1. 下列多项式不能用平方差公式分解因式的是().

A.$1-x^2$
B.$-x^2-25$
C.$-16b^2+9a^2$
D.$\frac{1}{4}-x^2$

1. B

【分析】
要判断哪个多项式不能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的结构特征：能运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，且两项都能写成某个整式平方的形式，同时两项的符号相反（一正一负）。解题时我们只需要逐一验证每个选项是否满足上述三个特征即可，不满足的就是正确选项。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}$，适用的多项式需满足：是二项式、两项均为平方形式、两项符号相反。
选项A：$1-x^2=1^2 - x^2$，满足平方差公式的结构特征，可分解为$(1+x)(1-x)$，不符合题意；
选项B：$-x^2 -25 = -(x^2 + 25)$，括号内两项符号均为正，不满足“两项符号相反”的要求，不能用平方差公式分解因式，符合题意；
选项C：$-16b^2 +9a^2 = (3a)^2 - (4b)^2$，满足平方差公式的结构特征，可分解为$(3a+4b)(3a-4b)$，不符合题意；
选项D：$\frac{1}{4}-x^2 = (\frac{1}{2})^2 - x^2$，满足平方差公式的结构特征，可分解为$(\frac{1}{2}+x)(\frac{1}{2}-x)$，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解，平方项识别
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查平方差公式分解因式的适用条件，解题的关键是抓住“异号两个平方项”的结构特征，易错点是容易忽略两项符号的判断，只要熟记公式结构就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

2. 因式分解$(x-1)^2 -9$的结果是().

A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$

2. D

【分析】
观察待分解的式子，属于“两个平方项相减”的结构，符合平方差公式的特征，因此优先选用平方差公式进行因式分解。第一步先将常数项9改写为$3^2$，确定平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$中的$a=x-1$，$b=3$；第二步代入公式展开；第三步对括号内的项合并同类项，得到最终结果后匹配选项即可。
【解析】
解：利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(x-1)^2 -9&=(x-1)^2 -3^2\\&=[(x-1)+3][(x-1)-3]\\&=(x-1+3)(x-1-3)\\&=(x+2)(x-4)\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式分解因式；合并同类项
【点评】
本题考查运用平方差公式分解因式，解题核心是准确识别平方差的结构形式，正确对应公式中的两个项，分解后需注意化简得到最简因式，是因式分解模块的基础题型。
【难度系数】
0.8

3. 分解因式：$x^2 - 4 =$ .

3. (x+2)(x-2)

【分析】
要对多项式进行因式分解，首先观察多项式的结构：该式是两项，且两项都可以写成平方的形式，符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征。先确定公式中对应的a和b：$x^2$对应$a^2$即$a=x$，$4=2^2$对应$b^2$即$b=2$，代入平方差公式即可完成分解。
【解析】
第一步：将原式转化为平方差的形式：
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2$
第二步：套用平方差分解因式公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=x$，$b=2$可得：
$x^2 - 2^2 = (x+2)(x-2)$
【答案】
$(x+2)(x-2)$
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，熟练掌握常见整数的平方值、熟记平方差公式的形式是解题的关键。
【难度系数】
0.9

4. 把下列各式分解因式：
(1)$-16x^2 + y^2$；
(2)$4(x + y)^2 - 9(x - y)^2$；
(3)$(3x - 2)^2 - (2x + 7)^2$。

解 (1)$-16x^2 + y^2 = y^2 - 16x^2 = (y+4x)(y-4x)$
(2)$4(x + y)^2 - 9(x - y)^2 = [2(x + y) + 3(x - y)][2(x + y) - 3(x - y)] = (5x - y)(5y - x)$
(3)$(3x - 2)^2 - (2x + 7)^2 = [(3x - 2) + (2x + 7)][(3x - 2) - (2x + 7)] = (5x + 5)(x - 9) = 5(x + 1)(x - 9)$

【分析】
这三道因式分解题均符合平方差公式的结构特征，解题思路如下：①先观察式子特征：均为两项、两项符号相反、每项都可以写成某个整式的平方形式，确定可用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解；②准确找到公式中$a$、$b$分别对应的整式；③代入公式展开后合并同类项，若合并后还有公因式需继续提取，保证分解彻底。
【解析】
(1) 先调整项的顺序，化为标准平方差形式：
$-16x^2 + y^2 = y^2 - 16x^2 = y^2 - (4x)^2$
套用平方差公式得：
$\begin{aligned}原式&=(y + 4x)(y - 4x)\end{aligned}$
(2) 先将系数转化为平方形式，构造平方差结构：
$4(x + y)^2 - 9(x - y)^2 = [2(x + y)]^2 - [3(x - y)]^2$
套用平方差公式得：
$=[2(x + y) + 3(x - y)][2(x + y) - 3(x - y)]$
分别展开两个括号内的整式并合并同类项：
第一个括号：$2x+2y+3x-3y=5x-y$
第二个括号：$2x+2y-3x+3y=5y-x$
因此原式$=(5x - y)(5y - x)$
(3) 直接将两个括号内的整式作为平方差的两项，套用公式：
$(3x - 2)^2 - (2x + 7)^2 = [(3x - 2) + (2x + 7)][(3x - 2) - (2x + 7)]$
展开合并同类项：
第一个括号：$3x-2+2x+7=5x+5$
第二个括号：$3x-2-2x-7=x-9$
第一个因式有公因式5，继续提取得：
$\begin{aligned}原式&=5(x + 1)(x - 9)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(y+4x)(y-4x)$
(2) $(5x - y)(5y - x)$
(3) $5(x + 1)(x - 9)$
【知识点】
平方差公式分解因式，整式加减运算，提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别平方差公式的结构特征，解题时需注意去括号的符号问题，分解完成后要检查是否还有公因式，保证因式分解的结果是最简形式。
【难度系数】
0.75

5. 先分解因式,再求值:$(4a + b)^2 - 9b^2$,其中$a + b = 2, b - 2a = 3.$

解 $(4a + b)^2 - 9b^2$
$=(4a + b + 3b)(4a + b - 3b)$
$=(4a + 4b)(4a - 2b)$
$=8(a + b)(2a - b)$
当$a + b = 2,b - 2a = 3$时，原式$=8×2×(-3)=-48$

【分析】
首先观察待求值的代数式结构，是两个整式的平方相减，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的特征，因此第一步优先用平方差公式分解因式。分解后对得到的因式合并同类项、提取公因式整理，可发现化简结果中包含已知条件给出的$a+b$、$b-2a$相关的代数式，无需单独求解$a$、$b$的值，直接整体代入即可快速算出结果，避免解方程组可能出现的计算错误。
【解析】
解：$(4a + b)^2 - 9b^2$
$=(4a + b)^2 - (3b)^2$
$=(4a + b + 3b)(4a + b - 3b)$
$=(4a + 4b)(4a - 2b)$
分别提取两个因式的公因式得：
$=4(a + b) · 2(2a - b)$
$=8(a + b)(2a - b)$
已知$a + b = 2$，$b - 2a = 3$，因此$2a - b = -(b - 2a) = -3$，将数值代入得：
原式$=8×2×(-3)= -48$
【答案】
$\boxed{-48}$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，先分解因式再整体代入已知条件计算，有效简化了运算流程，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.7

6.设 n 为整数,试说明$(2n+1)^2 -25$能被 4整除.

解 $(2n+1)^2 -25$
$=(2n+1)^2 -5^2$
$=(2n+1+5)(2n+1-5)$
$=(2n+6)(2n-4)$
$=4(n+3)(n-2)$
∵n 为整数，
∴$(2n+1)^2 -25$能被 4 整除。

【分析】
要说明整式能被4整除，本质是证明该整式可表示为4与某个整数的乘积。首先观察式子$(2n+1)^2 -25$，发现它是两个数的平方作差的形式，25可改写为$5^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，因此第一步先用平方差公式对原式因式分解，再对分解后的两个一次因式提取公因式，判断是否能得到公因数4，最后结合n为整数的条件，说明剩余因式也是整数，即可完成证明。
【解析】
解：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 -25&=(2n+1)^2 -5^2\\&=(2n+1+5)(2n+1-5)\\&=(2n+6)(2n-4)\\&=4(n+3)(n-2)\end{aligned}$
∵n为整数，
∴$n+3$和$n-2$均为整数，即$4(n+3)(n-2)$是4的整数倍，
因此$(2n+1)^2 -25$能被4整除。
【答案】
$(2n+1)^2 -25=4(n+3)(n-2)$，n为整数时能被4整除。
【知识点】
平方差公式因式分解、提公因式法因式分解、整除判定
【点评】
本题考查因式分解在整除判定中的应用，解题的核心是准确识别平方差公式的结构特征，通过因式分解将原式变形为含因数4的形式，结合整数的性质即可得证，是因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.8