC，结合AC的长度即可求出点A的横坐标，最终得到A的坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABOC是菱形
∴AC//OB，AC=OC
∵OB在x轴上，
∴AC//x轴，即点A的纵坐标与点C的纵坐标相等，为4
已知点C的坐标为(3,4)，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
∴AC=OC=5
∵点A在点C左侧，沿平行于x轴方向向左平移5个单位得到点A
∴点A的横坐标为$3-5=-2$
即点A的坐标为$(-2,4)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是菱形性质与平面直角坐标系结合的基础题，解题的核心是灵活运用菱形对边平行、四边相等的性质，结合坐标平移规律求解，是菱形章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时先结合菱形的性质思考：首先菱形对边平行且四条边长度相等，观察图形可知AC与x轴上的OB平行，因此点A和点C的纵坐标相同，可先确定A的纵坐标；再利用勾股定理计算菱形的边长OC，结合AC的长度即可求出点A的横坐标，最终得到A的坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABOC是菱形
∴AC//OB，AC=OC
∵OB在x轴上，
∴AC//x轴，即点A的纵坐标与点C的纵坐标相等，为4
已知点C的坐标为(3,4)，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
∴AC=OC=5
∵点A在点C左侧，沿平行于x轴方向向左平移5个单位得到点A
∴点A的横坐标为$3-5=-2$
即点A的坐标为$(-2,4)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是菱形性质与平面直角坐标系结合的基础题，解题的核心是灵活运用菱形对边平行、四边相等的性质，结合坐标平移规律求解，是菱形章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
11.(2025·山丹县校级三模)如图,在菱形ABCD中,AB=5,BD=8,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,则线段DE的长是
4.8
。答案
11. 4.8
解析
【分析】
要计算DE的长度，我们可以借助菱形面积的两种计算方法求解：首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线的长度，用对角线乘积的一半算出菱形面积；再根据菱形面积也等于底乘高，以AB为底，DE为高，建立等式即可求出DE的长。
【解析】
解：连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$OB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}×8=4$，$AB = 5$。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2 - OB^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
∴$AC = 2AO = 6$。
菱形ABCD的面积可表示为：
$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×6×8=24$，
又
∵DE⊥BA，菱形面积也可表示为$S=AB· DE$，
∴$5DE=24$，
解得$DE=\frac{24}{5}=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；面积法求线段长
【点评】
本题是菱形性质的典型应用题，解题关键是熟练掌握菱形面积的两种计算方法，结合勾股定理求出对角线长度后用等面积法求解高，是几何中求线段长度的常用技巧，需重点掌握。
【难度系数】
0.7
要计算DE的长度，我们可以借助菱形面积的两种计算方法求解：首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线的长度，用对角线乘积的一半算出菱形面积；再根据菱形面积也等于底乘高，以AB为底，DE为高，建立等式即可求出DE的长。
【解析】
解：连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$OB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}×8=4$，$AB = 5$。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2 - OB^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
∴$AC = 2AO = 6$。
菱形ABCD的面积可表示为：
$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×6×8=24$，
又
∵DE⊥BA，菱形面积也可表示为$S=AB· DE$，
∴$5DE=24$，
解得$DE=\frac{24}{5}=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；面积法求线段长
【点评】
本题是菱形性质的典型应用题，解题关键是熟练掌握菱形面积的两种计算方法，结合勾股定理求出对角线长度后用等面积法求解高，是几何中求线段长度的常用技巧，需重点掌握。
【难度系数】
0.7
12.(2025·云南)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O。若AC=6，BD=5，则菱形ABCD的面积是
15
。答案
12. 15
解析
【分析】
首先明确题目给出的图形是菱形，已知两条对角线的长度，要求菱形的面积。我们回忆菱形面积的计算方法：菱形的对角线互相垂直，因此菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，本题已经直接给出两条对角线的长度，选择该公式计算最简便，直接代入数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
根据菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2} × AC × BD$。
将AC=6，BD=5代入公式得：
$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2} × 6 × 5 = 15$。
【答案】
15
【知识点】
菱形的性质；菱形面积计算
【点评】
本题属于基础题，考查菱形面积的基本计算，解题的关键是牢记菱形面积的特殊计算方法，计算时注意不要遗漏$\frac{1}{2}$即可。
【难度系数】
0.85
首先明确题目给出的图形是菱形，已知两条对角线的长度，要求菱形的面积。我们回忆菱形面积的计算方法：菱形的对角线互相垂直，因此菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，本题已经直接给出两条对角线的长度，选择该公式计算最简便，直接代入数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
根据菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2} × AC × BD$。
将AC=6，BD=5代入公式得：
$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2} × 6 × 5 = 15$。
【答案】
15
【知识点】
菱形的性质；菱形面积计算
【点评】
本题属于基础题，考查菱形面积的基本计算，解题的关键是牢记菱形面积的特殊计算方法，计算时注意不要遗漏$\frac{1}{2}$即可。
【难度系数】
0.85
13.如图,菱形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,AF=CE,求证:AE=CF。
答案
证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD。
又
∵AF=CE,
∴AD-AF=CD-CE，
∴DF=DE。
在△ADE和△CDF中,$\begin{cases}AD=CD,\\∠D=∠D,\\DE=DF,\end{cases}$
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD。
又
∵AF=CE,
∴AD-AF=CD-CE，
∴DF=DE。
在△ADE和△CDF中,$\begin{cases}AD=CD,\\∠D=∠D,\\DE=DF,\end{cases}$
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF。
解析
【分析】
要证明线段AE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先根据菱形的性质，菱形的四条边相等，可得AD=CD；结合已知AF=CE，根据等式的性质可推出DF=DE；观察△ADE和△CDF，两组边AD=CD、DE=DF对应相等，且有公共角∠D，满足SAS全等判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD。
又
∵AF=CE,
∴AD-AF=CD-CE，
∴DF=DE。
在△ADE和△CDF中,$\begin{cases}AD=CD,\\∠D=∠D,\\DE=DF,\end{cases}$
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF。
【答案】
AE=CF
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查对基础几何性质和判定的应用能力，解题关键是利用菱形边相等的性质推导得到全等所需的边相等条件，结合公共角即可完成全等证明，进而得到待证结论。
【难度系数】
0.8
要证明线段AE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先根据菱形的性质，菱形的四条边相等，可得AD=CD；结合已知AF=CE，根据等式的性质可推出DF=DE；观察△ADE和△CDF，两组边AD=CD、DE=DF对应相等，且有公共角∠D，满足SAS全等判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD。
又
∵AF=CE,
∴AD-AF=CD-CE，
∴DF=DE。
在△ADE和△CDF中,$\begin{cases}AD=CD,\\∠D=∠D,\\DE=DF,\end{cases}$
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF。
【答案】
AE=CF
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查对基础几何性质和判定的应用能力，解题关键是利用菱形边相等的性质推导得到全等所需的边相等条件，结合公共角即可完成全等证明，进而得到待证结论。
【难度系数】
0.8
