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1. 完全平方式
我们把
2. 用完全平方公式分解因式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的
平方.
用字母表示为 $a^2 + 2ab + b^2 =$
$a^2 - 2ab + b^2 =$
我们把
$a^2+2ab+b^2$
和$a^2-2ab+b^2$
这样的式子叫作完全平方式.2. 用完全平方公式分解因式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的
平方.
用字母表示为 $a^2 + 2ab + b^2 =$
$(a+b)^2$
,$a^2 - 2ab + b^2 =$
$(a-b)^2$
.答案
1. $a^2+2ab+b^2$ $a^2-2ab+b^2$
2. $(a+b)^2$ $(a-b)^2$
2. $(a+b)^2$ $(a-b)^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方式的相关概念与完全平方公式因式分解的基础识记。解题时先回忆教材中完全平方式的定义，对应填写第1问的两个标准完全平方式形式；再回忆完全平方公式因式分解的字母表达形式，区分“加2ab对应和的平方，减2ab对应差的平方”的规律，对应填写第2问即可。
【解析】
1. 根据完全平方式的定义，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍的式子叫做完全平方式，对应的两个标准形式为$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$。
2. 根据完全平方公式因式分解的法则：两个数的平方和加这两个数积的2倍等于两数和的平方，即$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$；两个数的平方和减这两个数积的2倍等于两数差的平方，即$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$。
【答案】
1. $a^2+2ab+b^2$；$a^2-2ab+b^2$
2. $(a+b)^2$；$(a-b)^2$
【知识点】
1. 完全平方式的定义
2. 完全平方公式分解因式
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心是对完全平方式相关概念和公式的记忆掌握，是后续运用完全平方公式解决复杂因式分解、整式运算等问题的基础，需要准确识记、熟练区分两个完全平方公式的形式。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方式的相关概念与完全平方公式因式分解的基础识记。解题时先回忆教材中完全平方式的定义，对应填写第1问的两个标准完全平方式形式；再回忆完全平方公式因式分解的字母表达形式，区分“加2ab对应和的平方，减2ab对应差的平方”的规律，对应填写第2问即可。
【解析】
1. 根据完全平方式的定义，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍的式子叫做完全平方式，对应的两个标准形式为$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$。
2. 根据完全平方公式因式分解的法则：两个数的平方和加这两个数积的2倍等于两数和的平方，即$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$；两个数的平方和减这两个数积的2倍等于两数差的平方，即$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$。
【答案】
1. $a^2+2ab+b^2$；$a^2-2ab+b^2$
2. $(a+b)^2$；$(a-b)^2$
【知识点】
1. 完全平方式的定义
2. 完全平方公式分解因式
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心是对完全平方式相关概念和公式的记忆掌握，是后续运用完全平方公式解决复杂因式分解、整式运算等问题的基础，需要准确识记、熟练区分两个完全平方公式的形式。
【难度系数】
0.9
3.公式法
运用
运用
公式
把多项式分解因式的方法叫作公式法。答案
3. 公式
解析
【分析】
本题考查公式法分解因式的基础定义，解题时只需回忆教材中公式法的概念即可。我们知道因式分解有提公因式法、公式法等常用方法，其中公式法的核心就是借助已学的乘法公式对多项式进行分解，对照定义就能确定空缺处的内容。
【解析】
根据因式分解中公式法的定义：运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法，因此空缺处应填入“公式”。
【答案】
公式
【知识点】
公式法的定义；因式分解的方法
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对教材基础定义的识记能力，熟练掌握课本相关概念是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查公式法分解因式的基础定义，解题时只需回忆教材中公式法的概念即可。我们知道因式分解有提公因式法、公式法等常用方法，其中公式法的核心就是借助已学的乘法公式对多项式进行分解，对照定义就能确定空缺处的内容。
【解析】
根据因式分解中公式法的定义：运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法，因此空缺处应填入“公式”。
【答案】
公式
【知识点】
公式法的定义；因式分解的方法
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对教材基础定义的识记能力，熟练掌握课本相关概念是解题的关键。
【难度系数】
0.9
[典例1]如果$x^2 + 2ax +1$是一个完全平方式，则a的值是(
A. 1
B. −1
C. 1或−1
D. 2或−2
[举一反三]$x^2 -6x +m^2$是一个完全平方式，则m的值为(
A. 3
B. 9
C. −3
D. ±3
C
).A. 1
B. −1
C. 1或−1
D. 2或−2
[举一反三]$x^2 -6x +m^2$是一个完全平方式，则m的值为(
D
).A. 3
B. 9
C. −3
D. ±3
答案
【举一反三】D
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，满足“首平方、尾平方，首尾两倍在中央”。对于给定的式子$x^2 -6x +m^2$，首项是$x^2$，尾项是$m^2$，可以直接利用“完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方”这一规律列等式求解，最后注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵$x^2 -6x +m^2$是完全平方式，
根据完全平方式的结构特征，常数项等于一次项系数一半的平方，
一次项系数为$-6$，其一半的平方为：$(\frac{-6}{2})^2=9$，
∴$m^2=9$，
对等式两边开平方得：$m=\pm3$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，平方根的定义
【点评】
本题考查完全平方式的应用，解题的关键是掌握完全平方式的结构特点，需要注意正数的平方根有两个，避免遗漏负的解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，满足“首平方、尾平方，首尾两倍在中央”。对于给定的式子$x^2 -6x +m^2$，首项是$x^2$，尾项是$m^2$，可以直接利用“完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方”这一规律列等式求解，最后注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵$x^2 -6x +m^2$是完全平方式，
根据完全平方式的结构特征，常数项等于一次项系数一半的平方，
一次项系数为$-6$，其一半的平方为：$(\frac{-6}{2})^2=9$，
∴$m^2=9$，
对等式两边开平方得：$m=\pm3$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，平方根的定义
【点评】
本题考查完全平方式的应用，解题的关键是掌握完全平方式的结构特点，需要注意正数的平方根有两个，避免遗漏负的解。
【难度系数】
0.7
[典例2]分解因式：
(1)$m^2 +14m +49$；
(2)$-9x^2 +12x -4$；
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$。
规律总结 一个多项式可以利用完全平方公式分解因式时，这个多项式必须同时具备两个条件：(1)可以写成三项式的形式；(2)三项中有两项是两个数(或式子)的平方，第三项是这两个数(或式子)乘积的2倍。
[举一反三]分解因式：
(1)$-x^2 +2xy -y^2$；
(2)$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$；
(3)$(a+b)^2 -4(a+b -1)$。
(1)$m^2 +14m +49$；
(2)$-9x^2 +12x -4$；
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$。
规律总结 一个多项式可以利用完全平方公式分解因式时，这个多项式必须同时具备两个条件：(1)可以写成三项式的形式；(2)三项中有两项是两个数(或式子)的平方，第三项是这两个数(或式子)乘积的2倍。
[举一反三]分解因式：
(1)$-x^2 +2xy -y^2$；
(2)$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$；
(3)$(a+b)^2 -4(a+b -1)$。
答案
【举一反三】解 (1)$-x^2 +2xy -y^2$
$=-(x^2 -2xy +y^2)$
$=-(x-y)^2.$
(2)$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2 - 2·2(x+y)·5 +5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2.$
(3)$(a+b)^2 -4(a+b -1)$
$=(a+b)^2 -4(a+b) +4$
$=(a+b-2)^2.$
$=-(x^2 -2xy +y^2)$
$=-(x-y)^2.$
(2)$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2 - 2·2(x+y)·5 +5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2.$
(3)$(a+b)^2 -4(a+b -1)$
$=(a+b)^2 -4(a+b) +4$
$=(a+b-2)^2.$
解析
【分析】
这组题均考查运用完全平方公式分解因式，完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题思路如下：
1. 第(1)题：首项系数为负，先提取公因式$-1$，将括号内的式子整理为三项式，观察是否符合完全平方式的结构，再套用公式分解；
2. 第(2)题：先将式子调整为三项式的标准形式，把$2(x+y)$和$5$分别看作整体，识别出两个平方项和中间的2倍乘积项，直接套用完全平方公式，最后化简即可；
3. 第(3)题：先将原式中的括号展开整理，把$(a+b)$看作整体，整理后得到的三项式符合完全平方式结构，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) $-x^2 +2xy -y^2$
$=-(x^2 -2xy +y^2)$
$=-(x-y)^2$
(2) $4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2 - 2·2(x+y)·5 +5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$
(3) $(a+b)^2 -4(a+b -1)$
$=(a+b)^2 -4(a+b) +4$
$=(a+b-2)^2$
【答案】
(1) $-(x-y)^2$；(2) $(2x+2y-5)^2$；(3) $(a+b-2)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解、提公因式法、整体思想因式分解
【点评】
本题是运用完全平方公式分解因式的典型习题，重点考查对完全平方式结构特征的识别能力，解题时需先观察式子特征，必要时先提公因式或整理变形，遇到重复出现的多项式可将其视作整体简化运算，提取负号时要注意所有项均需变号。
【难度系数】
0.75
这组题均考查运用完全平方公式分解因式，完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题思路如下：
1. 第(1)题：首项系数为负，先提取公因式$-1$，将括号内的式子整理为三项式，观察是否符合完全平方式的结构，再套用公式分解；
2. 第(2)题：先将式子调整为三项式的标准形式，把$2(x+y)$和$5$分别看作整体，识别出两个平方项和中间的2倍乘积项，直接套用完全平方公式，最后化简即可；
3. 第(3)题：先将原式中的括号展开整理，把$(a+b)$看作整体，整理后得到的三项式符合完全平方式结构，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) $-x^2 +2xy -y^2$
$=-(x^2 -2xy +y^2)$
$=-(x-y)^2$
(2) $4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2 - 2·2(x+y)·5 +5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$
(3) $(a+b)^2 -4(a+b -1)$
$=(a+b)^2 -4(a+b) +4$
$=(a+b-2)^2$
【答案】
(1) $-(x-y)^2$；(2) $(2x+2y-5)^2$；(3) $(a+b-2)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解、提公因式法、整体思想因式分解
【点评】
本题是运用完全平方公式分解因式的典型习题，重点考查对完全平方式结构特征的识别能力，解题时需先观察式子特征，必要时先提公因式或整理变形，遇到重复出现的多项式可将其视作整体简化运算，提取负号时要注意所有项均需变号。
【难度系数】
0.75
