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【例1】如图，在$△ ABC$中，$∠ A=36°$，D在边AC上，$AD=BD=BC$，求$∠ DBC$的度数.
解:
解:
答案
36°.
【例2】如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$BC$边上的中线，$∠ ABC$的平分线$BG$交$AC$于点$G$，交$AD$于点$E$，$EF⊥ AB$，垂足为点$F$。
(1)若$∠ BAD=25°$，求$∠ C$的度数；
(2)判断$EF$与$ED$的数量关系，并说明理由。
解:
【规律方法】
等腰三角形的性质在计算和证明中的应用
(1)在求角度或证明角相等时，常借助三角形全等和等腰三角形的两个底角相等来解决，注意挖掘和运用条件.
(2)利用等腰三角形“三线合一”的性质，不仅能够证明线段或角相等，还可以证明线段之间的位置关系.
(1)若$∠ BAD=25°$，求$∠ C$的度数；
(2)判断$EF$与$ED$的数量关系，并说明理由。
解:
【规律方法】
等腰三角形的性质在计算和证明中的应用
(1)在求角度或证明角相等时，常借助三角形全等和等腰三角形的两个底角相等来解决，注意挖掘和运用条件.
(2)利用等腰三角形“三线合一”的性质，不仅能够证明线段或角相等，还可以证明线段之间的位置关系.
答案
(1) 65°.
(2) $EF=ED$.理由如下：
因为 $AB=AC$,$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，
所以 $AD⊥ BC$,即 $ED⊥ BC$.
因为 $BG$ 平分$∠ ABC$,$EF⊥ AB$,
所以 $EF=ED$.
(2) $EF=ED$.理由如下：
因为 $AB=AC$,$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，
所以 $AD⊥ BC$,即 $ED⊥ BC$.
因为 $BG$ 平分$∠ ABC$,$EF⊥ AB$,
所以 $EF=ED$.
1.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,过点A作$DA⊥ AC$交BC于点D.若$∠ B=2∠ BAD$,则$∠ BAD$的度数为 (
A.$18°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$36°$
A
)A.$18°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$36°$
答案
1. A
2.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD ⊥ BC$于点D.若$AB=6$,$CD=4$,则$△ ABC$的周长是
20
.答案
2. 20
【例3】如图所示，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$AB$上的一点，过点$D$作$DE ⊥ BC$于点$E$，延长$ED$与$CA$的延长线交于点$F$.求证:$△ ADF$是等腰三角形.
答案
证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠ DEB = ∠ DEC = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ FEC$中，$∠ F + ∠ C = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ DEB$中，$∠ 2 + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ F = ∠ 2$。
又∵ $∠ 2 = ∠ 1$（对顶角相等），
∴ $∠ F = ∠ 1$，
∴ $AF = AD$，
∴ $△ ADF$是等腰三角形。
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠ DEB = ∠ DEC = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ FEC$中，$∠ F + ∠ C = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ DEB$中，$∠ 2 + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ F = ∠ 2$。
又∵ $∠ 2 = ∠ 1$（对顶角相等），
∴ $∠ F = ∠ 1$，
∴ $AF = AD$，
∴ $△ ADF$是等腰三角形。
