1.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线与外角$∠ ACP$的平分线交于点$D$,过点$D$作$BC$的平行线交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$,则线段$EF$,$BE$和$CF$的数量关系为。

1. $EF=BE-CF$

2.如图，BD平分∠ABC交AC于点D，E为CD上一点，AD=DE，EF//BC交BD于点F，求证：AB=EF.

2. 证明:如图,作$AM// EF$交$BD$的延长线于点$M$.

因为 $EF// BC$,所以 $BC// AM$,
所以$∠ M=∠ DBC$.
因为 $BD$ 平分$∠ ABC$,所以 $∠ ABD = ∠ CBD$,所以$∠ M=∠ ABD$,
所以 $AM=AB$.
因为 $AM// EF$,所以$∠ M=∠ DFE$.
在$△ ADM$ 和$△ EDF$ 中,
$\begin{cases}∠ ADM=∠ EDF,\\∠ M=∠ EFD,\\AD=ED,\end{cases}$
所以$△ ADM≌△ EDF(\mathrm{AAS})$,
所以 $EF=AM$,
所以 $AB=EF$.

3.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=120°$,$AD⊥ BC$于点$D$,且$AB+BD=CD$,求$∠ C$的度数.

3. 解:$20°$.

4.如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 108°$，$AB = AC$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$.求证：$BC = AB + CD$.

4. 证明:方法一(截长法):如图①,在 $BC$ 上取点 $E$,使 $BE=BA$,连接 $DE$.
因为 $BD$ 平分$∠ ABC$,
所以$∠ ABD=∠ EBD$.
在$△ ABD$ 和$△ EBD$ 中,
$\begin{cases}AB=EB,\\∠ ABD=∠ EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ EBD(\mathrm{SAS})$,
所以$∠ BAC=∠ BED=108°$,
所以$∠ DEC=72°$.
因为 $AB=AC$,所以$∠ C=∠ ABC=36°$,
所以$∠ CDE=72°$,
所以$∠ CDE=∠ CED=72°$,
所以 $CD=CE$,
所以 $BC=BE+EC=AB+CD$.

方法二(补短法):如图②,延长 $BA$ 至点 $E$,使 $BE=BC$,连接 $DE$.
因为 $BD$ 平分$∠ ABC$,
所以$∠ ABD=∠ CBD$.
在$△ EBD$ 和$△ CBD$ 中,
$\begin{cases}EB=CB,\\∠ EBD=∠ CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ EBD≌△ CBD(\mathrm{SAS})$,
所以 $DE=DC$,$∠ E=∠ C$.
因为$∠ BAC=108°$,
所 以 $∠ EAD = 72°$, $∠ C = ∠ ABC =∠ E=36°$,
所以$∠ EDA=∠ EAD=72°$,
所以 $EA=ED$,所以 $CD=DE=AE$,
所以 $BC=BE=AB+AE=AB+CD$.

5.如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是。

5. $6$