9.李老师买了一盏精致的吊灯如图1-2-22①所示，其正面的平面图如图1-2-22②所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E，F在BD上，BE＝DF。
（1）求证：四边形AECF为菱形。
（2）若AE⊥AD，F为DE的中点，AB＝4√3，求四边形AECF的周长。

9.(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴$OB=OD$,$OA=OC$.
∵$BE=DF$,$\therefore OE=OF$.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,$\therefore AC⊥BD$.
∴平行四边形AECF是菱形.
(2)解:
∵$AE⊥AD$,
∴$△ ADE$是直角三角形.
∵F为DE的中点,$\therefore AF=EF=DF$.
∵四边形AECF是菱形,$\therefore AE=AF$.
∴$AE=EF=AF$.
∴$△ AEF$是等边三角形.
∴$∠ AEF=∠ AFE=60°$.
又
∵$AE⊥AD$,$\therefore ∠ EAD=90°$.
∴$∠ ADE=30°$.$\therefore DE=2AE$.
∵四边形ABCD为菱形，
∴$AD=AB=4\sqrt{3}$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$AE^2+AD^2=DE^2$,
$\therefore AE^2+(4\sqrt{3})^2=(2AE)^2$.
∴$AE=4$(负值舍去).
∵四边形AECF为菱形，
∴菱形AECF的周长为$4× 4=16$.

10.(2024·黑龙江哈尔滨中考)四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD//BC,OA=OC,AB=BC.
(1)如图1-2-23①,求证:四边形ABCD是菱形;
(2)如图1-2-23②,AB=AC,CH⊥AD于点H,交BD于点E,连接AE,点G在AB上,连接EG,交AC于点F,若∠FEC=75°,在不添加任何辅助线的情况下,直接写出四条与线段CE相等的线段(线段CE除外).

图1-2-23

10.(1)证明:
∵$AD// BC$,
∴$∠ ADO=∠ CBO$,
在$△ ADO$和$△ CBO$中.
$\begin{cases}∠ ADO=∠ CBO,\\∠ AOD=∠ COB,\\OA=OC,\end{cases}$
∴$△ ADO≌△ CBO(\mathrm{AAS})$.
∴$OD=OB$.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵$AB=BC$,
∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)解:与线段CE相等的线段有AE，DE,CF,AG.理由如下:
由(1)知四边形ABCD是菱形，
∴$AB=BC=CD=AD$,$AC⊥BD$.
∵$AB=AC$,
∴$AB=BC=CD=AD=AC$.
∴$△ ABC$和$△ ADC$为等边三角形.
∵$CH⊥AD$,$\therefore AH=DH$,
即CH为AD的垂直平分线.
∴$AE=DE$.
同理得$CE=AE$,$\therefore AE=DE=CE$.
∵$△ ADC$为等边三角形,$CH⊥AD$,
∴$∠ ACH=\frac{1}{2}∠ ACD=30°$.
∵$∠ FEC=75°$,$\therefore ∠ EFC=180°-∠ ACH-∠ FEC=75°$.
∴$∠ EFC=∠ FEC$.$\therefore CF=CE$.
∵$△ ABC$和$△ ADC$为等边三角形，
∴$∠ BAC=∠ CAD=60°$.
∵$CE=AE$,
∴$∠ EAC=∠ ECA=30°$.
∴$∠ BAE=∠ BAC+∠ CAE=90°$,
$∠ AEC=180°-∠ EAC-∠ ECA=120°$.
∴$∠ AEG=∠ AEC-∠ FEC=45°$.
∴$△ AGE$为等腰直角三角形.
∴$AE=AG$.$\therefore AG=CE$.