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1.要证明一个四边形是菱形，可以先证明这个四边形是，再证明它的或者。。
答案
1. 平行四边形，一组邻边相等，对角线互相垂直。
解析
【分析】
本题考查菱形的判定思路，我们可以从菱形的定义和判定定理出发思考：菱形是特殊的平行四边形，因此一类判定方法是先确定四边形为平行四边形，再添加菱形区别于普通平行四边形的特殊条件即可。菱形相较于普通平行四边形的特殊特征为：一组邻边相等，或对角线互相垂直，对应这两个特征即可得到平行四边形基础上的菱形判定条件。
【解析】
根据菱形的相关判定定理：
1. 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2. 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
因此要证明一个四边形是菱形，可以先证明这个四边形是平行四边形，再证明它的一组邻边相等，或者对角线互相垂直。
【答案】
平行四边形，一组邻边相等，对角线互相垂直。
【知识点】
1. 菱形的判定定理
2. 平行四边形的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对菱形判定方法的记忆与理解，需要理清不同前提条件下菱形的判定依据，是后续解决菱形相关几何证明题的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查菱形的判定思路，我们可以从菱形的定义和判定定理出发思考：菱形是特殊的平行四边形，因此一类判定方法是先确定四边形为平行四边形，再添加菱形区别于普通平行四边形的特殊条件即可。菱形相较于普通平行四边形的特殊特征为：一组邻边相等，或对角线互相垂直，对应这两个特征即可得到平行四边形基础上的菱形判定条件。
【解析】
根据菱形的相关判定定理：
1. 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2. 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
因此要证明一个四边形是菱形，可以先证明这个四边形是平行四边形，再证明它的一组邻边相等，或者对角线互相垂直。
【答案】
平行四边形，一组邻边相等，对角线互相垂直。
【知识点】
1. 菱形的判定定理
2. 平行四边形的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对菱形判定方法的记忆与理解，需要理清不同前提条件下菱形的判定依据，是后续解决菱形相关几何证明题的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
2.要证明一个四边形是菱形，可以证明这个四边形的四边
相等
，或证明这个四边形的对角线互相垂直且平分
。答案
2. 相等，互相垂直且平分。
解析
【分析】
本题考查菱形的判定定理应用，解题时可从边、对角线两个维度回忆菱形的判定规则：①从边的角度出发，若要直接判定一个普通四边形为菱形，只需满足四条边全部相等的条件即可；②从对角线的角度出发，对于普通四边形，首先对角线互相平分可判定它是平行四边形，再结合对角线互相垂直的条件，就能进一步判定这个平行四边形是菱形，合起来就是对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，据此即可填空。
【解析】
根据菱形的判定定理：
1. 四条边相等的四边形是菱形，因此第一个空填“相等”；
2. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，因此第二个空填“互相垂直且平分”。
【答案】
相等，互相垂直且平分
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，侧重对菱形判定定理的识记考查，解题时需注意区分针对普通四边形和平行四边形的菱形判定条件的不同，熟练掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查菱形的判定定理应用，解题时可从边、对角线两个维度回忆菱形的判定规则：①从边的角度出发，若要直接判定一个普通四边形为菱形，只需满足四条边全部相等的条件即可；②从对角线的角度出发，对于普通四边形，首先对角线互相平分可判定它是平行四边形，再结合对角线互相垂直的条件，就能进一步判定这个平行四边形是菱形，合起来就是对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，据此即可填空。
【解析】
根据菱形的判定定理：
1. 四条边相等的四边形是菱形，因此第一个空填“相等”；
2. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，因此第二个空填“互相垂直且平分”。
【答案】
相等，互相垂直且平分
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，侧重对菱形判定定理的识记考查，解题时需注意区分针对普通四边形和平行四边形的菱形判定条件的不同，熟练掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 如图,在$△ ABC$中,P是边AB上的一点,过点P作$PD// BC$,$PE// AC$,分别交AC,BC于点D,E,连接CP。若四边形CDPE是菱形,则线段CP应满足的条件是(
A.CP平分$∠ ACB$
B.$CP⊥ AB$
C.CP是AB边上的中线
D.$CP=AP$
A
)。A.CP平分$∠ ACB$
B.$CP⊥ AB$
C.CP是AB边上的中线
D.$CP=AP$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先根据已知的两组对边平行，先确定四边形CDPE是平行四边形；接下来要使平行四边形成为菱形，需满足一组邻边相等的条件，结合选项中CP的性质，利用平行线的内错角相等的性质，推导邻边相等需要的角的关系，即可判断CP需要满足的条件。
【解析】
解：
∵ $PD// BC$，$PE// AC$
∴ 四边形CDPE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
若CP平分$∠ ACB$，则$∠ DCP=∠ ECP$
∵ $PD// BC$
∴ $∠ DPC=∠ ECP$（两直线平行，内错角相等）
∴ $∠ DCP=∠ DPC$
∴ $DC=DP$（等角对等边）
∴ 平行四边形CDPE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
其余选项均无法推出平行四边形CDPE有一组邻边相等，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，将平行四边形的判定、菱形的判定与平行线、角平分线的性质结合考查，解题的关键是先确定四边形为平行四边形，再根据菱形的判定条件推导所需的线段性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的两组对边平行，先确定四边形CDPE是平行四边形；接下来要使平行四边形成为菱形，需满足一组邻边相等的条件，结合选项中CP的性质，利用平行线的内错角相等的性质，推导邻边相等需要的角的关系，即可判断CP需要满足的条件。
【解析】
解：
∵ $PD// BC$，$PE// AC$
∴ 四边形CDPE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
若CP平分$∠ ACB$，则$∠ DCP=∠ ECP$
∵ $PD// BC$
∴ $∠ DPC=∠ ECP$（两直线平行，内错角相等）
∴ $∠ DCP=∠ DPC$
∴ $DC=DP$（等角对等边）
∴ 平行四边形CDPE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
其余选项均无法推出平行四边形CDPE有一组邻边相等，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，将平行四边形的判定、菱形的判定与平行线、角平分线的性质结合考查，解题的关键是先确定四边形为平行四边形，再根据菱形的判定条件推导所需的线段性质。
【难度系数】
0.7
2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是
$AC⊥BD$(答案不唯一)
。（只填一个即可）答案
2. $AC⊥BD$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先从已知条件入手：对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此可先判定四边形ABCD是平行四边形。接下来要将平行四边形转化为菱形，结合菱形的判定定理，有两个方向：①添加一组邻边相等的条件；②添加对角线互相垂直的条件，任选其一即可。
【解析】
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形。
根据菱形的判定规则，可添加以下任意一类条件：
1. 对角线相关：$AC⊥BD$（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；
2. 边相关：$AB=BC$（一组邻边相等的平行四边形是菱形，也可填$AB=AD$、$BC=CD$等）。
任选一个条件填入即可。
【答案】
$AC⊥BD$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础开放类几何题，主要考查特殊四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形和菱形的判定规则就能快速解题。
【难度系数】
0.85
首先从已知条件入手：对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此可先判定四边形ABCD是平行四边形。接下来要将平行四边形转化为菱形，结合菱形的判定定理，有两个方向：①添加一组邻边相等的条件；②添加对角线互相垂直的条件，任选其一即可。
【解析】
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形。
根据菱形的判定规则，可添加以下任意一类条件：
1. 对角线相关：$AC⊥BD$（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；
2. 边相关：$AB=BC$（一组邻边相等的平行四边形是菱形，也可填$AB=AD$、$BC=CD$等）。
任选一个条件填入即可。
【答案】
$AC⊥BD$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础开放类几何题，主要考查特殊四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形和菱形的判定规则就能快速解题。
【难度系数】
0.85
3.如图,将$△ ABC$沿射线$BC$方向平移得到$△ DCE$,当$△ ABC$满足条件________时,能够判定四边形$ACED$为菱形。(填一个条件)
答案
3. $AC=BC$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先根据平移的性质可先判断四边形ACED是平行四边形，再结合菱形的判定条件“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，我们只需让平行四边形ACED的一组邻边相等即可。由平移可知CE=BC，因此只需让AC=BC，即可得到邻边AC=CE，满足菱形的判定条件。
【解析】
解：
∵将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，
∴AD//CE，AD=BC=CE，AC//DE，
∴四边形ACED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
若添加条件$AC=BC$，
∵平移可得$BC=CE$，
∴$AC=CE$，
∴平行四边形ACED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
（也可添加其他等价条件，如$AB=BC$等）
【答案】
$AC=BC$(答案不唯一)
【知识点】
平移的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于开放性填空题，解题时先利用平移性质确定四边形ACED为平行四边形，再结合菱形的判定定理添加合适的条件即可，解题思路灵活，侧重对基础判定定理的应用考查。
【难度系数】
0.7
首先根据平移的性质可先判断四边形ACED是平行四边形，再结合菱形的判定条件“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，我们只需让平行四边形ACED的一组邻边相等即可。由平移可知CE=BC，因此只需让AC=BC，即可得到邻边AC=CE，满足菱形的判定条件。
【解析】
解：
∵将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，
∴AD//CE，AD=BC=CE，AC//DE，
∴四边形ACED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
若添加条件$AC=BC$，
∵平移可得$BC=CE$，
∴$AC=CE$，
∴平行四边形ACED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
（也可添加其他等价条件，如$AB=BC$等）
【答案】
$AC=BC$(答案不唯一)
【知识点】
平移的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于开放性填空题，解题时先利用平移性质确定四边形ACED为平行四边形，再结合菱形的判定定理添加合适的条件即可，解题思路灵活，侧重对基础判定定理的应用考查。
【难度系数】
0.7
4.如图，$AF// DE$，$AC$平分$∠ BAD$交$DE$于点$C$，$DB$平分$∠ ADC$交$AF$于点$B$，连接$BC$。求证：四边形$ABCD$是菱形。
答案
4. 证明:$∵AC$平分$∠BAD$交$DE$于点$C$，
$∴∠DAC=∠CAB$。
$∵AF// DE,∴∠DCA=∠CAB$,
$∴∠DAC=∠DCA,∴AD=DC$。
同理$AD=AB$。$∴DC=AB$。
又$∵AF// DE$,
$∴$四边形$ABCD$是平行四边形。
又$∵AD=DC,∴$四边形$ABCD$是菱形。
$∴∠DAC=∠CAB$。
$∵AF// DE,∴∠DCA=∠CAB$,
$∴∠DAC=∠DCA,∴AD=DC$。
同理$AD=AB$。$∴DC=AB$。
又$∵AF// DE$,
$∴$四边形$ABCD$是平行四边形。
又$∵AD=DC,∴$四边形$ABCD$是菱形。
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是菱形，优先选择“先证平行四边形，再证一组邻边相等”的判定思路。首先结合角平分线定义和平行线的内错角相等性质，推导得到等角，再通过等角对等边得到邻边相等的关系；接着证明一组对边平行且相等，得到四边形是平行四边形，最后结合邻边相等的条件即可判定为菱形。
【解析】
证明：
∵AC平分∠BAD交DE于点C，
∴∠DAC=∠CAB。
∵AF//DE，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC。
同理可得AD=AB，
∴DC=AB。
又
∵AF//DE，即DC//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形。
又
∵AD=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形。
【答案】
证明过程如上所述，四边形ABCD是菱形得证。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；菱形的判定
【点评】
本题是菱形判定的基础题型，综合了平行线、角平分线、等腰三角形的相关性质，解题核心是熟练掌握菱形的判定定理，能结合已知条件合理推导边的位置和数量关系。
【难度系数】
0.7
要证明四边形ABCD是菱形，优先选择“先证平行四边形，再证一组邻边相等”的判定思路。首先结合角平分线定义和平行线的内错角相等性质，推导得到等角，再通过等角对等边得到邻边相等的关系；接着证明一组对边平行且相等，得到四边形是平行四边形，最后结合邻边相等的条件即可判定为菱形。
【解析】
证明：
∵AC平分∠BAD交DE于点C，
∴∠DAC=∠CAB。
∵AF//DE，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC。
同理可得AD=AB，
∴DC=AB。
又
∵AF//DE，即DC//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形。
又
∵AD=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形。
【答案】
证明过程如上所述，四边形ABCD是菱形得证。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；菱形的判定
【点评】
本题是菱形判定的基础题型，综合了平行线、角平分线、等腰三角形的相关性质，解题核心是熟练掌握菱形的判定定理，能结合已知条件合理推导边的位置和数量关系。
【难度系数】
0.7
5.如图,四边形ABCD是平行四边形,F是对角线AC上的一点,过点D作DE//AC,且DE=CF,连接AE,BF,EF。
(1)求证:$△ ADE ≌ △ BCF$；
(2)若$∠ BAF + ∠ AED = 180°$,求证:四边形ABFE是菱形。
(1)求证:$△ ADE ≌ △ BCF$；
(2)若$∠ BAF + ∠ AED = 180°$,求证:四边形ABFE是菱形。
答案
5. 证明:(1)$∵$四边形$ABCD$是平行四边形，
$∴AD=BC,AD// BC$,
$∴∠DAC=∠FCB$。
$∵DE// AC,∴∠DAC=∠EDA$,
$∴∠FCB=∠EDA$。
在$△ADE$和$△BCF$中，
$\begin{cases} AD=BC,\\ ∠EDA=∠FCB,\\ DE=CF, \end{cases}$
$∴△ADE≌△BCF(\mathrm{SAS})$。
(2)$∵DE// AC,$且$DE=CF$,
$∴$四边形$EFCD$是平行四边形，
$∴DC=EF,$且$DC// EF$。
$∵$四边形$ABCD$是平行四边形，
$∴AB=CD,AB// CD$,
$∴AB=EF,AB// EF$,
$∴$四边形$ABFE$是平行四边形。
$∵△ADE≌△BCF,∴∠AED=∠BFC$。
$∵∠BAF+∠AED=180°$,
$∴∠BAF+∠BFC=180°$。
又$∵∠BFA+∠BFC=180°$,
$∴∠BAF=∠BFA$,
$∴BA=BF$,
$∴$四边形$ABFE$是菱形。
$∴AD=BC,AD// BC$,
$∴∠DAC=∠FCB$。
$∵DE// AC,∴∠DAC=∠EDA$,
$∴∠FCB=∠EDA$。
在$△ADE$和$△BCF$中，
$\begin{cases} AD=BC,\\ ∠EDA=∠FCB,\\ DE=CF, \end{cases}$
$∴△ADE≌△BCF(\mathrm{SAS})$。
(2)$∵DE// AC,$且$DE=CF$,
$∴$四边形$EFCD$是平行四边形，
$∴DC=EF,$且$DC// EF$。
$∵$四边形$ABCD$是平行四边形，
$∴AB=CD,AB// CD$,
$∴AB=EF,AB// EF$,
$∴$四边形$ABFE$是平行四边形。
$∵△ADE≌△BCF,∴∠AED=∠BFC$。
$∵∠BAF+∠AED=180°$,
$∴∠BAF+∠BFC=180°$。
又$∵∠BFA+∠BFC=180°$,
$∴∠BAF=∠BFA$,
$∴BA=BF$,
$∴$四边形$ABFE$是菱形。
解析
【分析】
(1) 要证明△ADE≌△BCF，可从全等三角形的判定定理入手。首先利用平行四边形ABCD的性质，得到AD=BC、AD//BC，进而推出内错角∠DAC=∠FCB；再结合DE//AC的条件，得到∠DAC=∠EDA，等量代换可得夹角∠EDA=∠FCB，加上已知DE=CF，满足SAS的判定条件，即可完成证明。
(2) 要证明四边形ABFE是菱形，按照“先证平行四边形，再证邻边相等”的思路推导：首先由DE//CF且DE=CF，证得四边形EFCD是平行四边形，得到EF与CD平行且相等；再结合平行四边形ABCD中AB与CD平行且相等的性质，可推出AB与EF平行且相等，即四边形ABFE是平行四边形。接下来要证邻边相等，利用第一问的全等结论得∠AED=∠BFC，结合已知∠BAF+∠AED=180°，以及平角定义∠BFC+∠BFA=180°，等量代换可得∠BAF=∠BFA，推出BA=BF，即可证得平行四边形ABFE是菱形。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC,AD// BC$，
∴$∠DAC=∠FCB$。
∵$DE// AC$，
∴$∠DAC=∠EDA$，
∴$∠FCB=∠EDA$。
在$△ADE$和$△BCF$中，
$\begin{cases} AD=BC,\\ ∠EDA=∠FCB,\\ DE=CF, \end{cases}$
∴$△ADE≌△BCF(\mathrm{SAS})$。
(2) 证明：
∵$DE// AC$，且$DE=CF$，
∴四边形$EFCD$是平行四边形，
∴$DC=EF$，且$DC// EF$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB=CD,AB// CD$，
∴$AB=EF,AB// EF$，
∴四边形$ABFE$是平行四边形。
∵$△ADE≌△BCF$，
∴$∠AED=∠BFC$。
∵$∠BAF + ∠AED = 180°$，
∴$∠BAF + ∠BFC = 180°$。
又
∵$∠BFA + ∠BFC = 180°$，
∴$∠BAF=∠BFA$，
∴$BA=BF$，
∴四边形$ABFE$是菱形。
【答案】
(1) $△ADE≌△BCF$成立；
(2) 四边形$ABFE$是菱形成立。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 平行四边形的性质与判定
3. 菱形的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，将全等三角形、平行四边形、菱形的相关判定和性质结合考察，解题时需理清特殊四边形的判定逻辑，通过角的等量代换推导边的关系，对锻炼几何逻辑推理能力有很大帮助。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ADE≌△BCF，可从全等三角形的判定定理入手。首先利用平行四边形ABCD的性质，得到AD=BC、AD//BC，进而推出内错角∠DAC=∠FCB；再结合DE//AC的条件，得到∠DAC=∠EDA，等量代换可得夹角∠EDA=∠FCB，加上已知DE=CF，满足SAS的判定条件，即可完成证明。
(2) 要证明四边形ABFE是菱形，按照“先证平行四边形，再证邻边相等”的思路推导：首先由DE//CF且DE=CF，证得四边形EFCD是平行四边形，得到EF与CD平行且相等；再结合平行四边形ABCD中AB与CD平行且相等的性质，可推出AB与EF平行且相等，即四边形ABFE是平行四边形。接下来要证邻边相等，利用第一问的全等结论得∠AED=∠BFC，结合已知∠BAF+∠AED=180°，以及平角定义∠BFC+∠BFA=180°，等量代换可得∠BAF=∠BFA，推出BA=BF，即可证得平行四边形ABFE是菱形。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC,AD// BC$，
∴$∠DAC=∠FCB$。
∵$DE// AC$，
∴$∠DAC=∠EDA$，
∴$∠FCB=∠EDA$。
在$△ADE$和$△BCF$中，
$\begin{cases} AD=BC,\\ ∠EDA=∠FCB,\\ DE=CF, \end{cases}$
∴$△ADE≌△BCF(\mathrm{SAS})$。
(2) 证明：
∵$DE// AC$，且$DE=CF$，
∴四边形$EFCD$是平行四边形，
∴$DC=EF$，且$DC// EF$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB=CD,AB// CD$，
∴$AB=EF,AB// EF$，
∴四边形$ABFE$是平行四边形。
∵$△ADE≌△BCF$，
∴$∠AED=∠BFC$。
∵$∠BAF + ∠AED = 180°$，
∴$∠BAF + ∠BFC = 180°$。
又
∵$∠BFA + ∠BFC = 180°$，
∴$∠BAF=∠BFA$，
∴$BA=BF$，
∴四边形$ABFE$是菱形。
【答案】
(1) $△ADE≌△BCF$成立；
(2) 四边形$ABFE$是菱形成立。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 平行四边形的性质与判定
3. 菱形的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，将全等三角形、平行四边形、菱形的相关判定和性质结合考察，解题时需理清特殊四边形的判定逻辑，通过角的等量代换推导边的关系，对锻炼几何逻辑推理能力有很大帮助。
【难度系数】
0.7
