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1. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是(
A.$a^2 + 2a -1$
B.$x^2 - xy + y^2$
C.$a^2 - 2a + \frac{1}{4}$
D.$a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2$
D
).A.$a^2 + 2a -1$
B.$x^2 - xy + y^2$
C.$a^2 - 2a + \frac{1}{4}$
D.$a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方式的结构特征：①是三项式；②有两个同号的平方项；③第三项是两个平方项的底数乘积的2倍（符号可正可负）。我们只需逐个验证选项是否符合上述特征即可得出答案。
【解析】
完全平方公式因式分解的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
选项A：$a^2 + 2a -1$，平方项$a^2$和$-1$符号相反，不符合完全平方式要求，不能用完全平方公式分解；
选项B：$x^2 - xy + y^2$，两个平方项的底数为$x$和$y$，乘积的2倍为$2xy$，但中间项为$-xy$，不满足2倍关系，不符合要求；
选项C：$a^2 - 2a + \frac{1}{4}$，两个平方项的底数为$a$和$\frac{1}{2}$，乘积的2倍为$2× a×\frac{1}{2}=a$，但中间项为$-2a$，不满足2倍关系，不符合要求；
选项D：$a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2$，两个平方项的底数为$a$和$\frac{1}{2}b$，乘积的2倍为$2× a×\frac{1}{2}b=ab$，中间项$-ab$正好是乘积2倍的相反数，符合完全平方式，可分解为$(a-\frac{1}{2}b)^2$，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 完全平方式识别
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，属于基础类考题，解题的关键是准确抓住完全平方式“两项平方同号、中间项为两倍乘积”的特点，逐一排查选项即可，解题时注意不要忽略中间项的2倍关系。
【难度系数】
0.7
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方式的结构特征：①是三项式；②有两个同号的平方项；③第三项是两个平方项的底数乘积的2倍（符号可正可负）。我们只需逐个验证选项是否符合上述特征即可得出答案。
【解析】
完全平方公式因式分解的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
选项A：$a^2 + 2a -1$，平方项$a^2$和$-1$符号相反，不符合完全平方式要求，不能用完全平方公式分解；
选项B：$x^2 - xy + y^2$，两个平方项的底数为$x$和$y$，乘积的2倍为$2xy$，但中间项为$-xy$，不满足2倍关系，不符合要求；
选项C：$a^2 - 2a + \frac{1}{4}$，两个平方项的底数为$a$和$\frac{1}{2}$，乘积的2倍为$2× a×\frac{1}{2}=a$，但中间项为$-2a$，不满足2倍关系，不符合要求；
选项D：$a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2$，两个平方项的底数为$a$和$\frac{1}{2}b$，乘积的2倍为$2× a×\frac{1}{2}b=ab$，中间项$-ab$正好是乘积2倍的相反数，符合完全平方式，可分解为$(a-\frac{1}{2}b)^2$，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 完全平方式识别
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，属于基础类考题，解题的关键是准确抓住完全平方式“两项平方同号、中间项为两倍乘积”的特点，逐一排查选项即可，解题时注意不要忽略中间项的2倍关系。
【难度系数】
0.7
2. 若代数式$x^2+(m+1)x+4$是完全平方式，则m的值是(
A.3
B.$-3$
C.$-5$
D.3或$-5$
D
).A.3
B.$-3$
C.$-5$
D.3或$-5$
答案
2. D
解析
【分析】解题时首先回忆完全平方式的结构特征，完全平方式有和的平方、差的平方两种形式，即$a^2+2ab+b^2$或$a^2-2ab+b^2$。我们先对应找到给定代数式的首项和末项，再根据中间项的两种可能情况列等式求解m，注意不能漏掉差的平方的情况，避免漏解。
【解析】完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知代数式$x^2+(m+1)x+4$是完全平方式，对比公式可得：
首项$a=x$，末项$b^2=4$，即$b=\pm2$。
则中间项$(m+1)x=\pm2· x·2=\pm4x$，因此系数满足：
$m+1=4$ 或 $m+1=-4$。
当$m+1=4$时，解得$m=3$；
当$m+1=-4$时，解得$m=-5$。
综上，m的值为3或-5，故选D。
【答案】D
【知识点】1.完全平方公式 2.完全平方式的特征
【点评】本题重点考查完全平方式的结构掌握，易错点是仅考虑和的平方的情况，忽略差的平方的可能性从而漏解，解题时要全面考虑两种完全平方式的形式，避免出错。
【难度系数】0.6
【解析】完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知代数式$x^2+(m+1)x+4$是完全平方式，对比公式可得：
首项$a=x$，末项$b^2=4$，即$b=\pm2$。
则中间项$(m+1)x=\pm2· x·2=\pm4x$，因此系数满足：
$m+1=4$ 或 $m+1=-4$。
当$m+1=4$时，解得$m=3$；
当$m+1=-4$时，解得$m=-5$。
综上，m的值为3或-5，故选D。
【答案】D
【知识点】1.完全平方公式 2.完全平方式的特征
【点评】本题重点考查完全平方式的结构掌握，易错点是仅考虑和的平方的情况，忽略差的平方的可能性从而漏解，解题时要全面考虑两种完全平方式的形式，避免出错。
【难度系数】0.6
3. (2025·内蒙古赤峰模拟)分解因式：$9m^2 + 6m + 1=$
$(3m+1)^2$
.答案
3. $(3m+1)^2$
解析
【分析】
要分解这个三项式，首先观察式子的结构特征：先判断是否符合完全平方公式的结构$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。先找首尾两项的底数：$9m^2=(3m)^2$，可得$a=3m$；$1=1^2$，可得$b=1$；再验证中间项$6m=2×3m×1$，刚好符合完全平方式的特征，因此可以直接用完全平方公式分解因式。
【解析】
解：观察多项式$9m^2 + 6m + 1$：
$\because 9m^2=(3m)^2$，$1=1^2$，中间项$6m=2×3m×1$，
$\therefore$ 该式符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，
代入得：$9m^2 + 6m + 1=(3m+1)^2$。
【答案】
$(3m+1)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确识别公式中对应的$a$、$b$即可快速求解，主要考查对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.9
要分解这个三项式，首先观察式子的结构特征：先判断是否符合完全平方公式的结构$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。先找首尾两项的底数：$9m^2=(3m)^2$，可得$a=3m$；$1=1^2$，可得$b=1$；再验证中间项$6m=2×3m×1$，刚好符合完全平方式的特征，因此可以直接用完全平方公式分解因式。
【解析】
解：观察多项式$9m^2 + 6m + 1$：
$\because 9m^2=(3m)^2$，$1=1^2$，中间项$6m=2×3m×1$，
$\therefore$ 该式符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，
代入得：$9m^2 + 6m + 1=(3m+1)^2$。
【答案】
$(3m+1)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确识别公式中对应的$a$、$b$即可快速求解，主要考查对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.9
4. 分解因式：
(1) $-x^2 -4y^2 +4xy$；
(2) $\frac{1}{4}+(x+1)(x+2)$；
(3) $(a-2b)^2 -12(a-2b)+36$。
(1) $-x^2 -4y^2 +4xy$；
(2) $\frac{1}{4}+(x+1)(x+2)$；
(3) $(a-2b)^2 -12(a-2b)+36$。
答案
4. 解 (1)$-x^2 -4y^2 +4xy$
$=-(x^2 -4xy +4y^2)$
$=-(x-2y)^2.$
(2)$\frac{1}{4}+(x+1)(x+2)$
$=x^2 +3x +2 +\frac{1}{4}$
$=x^2 +3x +\frac{9}{4}$
$=(x+\frac{3}{2})^2.$
(3)$(a-2b)^2 -12(a-2b)+36=(a-2b-6)^2.$
$=-(x^2 -4xy +4y^2)$
$=-(x-2y)^2.$
(2)$\frac{1}{4}+(x+1)(x+2)$
$=x^2 +3x +2 +\frac{1}{4}$
$=x^2 +3x +\frac{9}{4}$
$=(x+\frac{3}{2})^2.$
(3)$(a-2b)^2 -12(a-2b)+36=(a-2b-6)^2.$
解析
【分析】
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：1. 先牢记完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即式子需包含两个数的平方项，以及两数乘积的2倍项；2. 第(1)题平方项均为负，先提取公因式$-1$，将括号内的式子整理为符合完全平方公式的结构再分解；3. 第(2)题含有多项式乘积，先通过整式乘法展开、合并同类项得到二次三项式，再验证是否符合完全平方公式结构后分解；4. 第(3)题将$(a-2b)$看作一个整体，直接对照完全平方公式的结构分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$-1$，再套用完全平方差公式：
$-x^2 -4y^2 +4xy$
$=-(x^2 -4xy +4y^2)$
$=-(x-2y)^2$
(2) 先展开整式乘法，合并同类项后套用完全平方和公式：
$\frac{1}{4}+(x+1)(x+2)$
$=\frac{1}{4}+x^2 +3x +2$
$=x^2 +3x +\frac{9}{4}$
$=(x+\frac{3}{2})^2$
(3) 将$(a-2b)$视为整体，套用完全平方差公式：
$(a-2b)^2 -12(a-2b)+36$
$=(a-2b)^2 - 2×(a-2b)×6 + 6^2$
$=(a-2b-6)^2$
【答案】
(1) $-(x-2y)^2$；(2) $(x+\frac{3}{2})^2$；(3) $(a-2b-6)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式分解因式，整式乘法运算
【点评】
这三道题是运用完全平方公式分解因式的典型基础题，覆盖了提负号变形、先化简再分解、整体代换三类核心考法，解题关键是准确识别式子结构，灵活调整为完全平方公式的标准形式，注意分解结果要最简。
【难度系数】
0.8
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：1. 先牢记完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即式子需包含两个数的平方项，以及两数乘积的2倍项；2. 第(1)题平方项均为负，先提取公因式$-1$，将括号内的式子整理为符合完全平方公式的结构再分解；3. 第(2)题含有多项式乘积，先通过整式乘法展开、合并同类项得到二次三项式，再验证是否符合完全平方公式结构后分解；4. 第(3)题将$(a-2b)$看作一个整体，直接对照完全平方公式的结构分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$-1$，再套用完全平方差公式：
$-x^2 -4y^2 +4xy$
$=-(x^2 -4xy +4y^2)$
$=-(x-2y)^2$
(2) 先展开整式乘法，合并同类项后套用完全平方和公式：
$\frac{1}{4}+(x+1)(x+2)$
$=\frac{1}{4}+x^2 +3x +2$
$=x^2 +3x +\frac{9}{4}$
$=(x+\frac{3}{2})^2$
(3) 将$(a-2b)$视为整体，套用完全平方差公式：
$(a-2b)^2 -12(a-2b)+36$
$=(a-2b)^2 - 2×(a-2b)×6 + 6^2$
$=(a-2b-6)^2$
【答案】
(1) $-(x-2y)^2$；(2) $(x+\frac{3}{2})^2$；(3) $(a-2b-6)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式分解因式，整式乘法运算
【点评】
这三道题是运用完全平方公式分解因式的典型基础题，覆盖了提负号变形、先化简再分解、整体代换三类核心考法，解题关键是准确识别式子结构，灵活调整为完全平方公式的标准形式，注意分解结果要最简。
【难度系数】
0.8
5.若$(x^2 + y^2)^4 -6(x^2 + y^2)^2 +9=0$，则
$x^2 + y^2=\underline{\hspace{5cm}}.$
$x^2 + y^2=\underline{\hspace{5cm}}.$
答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
观察方程结构可发现$x^2+y^2$是重复出现的整体，且方程左侧符合完全平方公式的形式，解题时先把$x^2+y^2$看作整体，用完全平方公式对左侧因式分解降次，再结合平方的非负性确定$x^2+y^2$的非负属性，排除不符合要求的解即可得到结果。
【解析】
解：设$u=x^2+y^2$，根据平方的非负性可知$u≥0$，
原方程可转化为：$u^4 - 6u^2 + 9 = 0$
利用完全平方公式因式分解得：$(u^2 - 3)^2 = 0$
因此$u^2 - 3 = 0$，即$u^2=3$
结合$u≥0$的取值要求，解得$u=\sqrt{3}$，即$x^2+y^2=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1.完全平方公式分解因式 2.换元法 3.非负数的性质
【点评】
本题重点考察整体思想的应用，解题关键是将重复出现的$x^2+y^2$看作整体降次，注意求解时要结合平方的非负性对结果取舍，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
观察方程结构可发现$x^2+y^2$是重复出现的整体，且方程左侧符合完全平方公式的形式，解题时先把$x^2+y^2$看作整体，用完全平方公式对左侧因式分解降次，再结合平方的非负性确定$x^2+y^2$的非负属性，排除不符合要求的解即可得到结果。
【解析】
解：设$u=x^2+y^2$，根据平方的非负性可知$u≥0$，
原方程可转化为：$u^4 - 6u^2 + 9 = 0$
利用完全平方公式因式分解得：$(u^2 - 3)^2 = 0$
因此$u^2 - 3 = 0$，即$u^2=3$
结合$u≥0$的取值要求，解得$u=\sqrt{3}$，即$x^2+y^2=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1.完全平方公式分解因式 2.换元法 3.非负数的性质
【点评】
本题重点考察整体思想的应用，解题关键是将重复出现的$x^2+y^2$看作整体降次，注意求解时要结合平方的非负性对结果取舍，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
6. 利用因式分解计算：
$38.9^2 - 2 × 38.9 × 48.9 + 48.9^2.$
$38.9^2 - 2 × 38.9 × 48.9 + 48.9^2.$
答案
6. 解 $38.9^2 -2×38.9×48.9 +48.9^2$
$=(38.9-48.9)^2$
$=100.$
$=(38.9-48.9)^2$
$=100.$
解析
【分析】
拿到本题不要直接计算乘方和乘法项，先观察式子结构：式子共三项，首项是38.9的平方，末项是48.9的平方，中间项是两个数乘积的2倍且带负号，完全符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的左侧结构。我们可以把38.9看作公式中的$a$，48.9看作公式中的$b$，先套用公式因式分解，再计算就能大幅简化运算量，步骤为：先匹配公式结构，再代入公式转化为差的平方，最后计算结果即可。
【解析】
解：$38.9^2 -2×38.9×48.9 +48.9^2$
$=(38.9-48.9)^2$
$=(-10)^2$
$=100$
【答案】
$100$
【知识点】
完全平方差公式；因式分解的简便应用
【点评】
本题是因式分解用于简便运算的基础题型，解题核心是熟练识别完全平方公式的结构特征，遇到对应形式的运算优先用因式分解简化计算，可避免复杂的乘方运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
拿到本题不要直接计算乘方和乘法项，先观察式子结构：式子共三项，首项是38.9的平方，末项是48.9的平方，中间项是两个数乘积的2倍且带负号，完全符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的左侧结构。我们可以把38.9看作公式中的$a$，48.9看作公式中的$b$，先套用公式因式分解，再计算就能大幅简化运算量，步骤为：先匹配公式结构，再代入公式转化为差的平方，最后计算结果即可。
【解析】
解：$38.9^2 -2×38.9×48.9 +48.9^2$
$=(38.9-48.9)^2$
$=(-10)^2$
$=100$
【答案】
$100$
【知识点】
完全平方差公式；因式分解的简便应用
【点评】
本题是因式分解用于简便运算的基础题型，解题核心是熟练识别完全平方公式的结构特征，遇到对应形式的运算优先用因式分解简化计算，可避免复杂的乘方运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
7. 添加一个单项式，使得多项式$16a^2 +1$能运用完全平方公式进行因式分解. 写出所有符合条件的单项式，并进行因式分解.
答案
7. 解 $\because 16a^2 +8a +1=(4a+1)^2,$
$16a^2 -8a +1=(4a-1)^2,$
$64a^4 +16a^2 +1=(8a^2 +1)^2,$
$\therefore$ 添加的单项式为8a 或−8a 或$64a^4$.
$16a^2 -8a +1=(4a-1)^2,$
$64a^4 +16a^2 +1=(8a^2 +1)^2,$
$\therefore$ 添加的单项式为8a 或−8a 或$64a^4$.
解析
【分析】
首先回忆完全平方公式因式分解的结构特征：完全平方式满足“首平方，尾平方，积的2倍在中央”，即形如$m^2\pm2mn+n^2$的式子可以分解为$(m\pm n)^2$。我们将已知的$16a^2+1$与完全平方式的结构对比，分两种情况讨论：① 把$16a^2$和$1$当作两个平方项（即$m^2$和$n^2$），补充积的2倍项；② 把$16a^2$当作“积的2倍项”，把$1$当作其中一个平方项，补充另一个平方项，即可得到所有符合条件的单项式。
【解析】
根据完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$，分情况讨论：
1. 若$16a^2$和$1$为两个平方项：
由$16a^2=(4a)^2$，$1=1^2$，可得缺失的积的2倍项为$\pm 2×4a×1=\pm8a$
加$8a$时：$16a^2+8a+1=(4a+1)^2$
加$-8a$时：$16a^2-8a+1=(4a-1)^2$
2. 若$16a^2$为积的2倍项，$1$为其中一个平方项：
设$2mn=16a^2$，$n^2=1$，得$m=8a^2$，缺失的平方项为$m^2=(8a^2)^2=64a^4$
加$64a^4$时：$64a^4+16a^2+1=(8a^2+1)^2$
【答案】
符合条件的单项式为$8a$、$-8a$、$64a^4$，对应的因式分解分别为：$16a^2+8a+1=(4a+1)^2$，$16a^2-8a+1=(4a-1)^2$，$64a^4+16a^2+1=(8a^2+1)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构特征，解题时需分情况讨论，注意不要遗漏将已知项作为中间交叉项的情况，能帮助加深对完全平方公式结构的理解。
【难度系数】
0.6
首先回忆完全平方公式因式分解的结构特征：完全平方式满足“首平方，尾平方，积的2倍在中央”，即形如$m^2\pm2mn+n^2$的式子可以分解为$(m\pm n)^2$。我们将已知的$16a^2+1$与完全平方式的结构对比，分两种情况讨论：① 把$16a^2$和$1$当作两个平方项（即$m^2$和$n^2$），补充积的2倍项；② 把$16a^2$当作“积的2倍项”，把$1$当作其中一个平方项，补充另一个平方项，即可得到所有符合条件的单项式。
【解析】
根据完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$，分情况讨论：
1. 若$16a^2$和$1$为两个平方项：
由$16a^2=(4a)^2$，$1=1^2$，可得缺失的积的2倍项为$\pm 2×4a×1=\pm8a$
加$8a$时：$16a^2+8a+1=(4a+1)^2$
加$-8a$时：$16a^2-8a+1=(4a-1)^2$
2. 若$16a^2$为积的2倍项，$1$为其中一个平方项：
设$2mn=16a^2$，$n^2=1$，得$m=8a^2$，缺失的平方项为$m^2=(8a^2)^2=64a^4$
加$64a^4$时：$64a^4+16a^2+1=(8a^2+1)^2$
【答案】
符合条件的单项式为$8a$、$-8a$、$64a^4$，对应的因式分解分别为：$16a^2+8a+1=(4a+1)^2$，$16a^2-8a+1=(4a-1)^2$，$64a^4+16a^2+1=(8a^2+1)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构特征，解题时需分情况讨论，注意不要遗漏将已知项作为中间交叉项的情况，能帮助加深对完全平方公式结构的理解。
【难度系数】
0.6
