6.如图，AD是$∠ BAC$的平分线，$∠ B=∠ EAC$，$ED⊥ AD$于点$D$.求证:ED平分$∠ AEB$.

6. 证明:如图,延长 $AD$ 交 $BC$ 于点 $F$.

因为 $AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线,
所以$∠ BAD=∠ CAD$.
因为$∠ DFE=∠ B+∠ BAD$,$∠ DAE=∠ EAC+∠ CAD$,$∠ B=∠ EAC$,
所以$∠ DFE=∠ DAE$,
所以 $AE=FE$.
因为 $ED⊥ AD$,所以 $ED$ 平分$∠ AEB$.

7.如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE=AC，求证：∠BED=∠CAD.

7. 证明:如图,延长 $AD$ 到点 $F$,使 $DF=AD$,连接 $BF$.

因为 $AD$ 是$△ ABC$ 的中线,
所以 $BD=DC$.
在$△ ADC$ 和$△ FDB$ 中,
$\begin{cases}AD=FD,\\∠ ADC=∠ FDB,\\CD=BD,\end{cases}$
所以$△ ADC≌△ FDB(\mathrm{SAS})$,
所以 $BF=CA$,$∠ CAD=∠ F$.
因为 $BE=AC$,所以 $BE=BF$,
所以$∠ F=∠ BED$,
所以$∠ BED=∠ CAD$.

8.如图，在$△ ABC$中，$AD$为中线，$E$为$AB$上一点，$AD$，$CE$相交于点$F$，且$AE=EF$。求证：$AB=CF$。

8. 证明:如图,延长 $FD$ 至点 $H$,使 $FD=DH$,连接 $BH$.

因为 $AD$ 是$△ ABC$ 的中线,
所以 $BD=CD$.
在$△ BDH$ 和$△ CDF$ 中,
$\begin{cases}BD=CD,\\∠ BDH=∠ CDF,\\DH=DF,\end{cases}$
所以$△ BDH≌△ CDF(\mathrm{SAS})$,
所以$∠ H=∠ CFD$,$CF=BH$.
因为 $AE=EF$,所以$∠ EAF=∠ AFE$.
因为$∠ AFE=∠ CFD$,所以$∠ EAF=∠ H$,
所以 $AB=BH$,所以 $AB=CF$.

9.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,$∠ B=2∠ ADB$,$AB=4$,$CD=7$,则AC的长为（）


A.10
B.11
C.12
D.15

9. B

10.如图，已知E为$△ ABC$内部一点，AE的延长线交边BC于点D，连接BE，CE，$∠ BED=∠ BAC=2∠ DEC$.若$AC=AB$，求证：$BE=2AE$.

10. 证明:如图,在 $EB$ 上截取 $EF=AE$,连接 $AF$,设$∠ BED=2α$,

所以$∠ FAE=∠ AFE=α$,$∠ DEC=α$,
所以$∠ AEC=∠ AFB$.
因为$∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC=2α$,
$∠ ABE+∠ BAD=∠ BED=2α$,
所以$∠ CAE=∠ ABE$.
在$△ CAE$ 和$△ ABF$ 中,
$\begin{cases}∠ AEC=∠ BFA,\\∠ CAE=∠ ABF,\\AC=BA,\end{cases}$
所以$△ CAE≌△ ABF(\mathrm{AAS})$,
所以 $BF=AE=EF$,所以 $BE=2AE$.