平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的
与这两个数的的积. 用字母表示为
$a^2 - b^2 =$ .

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，用字母表示为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

【分析】
这道题考查平方差公式的基础定义，解题时可先回忆平方差公式的推导逻辑：将整式$(a+b)(a-b)$展开后，中间项$-ab$和$+ab$相互抵消，运算结果为$a^2 - b^2$，反过来即可得到平方差的分解规律，对应填写文字表述和字母表达式即可。
【解析】
根据平方差公式的内容：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积；若用字母$a$、$b$分别代表这两个数，对应的字母表达式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，因此三个空缺处依次为和、差、$(a+b)(a-b)$。
【答案】
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，用字母表示为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
【知识点】
平方差公式；因式分解的公式法
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查对平方差公式的记忆与理解，熟练掌握公式的文字表述和字母形式是解决此类题的核心，也是后续运用公式进行因式分解、简便运算的基础。
【难度系数】
0.9

[典例]把下列各式分解因式:
(1)$4a^2 - \frac{1}{9}b^2$；
(2)$x^4 - 4y^2$；
(3)$-9(x+y)^2 + (x-y)^2$。
规律方法 运用平方差公式进行因式分解时,应先把多项式化成“平方差”的形式,以便明确哪项是公式中的$a$,哪项是公式中的$b$。
[举一反三]把下列各式分解因式:
(1)$16 - x^2$；
(2)$(a - b)^2 - 1$；
(3)$(2x + y)^2 - (x + 2y)^2$。

解 (1)$16-x^2=4^2-x^2=(4+x)(4-x)$
(2)$(a-b)^2-1=[(a-b)+1][(a-b)-1]=(a-b+1)(a-b-1)$
(3)$(2x+y)^2-(x+2y)^2=(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y)$

【分析】
这三道题均考查运用平方差公式进行因式分解，解题核心是先将多项式转化为$a^2-b^2$的结构，明确公式中$a$、$b$对应的项（可以是数字、字母，也可以是整式整体），再套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解，最后检查结果是否能继续化简，有公因式的要提取公因式，保证分解彻底。具体思考路径：(1)题中16可改写为$4^2$，直接构成平方差形式；(2)题把$(a-b)$看作整体，1改写为$1^2$即可套用公式；(3)题把两个平方项的底数分别看作整体，套用公式后合并同类项，再提取公因式即可。
【解析】
(1) 先将16转化为平方形式，再套用平方差公式：
$16 - x^2 = 4^2 - x^2=(4+x)(4-x)$
(2) 将1改写为$1^2$，把$(a-b)$看作整体套用公式，再去括号化简：
$(a-b)^2 - 1 = (a-b)^2 - 1^2=[(a-b)+1][(a-b)-1]=(a-b+1)(a-b-1)$
(3) 把$(2x+y)$和$(x+2y)$分别看作整体套用公式，合并同类项后提取公因式：
$(2x+y)^2 - (x+2y)^2 = [(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y)$
【答案】
(1)$(4+x)(4-x)$
(2)$(a-b+1)(a-b-1)$
(3)$3(x+y)(x-y)$
【知识点】
平方差公式分解因式，公因式提取，整体代换思想
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别能力，解题时要灵活运用整体思想看待多项式中的项，分解完成后需检查是否分解彻底，避免遗漏公因式。
【难度系数】
0.8