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16. 在平面直角坐标系中,二次函数图象的顶点为$A(1,-4)$,且过点$B(3,0)$.
(1)求该二次函数的解析式.
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位长度,可使平移后所得图象经过坐标原点?直接写出平移后所得图象与$x$轴的另一个公共点的坐标.
(1)求该二次函数的解析式.
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位长度,可使平移后所得图象经过坐标原点?直接写出平移后所得图象与$x$轴的另一个公共点的坐标.
答案
(1)$\because$二次函数图象的顶点为$A(1,-4)$，$\therefore$设二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2-4$. $\because$二次函数图象过点$B(3,0)$，$\therefore0=4a-4$，解得$a=1$. $\therefore$该二次函数的解析式为$y=(x-1)^2-4$
(2)由图象可知二次函数图象向右平移1个单位长度，可使平移后所得图象经过坐标原点，且与$x$轴的另一个公共点坐标为$(4,0)$
(2)由图象可知二次函数图象向右平移1个单位长度，可使平移后所得图象经过坐标原点，且与$x$轴的另一个公共点坐标为$(4,0)$
解析
【分析】
(1) 已知二次函数的顶点坐标，优先采用顶点式设解析式可简化计算。顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），先代入顶点$A$的坐标得到含参数$a$的解析式，再将点$B$的坐标代入求出$a$的值，即可确定最终的二次函数解析式。
(2) 先求出原二次函数图象与$x$轴的两个交点坐标，要使平移后的图象经过原点，只需将位于$x$轴负半轴的交点向右平移至原点，算出平移的单位长度后，将另一个$x$轴交点也向右平移相同单位，即可得到平移后图象与$x$轴的另一个公共点坐标。
【解析】
(1) 解：$\because$二次函数图象的顶点为$A(1,-4)$，
$\therefore$设二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2-4$（$a≠0$），
将点$B(3,0)$代入解析式得：
$0=a(3-1)^2-4$，即$0=4a-4$，
解得$a=1$，
$\therefore$该二次函数的解析式为$y=(x-1)^2-4$。
(2) 解：令原二次函数$y=0$，则$(x-1)^2-4=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
即原二次函数图象与$x$轴的两个交点为$(3,0)$和$(-1,0)$，
将点$(-1,0)$向右平移1个单位长度可得到原点$(0,0)$，即平移后图象过原点，
则另一个交点$(3,0)$向右平移1个单位后得到$(4,0)$，为平移后图象与$x$轴的另一个公共点。
【答案】
(1) $y=(x-1)^2-4$
(2) 向右平移1个单位长度，另一个公共点坐标为$(4,0)$
【知识点】
1. 二次函数解析式的确定
2. 二次函数图象的平移
3. 二次函数与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数基础题型，第一问用顶点式求解析式是二次函数解析式求解的常用方法，第二问结合平移性质，通过原图象与$x$轴的交点即可快速推导平移距离和新交点坐标，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
(1) 已知二次函数的顶点坐标，优先采用顶点式设解析式可简化计算。顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），先代入顶点$A$的坐标得到含参数$a$的解析式，再将点$B$的坐标代入求出$a$的值，即可确定最终的二次函数解析式。
(2) 先求出原二次函数图象与$x$轴的两个交点坐标，要使平移后的图象经过原点，只需将位于$x$轴负半轴的交点向右平移至原点，算出平移的单位长度后，将另一个$x$轴交点也向右平移相同单位，即可得到平移后图象与$x$轴的另一个公共点坐标。
【解析】
(1) 解：$\because$二次函数图象的顶点为$A(1,-4)$，
$\therefore$设二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2-4$（$a≠0$），
将点$B(3,0)$代入解析式得：
$0=a(3-1)^2-4$，即$0=4a-4$，
解得$a=1$，
$\therefore$该二次函数的解析式为$y=(x-1)^2-4$。
(2) 解：令原二次函数$y=0$，则$(x-1)^2-4=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
即原二次函数图象与$x$轴的两个交点为$(3,0)$和$(-1,0)$，
将点$(-1,0)$向右平移1个单位长度可得到原点$(0,0)$，即平移后图象过原点，
则另一个交点$(3,0)$向右平移1个单位后得到$(4,0)$，为平移后图象与$x$轴的另一个公共点。
【答案】
(1) $y=(x-1)^2-4$
(2) 向右平移1个单位长度，另一个公共点坐标为$(4,0)$
【知识点】
1. 二次函数解析式的确定
2. 二次函数图象的平移
3. 二次函数与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数基础题型，第一问用顶点式求解析式是二次函数解析式求解的常用方法，第二问结合平移性质，通过原图象与$x$轴的交点即可快速推导平移距离和新交点坐标，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
17. 为弘扬地方文化，某文旅公司推出多款文创产品. 已知某款吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件. 经调查发现，每降价1元，每天可以多售出10件.
(1)设该款吉祥物降价x元，则每天售出的数量是
(2)为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元？
(3)文旅公司每天售卖该款吉祥物的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
(1)设该款吉祥物降价x元，则每天售出的数量是
(60+10x)
件.(2)为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元？
(3)文旅公司每天售卖该款吉祥物的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
答案
17. (1) (60+10x)
(2)设该款吉祥物降价$x$元，根据题意可得$(40-x-30)(60+10x)=630$，整理可得$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1,x_2=3$. $\because$要让利于游客，$x_1=1$舍去，$\therefore$该款吉祥物降价3元，文旅公司每天的利润是630元
(3)设该款吉祥物降价$x$元，则$w=(40-x-30)(60+10x)=(10-x)(60+10x)=-10x^2+40x+600=-10(x-2)^2+640$，$\because-10＜0$，$\therefore$当$x=2$时，此时售价为38元，$w$取最大值为640元
(2)设该款吉祥物降价$x$元，根据题意可得$(40-x-30)(60+10x)=630$，整理可得$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1,x_2=3$. $\because$要让利于游客，$x_1=1$舍去，$\therefore$该款吉祥物降价3元，文旅公司每天的利润是630元
(3)设该款吉祥物降价$x$元，则$w=(40-x-30)(60+10x)=(10-x)(60+10x)=-10x^2+40x+600=-10(x-2)^2+640$，$\because-10＜0$，$\therefore$当$x=2$时，此时售价为38元，$w$取最大值为640元
解析
【分析】
（1）根据销量变化规律：原销量为60件，每降价1元多售出10件，降价x元时多售出的件数为10x，总销量为原销量加多售出的部分即可求解。
（2）销售利润的核心等量关系为：总利润=单件利润×销售数量。先表示出降价x元后的单件利润（售价-成本），再结合第一问的销量表达式，令总利润等于630列一元二次方程求解，最后根据“让利于游客”的要求选择降价幅度更大的解即可。
（3）先根据总利润的等量关系列出w关于x的二次函数表达式，再通过配方转化为顶点式，结合二次函数的开口方向判断最大值的位置，最后计算对应售价和最大利润即可。
【解析】
(1) 原每天销量为60件，每降价1元多售10件，降价x元时多售10x件，因此每天售出的数量为$60+10x$件。
(2) 设该款吉祥物降价$x$元，此时单件利润为$(40-x-30)$元，销量为$(60+10x)$件，根据总利润为630元列方程：
$(40-x-30)(60+10x)=630$
整理得：
$x^2-4x+3=0$
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
$\because$要让利于游客，应选择降价更多的方案，故舍去$x_1=1$，取$x=3$。
(3) 设该款吉祥物降价$x$元，总利润为$w$元，根据题意得：
$w=(40-x-30)(60+10x)=(10-x)(60+10x)$
展开并配方：
$w=-10x^2+40x+600=-10(x-2)^2+640$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$x=2$时，$w$取得最大值640，此时售价为$40-2=38$元。
【答案】
(1) $\boxed{(60+10x)}$
(2) 该款吉祥物应该降价3元。
(3) 当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的最值；销售利润问题
【点评】
本题属于销售类实际应用问题，既考查了一元二次方程的求解，也考查了二次函数最值的计算，解题的关键是掌握销售利润的基本等量关系，同时要注意结合题目的实际限制条件对解进行取舍，能有效锻炼学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）根据销量变化规律：原销量为60件，每降价1元多售出10件，降价x元时多售出的件数为10x，总销量为原销量加多售出的部分即可求解。
（2）销售利润的核心等量关系为：总利润=单件利润×销售数量。先表示出降价x元后的单件利润（售价-成本），再结合第一问的销量表达式，令总利润等于630列一元二次方程求解，最后根据“让利于游客”的要求选择降价幅度更大的解即可。
（3）先根据总利润的等量关系列出w关于x的二次函数表达式，再通过配方转化为顶点式，结合二次函数的开口方向判断最大值的位置，最后计算对应售价和最大利润即可。
【解析】
(1) 原每天销量为60件，每降价1元多售10件，降价x元时多售10x件，因此每天售出的数量为$60+10x$件。
(2) 设该款吉祥物降价$x$元，此时单件利润为$(40-x-30)$元，销量为$(60+10x)$件，根据总利润为630元列方程：
$(40-x-30)(60+10x)=630$
整理得：
$x^2-4x+3=0$
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
$\because$要让利于游客，应选择降价更多的方案，故舍去$x_1=1$，取$x=3$。
(3) 设该款吉祥物降价$x$元，总利润为$w$元，根据题意得：
$w=(40-x-30)(60+10x)=(10-x)(60+10x)$
展开并配方：
$w=-10x^2+40x+600=-10(x-2)^2+640$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$x=2$时，$w$取得最大值640，此时售价为$40-2=38$元。
【答案】
(1) $\boxed{(60+10x)}$
(2) 该款吉祥物应该降价3元。
(3) 当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的最值；销售利润问题
【点评】
本题属于销售类实际应用问题，既考查了一元二次方程的求解，也考查了二次函数最值的计算，解题的关键是掌握销售利润的基本等量关系，同时要注意结合题目的实际限制条件对解进行取舍，能有效锻炼学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
18. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长 25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40 m 的栅栏围起来(如图 4 所示).假设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为 y m².
(1)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围.
(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带面积最大？
(1)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围.
(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带面积最大？
答案
(1)由题意得 $y=x· \dfrac{40-x}{2}=-\dfrac{1}{2}x^2+20x$，自变量$x$的取值范围是$0＜x≤25$
(2)$y=-\dfrac{1}{2}x^2+20x=-\dfrac{1}{2}(x-20)^2+200$，$\because20＜25$，$\therefore$当$x=20$时，$y$有最大值200，即当$x=20$时，满足条件的绿化带面积最大
(2)$y=-\dfrac{1}{2}x^2+20x=-\dfrac{1}{2}(x-20)^2+200$，$\because20＜25$，$\therefore$当$x=20$时，$y$有最大值200，即当$x=20$时，满足条件的绿化带面积最大
解析
【分析】
(1) 求y关于x的函数解析式可借助矩形面积公式推导：已知BC边长为x m，栅栏总长度为40m，且AB与CD长度相等，因此可先求出AB的长度为$\frac{40-x}{2}$m，代入面积=长×宽的公式即可得到函数关系式。再结合实际限制：边长必须为正，且靠墙的BC边长度不能超过墙长25m，即可确定自变量x的取值范围。
(2) 求绿化带面积最大值即求二次函数的最大值，首先将函数解析式配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断开口方向，同时验证顶点横坐标是否在自变量取值范围内，若在范围内则顶点处的函数值就是最大值。
【解析】
(1) 由题意可知，矩形的BC边长为x m，AB=CD，三边栅栏总长40m，因此$AB=\frac{40-x}{2}$m。
根据矩形面积公式：
$y=x· \frac{40-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+20x$
结合实际意义，边长为正，且BC边长度不超过墙长，因此自变量x的取值范围是$0＜x≤25$。
(2) 将函数解析式配方为顶点式：
$y=-\frac{1}{2}x^2+20x=-\frac{1}{2}(x-20)^2+200$
二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点横坐标$x=20$，满足$0＜20≤25$，属于自变量取值范围，因此当$x=20$时，y取得最大值200。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+20x$，自变量$x$的取值范围是$0＜x≤25$
(2) 当$x=20$时，满足条件的绿化带面积最大
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；自变量取值范围
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题的关键是结合实际限制条件确定自变量的取值范围，求最值时要注意验证顶点是否在取值范围内，避免直接套用顶点公式出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求y关于x的函数解析式可借助矩形面积公式推导：已知BC边长为x m，栅栏总长度为40m，且AB与CD长度相等，因此可先求出AB的长度为$\frac{40-x}{2}$m，代入面积=长×宽的公式即可得到函数关系式。再结合实际限制：边长必须为正，且靠墙的BC边长度不能超过墙长25m，即可确定自变量x的取值范围。
(2) 求绿化带面积最大值即求二次函数的最大值，首先将函数解析式配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断开口方向，同时验证顶点横坐标是否在自变量取值范围内，若在范围内则顶点处的函数值就是最大值。
【解析】
(1) 由题意可知，矩形的BC边长为x m，AB=CD，三边栅栏总长40m，因此$AB=\frac{40-x}{2}$m。
根据矩形面积公式：
$y=x· \frac{40-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+20x$
结合实际意义，边长为正，且BC边长度不超过墙长，因此自变量x的取值范围是$0＜x≤25$。
(2) 将函数解析式配方为顶点式：
$y=-\frac{1}{2}x^2+20x=-\frac{1}{2}(x-20)^2+200$
二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点横坐标$x=20$，满足$0＜20≤25$，属于自变量取值范围，因此当$x=20$时，y取得最大值200。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+20x$，自变量$x$的取值范围是$0＜x≤25$
(2) 当$x=20$时，满足条件的绿化带面积最大
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；自变量取值范围
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题的关键是结合实际限制条件确定自变量的取值范围，求最值时要注意验证顶点是否在取值范围内，避免直接套用顶点公式出错。
【难度系数】
0.7
