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4.绝对值大于2.5且小于7.2的所有负整数为
-7,-6,-5,-4,-3
。答案
4. -7,-6,-5,-4,-3
解析
【分析】
拿到这道题首先要明确题干的三个限制条件：①所求的数是负整数；②该数的绝对值大于2.5；③该数的绝对值小于7.2。我们可以先将文字条件转化为不等式，再结合负整数的取值范围筛选出符合要求的数即可，解题时注意不要遗漏“负”“整数”这些关键限定。
【解析】
解：设满足条件的数为$x$，根据题意可列条件：
1. $x$为负整数；
2. $2.5＜|x|＜7.2$。
因为$x$是负整数，所以$|x|=-x$，代入不等式可得：$2.5＜-x＜7.2$，
不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$-7.2＜x＜-2.5$。
结合$x$是负整数的要求，可得$x$的取值为$-7、-6、-5、-4、-3$。
【答案】
-7,-6,-5,-4,-3
【知识点】
绝对值的性质；负整数的概念；不等式的整数解
【点评】
本题考查基础概念的应用，解题时要注意题干的多重限制，既要符合绝对值的取值范围，也要注意不要多写正整数、不要包含等于边界值的数，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先要明确题干的三个限制条件：①所求的数是负整数；②该数的绝对值大于2.5；③该数的绝对值小于7.2。我们可以先将文字条件转化为不等式，再结合负整数的取值范围筛选出符合要求的数即可，解题时注意不要遗漏“负”“整数”这些关键限定。
【解析】
解：设满足条件的数为$x$，根据题意可列条件：
1. $x$为负整数；
2. $2.5＜|x|＜7.2$。
因为$x$是负整数，所以$|x|=-x$，代入不等式可得：$2.5＜-x＜7.2$，
不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$-7.2＜x＜-2.5$。
结合$x$是负整数的要求，可得$x$的取值为$-7、-6、-5、-4、-3$。
【答案】
-7,-6,-5,-4,-3
【知识点】
绝对值的性质；负整数的概念；不等式的整数解
【点评】
本题考查基础概念的应用，解题时要注意题干的多重限制，既要符合绝对值的取值范围，也要注意不要多写正整数、不要包含等于边界值的数，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
5.把下列各数分别填在相应的大括号内：
$-\dfrac{2}{3},3.14,+8,3\dfrac{1}{2},-2028,0,-3.6$。
非负数集合：$\{ \dots \}$；
分数集合：$\{ \dots \}$；
负整数集合：$\{ \dots \}$。
$-\dfrac{2}{3},3.14,+8,3\dfrac{1}{2},-2028,0,-3.6$。
非负数集合：$\{ \dots \}$；
分数集合：$\{ \dots \}$；
负整数集合：$\{ \dots \}$。
答案
5. 解:非负数集合:$\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
分数集合:$\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
负整数集合:$\{-2\ 028,\dots\}$。
分数集合:$\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
负整数集合:$\{-2\ 028,\dots\}$。
解析
【分析】
解题前先明确三类集合的定义：①非负数指的是大于等于0的数，包含所有正数和0；②分数包含正分数、负分数，注意有限小数、无限循环小数和带分数都属于分数范畴；③负整数指的是既是负数又是整数的数。接下来逐个判断给出的数的属性，对应填入对应集合即可，注意不要漏填、错填。
【解析】
第一步：判断非负数：找出所有≥0的数：3.14是正数，+8是正整数，$3\dfrac{1}{2}$是正分数，0既不是正数也不是负数但属于非负数，因此非负数集合为$\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
第二步：判断分数：分数包含正分数和负分数：$-\dfrac{2}{3}$是负分数，3.14是有限小数属于正分数，$3\dfrac{1}{2}$是带分数属于正分数，-3.6是有限小数属于负分数，因此分数集合为$\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
第三步：判断负整数：找出既是负数又是整数的数，只有-2028符合要求，因此负整数集合为$\{-2028,\dots\}$。
【答案】
非负数集合:$\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
分数集合:$\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
负整数集合:$\{-2028,\dots\}$。
【知识点】
有理数的分类；非负数定义；分数的定义
【点评】
本题是有理数分类的基础题，解题核心是准确识记不同类型数的定义，尤其要注意0属于非负数、有限小数属于分数这两个易错点，分类时要逐个排查避免漏填。
【难度系数】
0.85
解题前先明确三类集合的定义：①非负数指的是大于等于0的数，包含所有正数和0；②分数包含正分数、负分数，注意有限小数、无限循环小数和带分数都属于分数范畴；③负整数指的是既是负数又是整数的数。接下来逐个判断给出的数的属性，对应填入对应集合即可，注意不要漏填、错填。
【解析】
第一步：判断非负数：找出所有≥0的数：3.14是正数，+8是正整数，$3\dfrac{1}{2}$是正分数，0既不是正数也不是负数但属于非负数，因此非负数集合为$\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
第二步：判断分数：分数包含正分数和负分数：$-\dfrac{2}{3}$是负分数，3.14是有限小数属于正分数，$3\dfrac{1}{2}$是带分数属于正分数，-3.6是有限小数属于负分数，因此分数集合为$\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
第三步：判断负整数：找出既是负数又是整数的数，只有-2028符合要求，因此负整数集合为$\{-2028,\dots\}$。
【答案】
非负数集合:$\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
分数集合:$\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
负整数集合:$\{-2028,\dots\}$。
【知识点】
有理数的分类；非负数定义；分数的定义
【点评】
本题是有理数分类的基础题，解题核心是准确识记不同类型数的定义，尤其要注意0属于非负数、有限小数属于分数这两个易错点，分类时要逐个排查避免漏填。
【难度系数】
0.85
6.从-3,-2,-1,4,5中任取两个数相乘，若所得积中的最大值为$a$，最小值为$b$，则$\frac{a}{b}$的值为（
A.$-\frac{4}{3}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{20}{3}$
A
）。A.$-\frac{4}{3}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{20}{3}$
答案
6. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先根据有理数乘法法则“同号得正，异号得负”可知，乘积的最大值一定是正数（正数大于所有负数），要么来自两个正数相乘，要么来自两个负数相乘，我们只需计算这两类乘积再比较大小就能得到最大值a；乘积的最小值一定是负数，来自异号两数相乘，要找最小的负数，就是找绝对值最大的异号乘积，计算得到最小值b；最后代入计算$\frac{a}{b}$即可。
【解析】
步骤1：求最大值$a$
计算同号两数的乘积：
①两个负数相乘：$(-3)×(-2)=6$，$(-3)×(-1)=3$，$(-2)×(-1)=2$
②两个正数相乘：$4×5=20$
比较所有正乘积的大小：$20＞6＞3＞2$，因此$a=20$。
步骤2：求最小值$b$
异号两数相乘结果为负，要得到最小的乘积，需取绝对值最大的负数与最大的正数相乘：
$(-3)×5=-15$，验证其余异号乘积（如$(-3)×4=-12$、$(-2)×5=-10$等）均大于$-15$，因此$b=-15$。
步骤3：计算$\frac{a}{b}$
$\frac{a}{b}=\frac{20}{-15}=-\frac{4}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较；有理数除法运算
【点评】
本题重点考查有理数的运算与大小比较，解题时要注意区分最大乘积和最小乘积的来源，不要遗漏负负得正的正乘积情况，也不要混淆最小负数的判断逻辑。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先根据有理数乘法法则“同号得正，异号得负”可知，乘积的最大值一定是正数（正数大于所有负数），要么来自两个正数相乘，要么来自两个负数相乘，我们只需计算这两类乘积再比较大小就能得到最大值a；乘积的最小值一定是负数，来自异号两数相乘，要找最小的负数，就是找绝对值最大的异号乘积，计算得到最小值b；最后代入计算$\frac{a}{b}$即可。
【解析】
步骤1：求最大值$a$
计算同号两数的乘积：
①两个负数相乘：$(-3)×(-2)=6$，$(-3)×(-1)=3$，$(-2)×(-1)=2$
②两个正数相乘：$4×5=20$
比较所有正乘积的大小：$20＞6＞3＞2$，因此$a=20$。
步骤2：求最小值$b$
异号两数相乘结果为负，要得到最小的乘积，需取绝对值最大的负数与最大的正数相乘：
$(-3)×5=-15$，验证其余异号乘积（如$(-3)×4=-12$、$(-2)×5=-10$等）均大于$-15$，因此$b=-15$。
步骤3：计算$\frac{a}{b}$
$\frac{a}{b}=\frac{20}{-15}=-\frac{4}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较；有理数除法运算
【点评】
本题重点考查有理数的运算与大小比较，解题时要注意区分最大乘积和最小乘积的来源，不要遗漏负负得正的正乘积情况，也不要混淆最小负数的判断逻辑。
【难度系数】
0.7
7.黑龙江历史悠久，人文荟萃，拥有丰厚的历史文化遗产。某旅行团到黑龙江十日游的费用为108 000元，用科学记数法可表示为
$1.08×10^5$
元。答案
7. $1.08×10^5$
解析
【分析】
要把较大的数用科学记数法表示，首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中满足$1≤ |a| ＜10$，$n$为正整数。解题时第一步先确定$a$的值：将原数的小数点向左移动，直到最高位非零数字的后面，得到的数就是$a$；第二步确定$n$的值：$n$等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1≤ |a| ＜10$，$n$为整数。
对于108000：
1. 确定$a$：将小数点向左移动5位，得到$a=1.08$，符合$1≤ 1.08 ＜10$的要求；
2. 确定$n$：小数点一共向左移动了5位，因此$n=5$。
综上，108000用科学记数法可表示为$1.08 × 10^5$。
【答案】
$1.08× 10^5$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查较大数的科学记数法表示，属于基础题型，解题的核心是准确掌握科学记数法的形式要求，正确确定$a$和$n$的取值。
【难度系数】
0.9
要把较大的数用科学记数法表示，首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中满足$1≤ |a| ＜10$，$n$为正整数。解题时第一步先确定$a$的值：将原数的小数点向左移动，直到最高位非零数字的后面，得到的数就是$a$；第二步确定$n$的值：$n$等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1≤ |a| ＜10$，$n$为整数。
对于108000：
1. 确定$a$：将小数点向左移动5位，得到$a=1.08$，符合$1≤ 1.08 ＜10$的要求；
2. 确定$n$：小数点一共向左移动了5位，因此$n=5$。
综上，108000用科学记数法可表示为$1.08 × 10^5$。
【答案】
$1.08× 10^5$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查较大数的科学记数法表示，属于基础题型，解题的核心是准确掌握科学记数法的形式要求，正确确定$a$和$n$的取值。
【难度系数】
0.9
8.计算：
(1)$(-\frac{1}{2})-(-\frac{7}{3})+\frac{11}{4}+(-\frac{7}{8})-\frac{11}{3}$；
(2)$-1^4-(1-0.5)×\frac{2}{3}×[2-(-3)^2]$；
(3)$69\frac{15}{16}×(-8)$。
(1)$(-\frac{1}{2})-(-\frac{7}{3})+\frac{11}{4}+(-\frac{7}{8})-\frac{11}{3}$；
(2)$-1^4-(1-0.5)×\frac{2}{3}×[2-(-3)^2]$；
(3)$69\frac{15}{16}×(-8)$。
答案
解:(1)原式$=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{3}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{11}{3}$
$=(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8})+(\dfrac{7}{3}-\dfrac{11}{3})$
$=\dfrac{11}{8}-\dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{1}{24}$。
(2)原式$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×(2-9)$
$=-1+\dfrac{7}{3}$
$=\dfrac{4}{3}$。
(3)原式$=(70-\dfrac{1}{16})×(-8)$
$=70×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)$
$=-560+\dfrac{1}{2}$
$=-559\dfrac{1}{2}$。
$=(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8})+(\dfrac{7}{3}-\dfrac{11}{3})$
$=\dfrac{11}{8}-\dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{1}{24}$。
(2)原式$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×(2-9)$
$=-1+\dfrac{7}{3}$
$=\dfrac{4}{3}$。
(3)原式$=(70-\dfrac{1}{16})×(-8)$
$=70×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)$
$=-560+\dfrac{1}{2}$
$=-559\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
这三道题均为有理数运算类题目，解题思路如下：
(1) 有理数加减混合运算：先根据“减去一个数等于加上它的相反数”将所有减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，把同分母的分数、易通分的分数分别分组计算，最后通分求最终结果，可简化计算步骤。
(2) 有理数四则混合运算：严格遵循运算顺序：先算乘方，注意$-1^4$表示1的4次方的相反数，结果为-1，$(-3)^2$表示-3的平方，结果为9；再算括号内的运算，之后算乘法，最后算加减，计算过程中注意符号的变化。
(3) 带分数乘整数的简便运算：直接计算带分数乘整数计算量较大，可将接近整十数的带分数拆成“整十数减去一个小分数”的形式，再利用乘法分配律展开计算，大幅降低计算难度。
【解析】
(1) 原式$=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{3}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{11}{3}$
$=(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8})+(\dfrac{7}{3}-\dfrac{11}{3})$
$=\dfrac{11}{8}-\dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{1}{24}$
(2) 原式$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×(2-9)$
$=-1+\dfrac{7}{3}$
$=\dfrac{4}{3}$
(3) 原式$=(70-\dfrac{1}{16})×(-8)$
$=70×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)$
$=-560+\dfrac{1}{2}$
$=-559\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{24}$；(2)$\dfrac{4}{3}$；(3)$-559\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数加减运算、有理数混合运算、乘法分配律应用
【点评】
这三道题是有理数运算的典型常考题，核心考察运算顺序的掌握和运算律的灵活运用，计算时需格外注意符号判断，合理运用运算律能有效减少计算量、降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这三道题均为有理数运算类题目，解题思路如下：
(1) 有理数加减混合运算：先根据“减去一个数等于加上它的相反数”将所有减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，把同分母的分数、易通分的分数分别分组计算，最后通分求最终结果，可简化计算步骤。
(2) 有理数四则混合运算：严格遵循运算顺序：先算乘方，注意$-1^4$表示1的4次方的相反数，结果为-1，$(-3)^2$表示-3的平方，结果为9；再算括号内的运算，之后算乘法，最后算加减，计算过程中注意符号的变化。
(3) 带分数乘整数的简便运算：直接计算带分数乘整数计算量较大，可将接近整十数的带分数拆成“整十数减去一个小分数”的形式，再利用乘法分配律展开计算，大幅降低计算难度。
【解析】
(1) 原式$=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{3}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{11}{3}$
$=(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8})+(\dfrac{7}{3}-\dfrac{11}{3})$
$=\dfrac{11}{8}-\dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{1}{24}$
(2) 原式$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×(2-9)$
$=-1+\dfrac{7}{3}$
$=\dfrac{4}{3}$
(3) 原式$=(70-\dfrac{1}{16})×(-8)$
$=70×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)$
$=-560+\dfrac{1}{2}$
$=-559\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{24}$；(2)$\dfrac{4}{3}$；(3)$-559\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数加减运算、有理数混合运算、乘法分配律应用
【点评】
这三道题是有理数运算的典型常考题，核心考察运算顺序的掌握和运算律的灵活运用，计算时需格外注意符号判断，合理运用运算律能有效减少计算量、降低出错概率。
【难度系数】
0.7
9.【数学应用】阅读下面的解题过程并解答问题：
计算：$-2^2 ÷ (\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} - 3) × 6$。
解：$-2^2 ÷ (\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} - 3) × 6$
$=4 ÷ (-\frac{25}{6}) × 6$……第一步
$=4 × (-25)$……第二步
$=-100$。……第三步
（1）以上步骤中，第
（2）请写出正确的解题过程。
计算：$-2^2 ÷ (\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} - 3) × 6$。
解：$-2^2 ÷ (\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} - 3) × 6$
$=4 ÷ (-\frac{25}{6}) × 6$……第一步
$=4 × (-25)$……第二步
$=-100$。……第三步
（1）以上步骤中，第
一
步开始出现错误，错误的原因是负号丢了
；（2）请写出正确的解题过程。
答案
9. 解:(1) 一 负号丢了
(2) $-2^2 ÷ (\dfrac{1}{3}-1\dfrac{1}{2}-3) × 6 = -4 ÷ (-\dfrac{25}{6}) × 6 = -4 × (-\dfrac{6}{25}) × 6 = \dfrac{144}{25}$。
(2) $-2^2 ÷ (\dfrac{1}{3}-1\dfrac{1}{2}-3) × 6 = -4 ÷ (-\dfrac{25}{6}) × 6 = -4 × (-\dfrac{6}{25}) × 6 = \dfrac{144}{25}$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确有理数混合运算的规则：先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号先算括号内的运算，同级运算从左到右依次进行。
第（1）问逐步骤核对运算规则：先看乘方计算，$-2^2$表示2的平方的相反数，结果应为-4，原解题第一步算成了4，因此第一步就出错，错误原因是丢失了负号。
第（2）问按照正确运算顺序计算：先算乘方得到-4，再将括号内的带分数化为假分数，通分计算括号内的减法结果，随后从左到右依次计算乘除，除法要转化为乘以除数的倒数，注意符号判断即可。
【解析】
（1）原解题第一步计算$-2^2$时，错误得到4，正确结果为$-2^2=-4$，因此从第一步开始出现错误，错误原因是计算$-2^2$时负号丢了。
（2）正确解题过程：
$\begin{aligned}-2^2 ÷ (\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} - 3) × 6&= -4 ÷ (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 3) × 6\\&=-4 ÷ (\frac{2}{6} - \frac{9}{6} - \frac{18}{6}) ×6\\&=-4 ÷ (-\frac{25}{6}) ×6\\&=-4 × (-\frac{6}{25}) ×6\\&=\frac{144}{25}\end{aligned}$
【答案】
（1）一，负号丢了；
（2）$-2^2 ÷ (\dfrac{1}{3}-1\dfrac{1}{2}-3) × 6 = -4 ÷ (-\dfrac{25}{6}) × 6 = -4 × (-\dfrac{6}{25}) × 6 = \dfrac{144}{25}$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，有理数乘除运算
【点评】
本题是有理数运算的常见易错题，核心考查运算顺序和符号处理能力，解题时要注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的差异，严格遵循运算规则，乘除同级运算从左到右依次计算，除法转乘法时要乘除数的倒数。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确有理数混合运算的规则：先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号先算括号内的运算，同级运算从左到右依次进行。
第（1）问逐步骤核对运算规则：先看乘方计算，$-2^2$表示2的平方的相反数，结果应为-4，原解题第一步算成了4，因此第一步就出错，错误原因是丢失了负号。
第（2）问按照正确运算顺序计算：先算乘方得到-4，再将括号内的带分数化为假分数，通分计算括号内的减法结果，随后从左到右依次计算乘除，除法要转化为乘以除数的倒数，注意符号判断即可。
【解析】
（1）原解题第一步计算$-2^2$时，错误得到4，正确结果为$-2^2=-4$，因此从第一步开始出现错误，错误原因是计算$-2^2$时负号丢了。
（2）正确解题过程：
$\begin{aligned}-2^2 ÷ (\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} - 3) × 6&= -4 ÷ (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 3) × 6\\&=-4 ÷ (\frac{2}{6} - \frac{9}{6} - \frac{18}{6}) ×6\\&=-4 ÷ (-\frac{25}{6}) ×6\\&=-4 × (-\frac{6}{25}) ×6\\&=\frac{144}{25}\end{aligned}$
【答案】
（1）一，负号丢了；
（2）$-2^2 ÷ (\dfrac{1}{3}-1\dfrac{1}{2}-3) × 6 = -4 ÷ (-\dfrac{25}{6}) × 6 = -4 × (-\dfrac{6}{25}) × 6 = \dfrac{144}{25}$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，有理数乘除运算
【点评】
本题是有理数运算的常见易错题，核心考查运算顺序和符号处理能力，解题时要注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的差异，严格遵循运算规则，乘除同级运算从左到右依次计算，除法转乘法时要乘除数的倒数。
【难度系数】
0.6
