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10.某原料仓库某一天的原料进出记录如下表(运进用正数表示,运出用负数表示)。
(1)这天结束时仓库的原料比原来增加了还是减少了?请说明理由。
(2)根据实际情况,现有两种方案。
方案一:运进每吨原料费用6元,运出每吨原料费用9元;
方案二:不管运进还是运出费用都是每吨7元。
从节约运费的角度考虑,请说明选择哪种方案比较合适。
(1)这天结束时仓库的原料比原来增加了还是减少了?请说明理由。
(2)根据实际情况,现有两种方案。
方案一:运进每吨原料费用6元,运出每吨原料费用9元;
方案二:不管运进还是运出费用都是每吨7元。
从节约运费的角度考虑,请说明选择哪种方案比较合适。
答案
解:(1)减少了。
理由如下:$(-2)×2+3×1+(-1)×3+2×4+(-4)×2=-4+3-3+8-8=-4(\mathrm{t})$,所以减少了。
(2)运进:$3×1+2×4=3+8=11(\mathrm{t})$。
运出:$|-2|×2+|-1|×3+|-4|×2=4+3+8=15(\mathrm{t})$。
方案一:$11×6+15×9=201(\mathrm{元})$;
方案二:$(11+15)×7=182(\mathrm{元})$。
因为$201＞182$,
所以选择方案二比较合适。
理由如下:$(-2)×2+3×1+(-1)×3+2×4+(-4)×2=-4+3-3+8-8=-4(\mathrm{t})$,所以减少了。
(2)运进:$3×1+2×4=3+8=11(\mathrm{t})$。
运出:$|-2|×2+|-1|×3+|-4|×2=4+3+8=15(\mathrm{t})$。
方案一:$11×6+15×9=201(\mathrm{元})$;
方案二:$(11+15)×7=182(\mathrm{元})$。
因为$201＞182$,
所以选择方案二比较合适。
解析
【分析】
(1) 要判断仓库原料相比原来的增减情况，只需计算当天原料的总进出量：将每种进出质量乘以对应的进出次数后求和，若结果为正则原料增加，结果为负则原料减少。
(2) 要选择更节约运费的方案，首先要分别统计当天总的运进吨数和运出吨数：运进吨数是所有正数进出质量乘对应次数的和，运出吨数是所有负数进出质量的绝对值乘对应次数的和；再按照两种方案的计费规则分别计算总运费，比较后选择运费更低的方案即可。
【解析】
(1) 计算当天原料的总变化量：
$(-2)×2+3×1+(-1)×3+2×4+(-4)×2=-4+3-3+8-8=-4(\mathrm{t})$
结果为负数，说明原料总量比原来少。
(2) 先分别计算运进、运出的总吨数：
运进总吨数：$3×1+2×4=3+8=11(\mathrm{t})$
运出总吨数：$|-2|×2+|-1|×3+|-4|×2=4+3+8=15(\mathrm{t})$
计算两种方案的总运费：
方案一：$11×6+15×9=66+135=201(\mathrm{元})$
方案二：$(11+15)×7=26×7=182(\mathrm{元})$
因为$201＞182$，所以方案二的运费更低。
【答案】
(1) 减少了；
(2) 选择方案二比较合适。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数混合运算，最优方案选择
【点评】
本题结合仓储运输的实际场景出题，既考查了正负数的意义，也要求学生能将有理数运算运用到实际问题中，解题时要注意计算运费时运出重量需取绝对值，不要带入符号计算。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断仓库原料相比原来的增减情况，只需计算当天原料的总进出量：将每种进出质量乘以对应的进出次数后求和，若结果为正则原料增加，结果为负则原料减少。
(2) 要选择更节约运费的方案，首先要分别统计当天总的运进吨数和运出吨数：运进吨数是所有正数进出质量乘对应次数的和，运出吨数是所有负数进出质量的绝对值乘对应次数的和；再按照两种方案的计费规则分别计算总运费，比较后选择运费更低的方案即可。
【解析】
(1) 计算当天原料的总变化量：
$(-2)×2+3×1+(-1)×3+2×4+(-4)×2=-4+3-3+8-8=-4(\mathrm{t})$
结果为负数，说明原料总量比原来少。
(2) 先分别计算运进、运出的总吨数：
运进总吨数：$3×1+2×4=3+8=11(\mathrm{t})$
运出总吨数：$|-2|×2+|-1|×3+|-4|×2=4+3+8=15(\mathrm{t})$
计算两种方案的总运费：
方案一：$11×6+15×9=66+135=201(\mathrm{元})$
方案二：$(11+15)×7=26×7=182(\mathrm{元})$
因为$201＞182$，所以方案二的运费更低。
【答案】
(1) 减少了；
(2) 选择方案二比较合适。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数混合运算，最优方案选择
【点评】
本题结合仓储运输的实际场景出题，既考查了正负数的意义，也要求学生能将有理数运算运用到实际问题中，解题时要注意计算运费时运出重量需取绝对值，不要带入符号计算。
【难度系数】
0.7
11.阅读下面答题过程:
计算: $(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})$。
分析:利用倒数的意义,先求出原式的倒数,再得出原式的值。
解: $(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})÷(-\dfrac{1}{24})=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})×(-24)=-16+18-21=-19$,所以原式$=-\dfrac{1}{19}$。
根据阅读材料提供的方法,完成下面的计算:
$(-\dfrac{1}{42})÷[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]$。
计算: $(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})$。
分析:利用倒数的意义,先求出原式的倒数,再得出原式的值。
解: $(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})÷(-\dfrac{1}{24})=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})×(-24)=-16+18-21=-19$,所以原式$=-\dfrac{1}{19}$。
根据阅读材料提供的方法,完成下面的计算:
$(-\dfrac{1}{42})÷[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]$。
答案
解:$[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)] ÷ (-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3}) ÷ (-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3}) × (-42)$
$=-7-30+112$
$=75$,
所以原式$=\dfrac{1}{75}$。
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3}) ÷ (-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3}) × (-42)$
$=-7-30+112$
$=75$,
所以原式$=\dfrac{1}{75}$。
解析
【分析】
观察所求式子的结构，和例题类似，除数是单独的分数，被除数是包含乘方、乘法、加减的复杂混合运算式，如果直接先算括号内结果再做除法，通分计算十分繁琐。我们可以参考例题的思路，利用倒数的性质：若$a÷ b=c$（$a、b$均不为0），则$b÷ a=\frac{1}{c}$，先求原式的倒数，将括号内的整体作为被除数除以$(-\frac{1}{42})$，转化为乘$(-42)$，即可用乘法分配律简化计算，算出倒数的结果后再取倒数，就能得到原式的值。计算括号内的式子时，要遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后算加减，逐步化简。
【解析】
解：根据倒数的意义，先计算原式的倒数：
$[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)] ÷ (-\dfrac{1}{42})$
先算括号内的乘方：$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，再算乘法：$\dfrac{4}{9}×(-6)=-\dfrac{8}{3}$，化简括号内的式子：
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3}) ÷ (-\dfrac{1}{42})$
将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）：
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3}) × (-42)$
根据乘法分配律展开计算：
$=\dfrac{1}{6}×(-42)+\dfrac{5}{7}×(-42)+(-\dfrac{8}{3})×(-42)$
$=-7-30+112$
$=75$
因此原式的值为倒数结果的倒数，即原式$=\dfrac{1}{75}$。
【答案】
$\dfrac{1}{75}$
【知识点】
倒数的意义，有理数混合运算，乘法分配律
【点评】
本题属于方法迁移类题型，需要灵活运用题干给出的倒数法简化运算，解题过程中要严格遵循有理数混合运算的顺序，运用乘法分配律可以大幅减少通分的计算量，计算时要重点关注符号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
观察所求式子的结构，和例题类似，除数是单独的分数，被除数是包含乘方、乘法、加减的复杂混合运算式，如果直接先算括号内结果再做除法，通分计算十分繁琐。我们可以参考例题的思路，利用倒数的性质：若$a÷ b=c$（$a、b$均不为0），则$b÷ a=\frac{1}{c}$，先求原式的倒数，将括号内的整体作为被除数除以$(-\frac{1}{42})$，转化为乘$(-42)$，即可用乘法分配律简化计算，算出倒数的结果后再取倒数，就能得到原式的值。计算括号内的式子时，要遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后算加减，逐步化简。
【解析】
解：根据倒数的意义，先计算原式的倒数：
$[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)] ÷ (-\dfrac{1}{42})$
先算括号内的乘方：$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，再算乘法：$\dfrac{4}{9}×(-6)=-\dfrac{8}{3}$，化简括号内的式子：
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3}) ÷ (-\dfrac{1}{42})$
将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）：
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3}) × (-42)$
根据乘法分配律展开计算：
$=\dfrac{1}{6}×(-42)+\dfrac{5}{7}×(-42)+(-\dfrac{8}{3})×(-42)$
$=-7-30+112$
$=75$
因此原式的值为倒数结果的倒数，即原式$=\dfrac{1}{75}$。
【答案】
$\dfrac{1}{75}$
【知识点】
倒数的意义，有理数混合运算，乘法分配律
【点评】
本题属于方法迁移类题型，需要灵活运用题干给出的倒数法简化运算，解题过程中要严格遵循有理数混合运算的顺序，运用乘法分配律可以大幅减少通分的计算量，计算时要重点关注符号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
12. 观察下列解题过程：
计算：$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25}$。
解：设 $s=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25}$，
则 $5s=5+5^2+5^3+\dots+5^{25}+5^{26}$，
故 $s=\dfrac{5^{26}-1}{4}$，即原式$=\dfrac{5^{26}-1}{4}$。
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请用你学到的方法计算：
$1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10}$。
计算：$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25}$。
解：设 $s=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25}$，
则 $5s=5+5^2+5^3+\dots+5^{25}+5^{26}$，
故 $s=\dfrac{5^{26}-1}{4}$，即原式$=\dfrac{5^{26}-1}{4}$。
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请用你学到的方法计算：
$1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10}$。
答案
解:设 $s=1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10}$,
则 $3s=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}+3^{11}$,
故 $s=\dfrac{3^{11}-1}{2}$。
则 $3s=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}+3^{11}$,
故 $s=\dfrac{3^{11}-1}{2}$。
解析
【分析】
这是一道材料阅读类的求和题，解题用到错位相减法：首先观察到所求式子中后一项都是前一项的3倍，我们参照例题思路，先设整个式子的和为s，再将等式两边同时乘以公比3得到新的等式，用新等式减去原等式，中间重复的同类项可相互抵消，最后整理即可求出s的值也就是原式的结果。
【解析】
解：设 $ s=1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10} $ ①，
将等式①左右两边同时乘3，可得：
$ 3s=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}+3^{11} $ ②，
用②式减去①式，可得：
$ 3s - s = (3+3^2+3^3+\dots+3^{11}) - (1+3+3^2+\dots+3^{10}) $
化简后得：$ 2s = 3^{11} - 1 $
等式两边同时除以2，得 $ s=\dfrac{3^{11}-1}{2} $
【答案】
$ \dfrac{3^{11}-1}{2} $
【知识点】
1. 错位相减法
2. 有理数乘方运算
3. 规律类求和
【点评】
本题属于方法迁移类题型，核心考查对新方法的理解和运用能力，只要读懂例题中错位相减的计算逻辑，找准求和式子的公比，即可快速套用方法求解，计算时注意不要漏项即可。
【难度系数】
0.7
这是一道材料阅读类的求和题，解题用到错位相减法：首先观察到所求式子中后一项都是前一项的3倍，我们参照例题思路，先设整个式子的和为s，再将等式两边同时乘以公比3得到新的等式，用新等式减去原等式，中间重复的同类项可相互抵消，最后整理即可求出s的值也就是原式的结果。
【解析】
解：设 $ s=1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10} $ ①，
将等式①左右两边同时乘3，可得：
$ 3s=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}+3^{11} $ ②，
用②式减去①式，可得：
$ 3s - s = (3+3^2+3^3+\dots+3^{11}) - (1+3+3^2+\dots+3^{10}) $
化简后得：$ 2s = 3^{11} - 1 $
等式两边同时除以2，得 $ s=\dfrac{3^{11}-1}{2} $
【答案】
$ \dfrac{3^{11}-1}{2} $
【知识点】
1. 错位相减法
2. 有理数乘方运算
3. 规律类求和
【点评】
本题属于方法迁移类题型，核心考查对新方法的理解和运用能力，只要读懂例题中错位相减的计算逻辑，找准求和式子的公比，即可快速套用方法求解，计算时注意不要漏项即可。
【难度系数】
0.7
