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19.【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离.
【知识背景】“道路千万条，安全第一条.”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”(如图5).
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试.兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现:①刹车距离y(单位:m)与刹车后滑行的时间t(单位:s)之间成二次函数关系；②刹车距离y随刹车后滑行的时间t的增大而增大，当刹车距离最远时，汽车完全停止.
【问题解决】请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
(2)汽车刹车4 s后，滑行了多长距离？
(3)若汽车司机发现正前方70 m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由.
【知识背景】“道路千万条，安全第一条.”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”(如图5).
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试.兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现:①刹车距离y(单位:m)与刹车后滑行的时间t(单位:s)之间成二次函数关系；②刹车距离y随刹车后滑行的时间t的增大而增大，当刹车距离最远时，汽车完全停止.
【问题解决】请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
(2)汽车刹车4 s后，滑行了多长距离？
(3)若汽车司机发现正前方70 m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由.
答案
(1)设$y$关于$t$的函数解析式为$y=at^2+bt+c$，将$(0,0),(1,27),(2,48)$代入，得$\begin{cases}c=0,\\a+b+c=27,\\4a+2b+c=48,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-3,\\b=30,\\c=0,\end{cases}$ $\therefore y$关于$t$的函数解析式为$y=-3t^2+30t$
(2)由(1)得$y$关于$t$的函数解析式为$y=-3t^2+30t$，当$t=4$时，$y=-3×4^2+30×4=72$，$\therefore$汽车刹车4 s后，行驶了72 m
(3)由(1)得$y$关于$t$的函数解析式为$y=-3t^2+30t$，$\therefore y=-3t^2+30t=-3(t-5)^2+75$. $\therefore$当$t=5$时，汽车停下，滑行了75 m. $\because75＞70$，$\therefore$该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车
(2)由(1)得$y$关于$t$的函数解析式为$y=-3t^2+30t$，当$t=4$时，$y=-3×4^2+30×4=72$，$\therefore$汽车刹车4 s后，行驶了72 m
(3)由(1)得$y$关于$t$的函数解析式为$y=-3t^2+30t$，$\therefore y=-3t^2+30t=-3(t-5)^2+75$. $\therefore$当$t=5$时，汽车停下，滑行了75 m. $\because75＞70$，$\therefore$该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车
解析
【分析】
(1) 已知刹车距离y与滑行时间t满足二次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设二次函数的一般式$y=at^2+bt+c$，再选取三组已知的t、y对应值（t=0时y=0，t=1时y=27，t=2时y=48）代入一般式，得到三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，即可得到y关于t的函数解析式。
(2) 求刹车4s后的滑行距离，只需将t=4代入第(1)问求出的函数解析式，计算对应的y值即可。
(3) 要判断是否会撞到抛锚的车，需先求出汽车刹车后完全停止时的最大滑行距离，即该二次函数的最大值。将函数解析式配方为顶点式，即可求出y的最大值，再将最大值与70m比较，若最大值大于70m则会相撞，否则不会相撞。
【解析】
(1) 设$y$关于$t$的函数解析式为$y=at^2+bt+c$，将$(0,0),(1,27),(2,48)$代入解析式，得：
$\begin{cases}c=0,\\a+b+c=27,\\4a+2b+c=48,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-3,\\b=30,\\c=0,\end{cases}$
$\therefore y$关于$t$的函数解析式为$y=-3t^2+30t$。
(2) 将$t=4$代入$y=-3t^2+30t$，得：
$y=-3×4^2+30×4=-3×16+120=72$
$\therefore$汽车刹车4 s后，滑行了72 m。
(3) 对函数解析式进行配方：
$y=-3t^2+30t=-3(t-5)^2+75$
$\because -3＜0$，$\therefore$当$t=5$时，y取得最大值75，即汽车完全停止时的最大滑行距离为75 m。
$\because 75＞70$，$\therefore$该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车。
【答案】
(1) $y=-3t^2+30t$
(2) 72 m
(3) 会撞到抛锚的车
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数代入求值
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题结合实际生活中的汽车刹车场景考查二次函数的应用，解题的核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及二次函数最值的计算方法，能灵活将实际问题转化为二次函数的数学问题进行求解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知刹车距离y与滑行时间t满足二次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设二次函数的一般式$y=at^2+bt+c$，再选取三组已知的t、y对应值（t=0时y=0，t=1时y=27，t=2时y=48）代入一般式，得到三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，即可得到y关于t的函数解析式。
(2) 求刹车4s后的滑行距离，只需将t=4代入第(1)问求出的函数解析式，计算对应的y值即可。
(3) 要判断是否会撞到抛锚的车，需先求出汽车刹车后完全停止时的最大滑行距离，即该二次函数的最大值。将函数解析式配方为顶点式，即可求出y的最大值，再将最大值与70m比较，若最大值大于70m则会相撞，否则不会相撞。
【解析】
(1) 设$y$关于$t$的函数解析式为$y=at^2+bt+c$，将$(0,0),(1,27),(2,48)$代入解析式，得：
$\begin{cases}c=0,\\a+b+c=27,\\4a+2b+c=48,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-3,\\b=30,\\c=0,\end{cases}$
$\therefore y$关于$t$的函数解析式为$y=-3t^2+30t$。
(2) 将$t=4$代入$y=-3t^2+30t$，得：
$y=-3×4^2+30×4=-3×16+120=72$
$\therefore$汽车刹车4 s后，滑行了72 m。
(3) 对函数解析式进行配方：
$y=-3t^2+30t=-3(t-5)^2+75$
$\because -3＜0$，$\therefore$当$t=5$时，y取得最大值75，即汽车完全停止时的最大滑行距离为75 m。
$\because 75＞70$，$\therefore$该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车。
【答案】
(1) $y=-3t^2+30t$
(2) 72 m
(3) 会撞到抛锚的车
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数代入求值
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题结合实际生活中的汽车刹车场景考查二次函数的应用，解题的核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及二次函数最值的计算方法，能灵活将实际问题转化为二次函数的数学问题进行求解。
【难度系数】
0.7
